2012考研数学二真题

2012考研数学二真题
在2012年的考研数学二真题中，涵盖了多个知识点和难度级别的数学问题。

本文将对这些问题进行逐一分析和解答，以帮助考生更好地理解和掌握这些内容。

一、选择题解析
1. 题目：若函数f(x)=x^3-3x^2+2x+a在区间[0,1]上的最大值为3，则a的取值范围是？
解析：题目中给出了函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为3。

我们可以通过求导和寻找极值的方法来求解。

首先，求导得到f'(x)=3x^2-
6x+2。

然后，令f'(x)=0，求解得到x=1/3或x=2。

再通过求二阶导数f''(x)=6x-6判断这两个点是否为极值点。

发现f''(1/3)>0，f''(2)<0，所以x=1/3为极小值，x=2为极大值。

由于题目要求的最大值为3，因此只有极大值为3的解才符合题意，即a=f(2)=2^3-3*2^2+2*2-3=3。

综上所述，a的取值范围是3。

2. 题目：已知平面上一段圆弧是以直角坐标方程x^2+y^2=1表示的单位圆，长度为l，则l的取值范围是？
解析：题目中给出了圆弧的方程为x^2+y^2=1。

由于这是一个单位圆，所以圆弧的长度等于圆周的长度。

我们可以使用弧长公式来计算圆周长。

设圆周长为l，则有l=2πr=2π(1)=2π。

综上所述，l的取值范围是2π。

3. 题目：设集合A={x|lgx<0}，则A的取值范围是？
解析：题目中给出了集合A的定义为{ x | lgx<0 }。

我们知道，对数
函数在定义域内是递增的。

而lgx<0表示x在(0,1)之间，所以集合A表示的是区间(0,1)。

综上所述，A的取值范围是(0,1)。

二、解答题解析
1. 题目：求函数f(x,y)=2x^2+y^2的最大值，其中x与y满足条件x-
2y+1=0。

解析：题目中给出了函数f(x,y)=2x^2+y^2以及约束条件x-2y+1=0。

我们可以求解出约束条件下的x和y的关系，然后代入函数f(x,y)中，
求导并找到极值点。

首先，将约束条件中的x-2y+1=0转化为y=(x+1)/2。

然后将y代入
函数f(x,y)中得到f(x)=(x+1)^2/2+[(x+1)/2]^2=5x^2/4+3x+3/4。

接下来，对函数f(x)求导得到f'(x)=10x/4+3，令f'(x)=0求解得到
x=-6/5。

将x=-6/5代入函数f(x)中得到f(-6/5)=-16/25+3*(-
6/5)+3/4=74/20=37/10。

综上所述，函数f(x,y)=2x^2+y^2的最大值为37/10。

2. 题目：设函数f(x)在区间[0,1]上满足f(x)在[0,1]上连续且
0<=f(x)<=1。

证明必存在唯一的实数a，使得f(a)=a。

解析：题目要求证明存在唯一的实数a，使得f(a)=a。

根据题目中给出的条件，可以看出f(x)在[0,1]上是一个连续的函数，并且取值范围为[0,1]。

由于f(x)是连续函数，并且f(0)>=0，f(1)<=1，可以使用介值定理来进行证明。

根据介值定理，f(x)在[0,1]上将会经过所有在f(0)和f(1)之间的值。

即，必然存在一个实数a，使得f(a)=a。

同时，我们还需要证明这个实数a是唯一的。

假设存在两个不同的实数a1和a2，使得f(a1)=a1和f(a2)=a2。

那么，我们可以构建一个新的函数g(x)=f(x)-x。

根据题目条件和已知，g(0)=f(0)-0>=0，g(1)=f(1)-1<=0。

根据零点定理，由于函数g(x)是连续的，并且g(0)>=0，
g(1)<=0，那么必然存在实数a，使得g(a)=0。

而g(a)=f(a)-a=0，所以必然存在唯一的实数a，使得f(a)=a。

综上所述，必然存在唯一的实数a，使得f(a)=a。