苏教版高中数学选修3-3-3.1.1 球面的基本概念-教案设计

球面的基本概念
【教学目标】
1．理解球面、球体的概念。

2．掌握球的截面的性质。

3．掌握球面距离的概念。

【教学重点】
球的截面的性质及应用。

【教学难点】
球面距离的概念。

【教学过程】
一、引入
我们玩过的篮球、排球、足球等等都给我们以球体的形象。

今天，我们就从几何的角度来研究“球的概念和性质”。

二、新授
1．球的概念：球也可以由一个平面图形旋转得到吗？我们来看一个实验。

（用多媒体演示）教师小结并板书。

半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫球面。

球面所围成的几何体叫球体，简称球。

学生看图指出球心、半径、直径，一一在图上标出。

值得注意的是：1）球面与球体是两个不同的概念，我们要注意它们的区别与联系。

2）球面的概念可以用集合的观点来描述。

球面是
由点组成的，球面上的点有什么共同的特点呢？学生
回答，教师小结并板书球面的集合（轨迹）定义。

与
定点的距离等于定长的所有点的集合（轨迹）叫球面。

如果点到球心的距离小于球的半径，这样的点在球的
内部、外部？
3）球的表示：用表示球心的字母表示球，比如，球O。

2．球的截面的性质：用一个平面去截球，得到一个截面，截面是什么形状呢？截面是圆面（用模型演示并加以口头说明）。

如果用平面截球面，那么截得的是圆。

我们用平面截球面，把过
球心的截面圆叫大圆，不过球心的截面圆叫小圆。

球的截面有什么性质呢？连接球心与截面圆心，连线OO 1与截面圆O 1会有什么关系呢？
学生猜出结论后，教师引导分析原因。

得出性质1性质2。

（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面。

作图并讨论垂直的理由。

（2）设球心到截面的距离为d ，截面圆的半径为r ，球的半径为R ，则：r=22d R
3．练习一：
1）判断正误：（对的打√，错的打×）
（1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。

（ ）
（2）到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球。

（ ）
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂直于这个小圆所在平面。

（ ）
（4）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。

（ ）
（5）球的半径是5，截面圆的半径为3，则球心到截面圆所在平面的距离为4。

（ ）
2）在球的性质中，若将“球”改为“圆”，将“截面”改为“弦”，你能将球的上述性质变为平面几何中圆的类似性质吗？
4．关于地球的几个概念：地球可以近似的看作一个球体，为了描述地球上某地的地理位置，我们在地球上规定了经线、纬线、南极、北极等概念。

从数学的角度，同学们知道经度、纬度的具体含义吗？演示经度、纬度所指的角。

5．球面距离：假如我们要坐飞机从长沙到巴西去踢足球，选择怎样的航线航程最短呢？大家知道，平面上两点之间线段最短，而我们又不能从长沙向巴西挖一隧道，但理论上肯定存在一个最短距离。

这就是我们下面要讲的球面距离。

我们把球面上过两点的大圆，在这两点之间的劣弧的长叫球面上两点间的球面距离。

因此，飞机、轮船都尽可能以大圆弧为航线航行。

例1 我国首都北京靠近北纬40度。

（1）求北纬40°纬线圈的半径约为多少千米。

（2）求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为
6370千米）。

电脑作图，分析，显示解答过程。

练习二：
1）填空
（1）设球的半径为R ，则过球面上任意两点的截面圆中，最
大面积是 。

（2）过球的半径的中点，作一个垂直于这条半径的截面，则这截面圆的半径是球半径的 。

（3）在半径为R 的球面上有A ．B 两点，半径OA ．OB 的夹角是n °（n ＜180＝求A ．B 两点的球面距离。

2）思考题：地球半径为R ，A ．B 是北纬45°纬线圈上两点，它们的经度差是90°，求A ． B 两地的球面距离。

三、小结：
a) 半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。

球面所围成的几何体叫做球体。

b) 以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。

以不经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆。

c) 球心和截面圆心的连线垂直于截面，由勾股定理，有：22d R r -=
d) 把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极到南极的半个大圆。

赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆。

e) 球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度。