2022-2021学年高中数学北师大版必修4学业分层测评 3.3 二倍角的三角函数
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所以(sinα－cosα)2＝ .
又α∈ ，所以sinα<cosα，
因此sinα－cosα＝－ ，
解得sinα＝ ，cosα＝ ，
所以cos(α＋2β)＝cosαcos 2β－sinαsin 2β
＝ × － × ＝－ .
所以原式＝ ＝cosx.
10．已知函数f(x)＝4cosxsin －1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间 上的最大值与最小值．
【解】(1)f(x)＝4cosxsin －1
＝4cosx －1
＝ sin 2x＋2cos2x－1
＝ sin 2x＋cos 2x
＝2sin ，
所以f(x)的最小正周期为π.
所以sinθ＝ ＝ ＝ .
【答案】D
3．函数f(x)＝ sin ＋2sin2 ，x∈R的单调减区间为________．
【解析】f(x)＝ sin ＋1－cos 2
＝ sin －cos ＋1
＝2 ＋1
＝2sin ＋1＝2sin ＋1.
由 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，
得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)，
【解析】∵ ＋x＝ － ，
∴cos ＝sin ＝ .
又0<x< ，
∴0< －x< ，
∴cos ＝ ＝ ，
∴sin 2 ＝2sin cos
＝2× × ＝ .
又sin 2 ＝sin
＝cos 2x，
∴原式＝ ＝ .
【答案】
三、解答题
9．化简： (180°<x<360°)．
【解】原式＝
＝
＝
＝
＝ .
由于180°<x<360°，cos <0，
【答案】
7．设α为第四象限角，且 ＝ ，则tan 2α＝________.
【解析】 ＝ ＝
＝2cos 2α＋1＝ ，所以cos 2α＝ .又α是第四象限角，
所以sin 2α＝－ ，所以tan 2α＝－ .
【答案】－
8．(2021·宝鸡高一检测)已知0<x< ，sin ＝ ，则 ＝________.
【导学号：66470075】
A． B．
C．－ D．－
【解析】由于α为第三象限角，所以cosα＝－ ＝－ ，所以tan ＝± ，又 为其次或第四象限，所以tan <0，所以tan ＝－ ＝－ .
【答案】C
3．(2021·咸阳高一检测)在△ABC中，| |＝2sin 15°，| |＝4cos 15°，且∠ABC＝30°，则 · 的值为()
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知α为其次象限角，sinα＝ ，则sin 2α＝()
A．－ B．－
C. D．
【解析】由于α为其次象限角，所以cosα＝－ ＝－ ，所以sin 2α＝2sinαcosα＝2× × ＝－ .
【答案】A
2．已知α为第三象限角，且sinα＝－ ，则tan 等于()
所以f(x)的单调减区间为 ，k∈Z.
【答案】 ，k∈Z
4．已知sinα＋cosα＝ ，α∈ ，sin ＝ ，β∈ .
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos (α＋2β)的值．
【解】(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝ ，
即1＋sin 2α＝ ，所以sin 2α＝ .
又2α∈ ，
∴cosα＝－ ＝－ ，
∴tanα＝－ .
又tan(π－β)＝ ，∴tanβ＝－ ，
∴tan 2β＝
＝ ＝－ ，
∴tan(α－2β)＝
＝ ＝ .
【答案】A
二、填空题
6．若 ＝－ ，则sinα＋cosα的值为________．
【解析】 ＝ ＝－ (cosα＋sinα)＝－ ，
∴sinα＋cosα＝ .
A． B．－
C．2 D．－2
【解析】∵∠ABC＝30°，
∴ 与 的夹角θ＝180°－30°＝150°，
∴ · ＝| || |cos 150°
＝2sin 15°·4cos 15°·cos 150°
＝4sin 30°cos 150°
＝4× ×
＝－ .
【答案】B
4．若α∈ ，且sin2α＋cos 2α＝ ，则tanα的值等于()
A． B．
C. D．
【解析】∵sin2α＋cos 2α＝ ，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝ .
又∵α∈ ，∴sinα＝ ，cosα＝ ，∴tanα＝ .
【答案】D
5．已知sinα＝ ，α∈ ，tan(π－β)＝ ，则tan(α－2β)的值为()
A． B．－
C．－ D．
【解析】∵sinan 2α＝ ＝ .
(2)由于β∈ ，β－ ∈ ，
所以cos ＝ ，于是sin 2
＝2sin cos ＝ ，
sin2 ＝－cos 2β，
所以cos 2β＝－ .又2β∈ ，
所以sin 2β＝ .又sinα＋cosα＝ ，
所以1＋2sinα·cosα＝ ，得1－2sinα·cosα＝ ，
所以a＝f(lg 5)＝ ，
b＝f ＝ ＝ ，
α＋b＝ ＋ ＝1.
【答案】D
2．若θ∈ ，sin 2θ＝ ，则sinθ＝()
A B．
C. D．
【解析】由于θ∈ ，则2θ∈ ，
所以cos 2θ<0，sinθ>0.由于sin 2θ＝ .
所以cos 2θ＝－ ＝－ ＝－ .
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
(2)由于－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ ，
所以当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f(x)有最大值2，
当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f(x)有最小值－1.
[力量提升]
1．已知f(x)＝sin2 ，若a＝f(lg 5)，b＝f ，则()
A．a＋b＝0B．a－b＝0
C．a－b＝1D．a＋b＝1
【解析】由于f(x)＝sin2 ＝ ＝ ，
又α∈ ，所以sinα<cosα，
因此sinα－cosα＝－ ，
解得sinα＝ ，cosα＝ ，
所以cos(α＋2β)＝cosαcos 2β－sinαsin 2β
＝ × － × ＝－ .
所以原式＝ ＝cosx.
10．已知函数f(x)＝4cosxsin －1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间 上的最大值与最小值．
【解】(1)f(x)＝4cosxsin －1
＝4cosx －1
＝ sin 2x＋2cos2x－1
＝ sin 2x＋cos 2x
＝2sin ，
所以f(x)的最小正周期为π.
所以sinθ＝ ＝ ＝ .
【答案】D
3．函数f(x)＝ sin ＋2sin2 ，x∈R的单调减区间为________．
【解析】f(x)＝ sin ＋1－cos 2
＝ sin －cos ＋1
＝2 ＋1
＝2sin ＋1＝2sin ＋1.
由 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，
得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)，
【解析】∵ ＋x＝ － ，
∴cos ＝sin ＝ .
又0<x< ，
∴0< －x< ，
∴cos ＝ ＝ ，
∴sin 2 ＝2sin cos
＝2× × ＝ .
又sin 2 ＝sin
＝cos 2x，
∴原式＝ ＝ .
【答案】
三、解答题
9．化简： (180°<x<360°)．
【解】原式＝
＝
＝
＝
＝ .
由于180°<x<360°，cos <0，
【答案】
7．设α为第四象限角，且 ＝ ，则tan 2α＝________.
【解析】 ＝ ＝
＝2cos 2α＋1＝ ，所以cos 2α＝ .又α是第四象限角，
所以sin 2α＝－ ，所以tan 2α＝－ .
【答案】－
8．(2021·宝鸡高一检测)已知0<x< ，sin ＝ ，则 ＝________.
【导学号：66470075】
A． B．
C．－ D．－
【解析】由于α为第三象限角，所以cosα＝－ ＝－ ，所以tan ＝± ，又 为其次或第四象限，所以tan <0，所以tan ＝－ ＝－ .
【答案】C
3．(2021·咸阳高一检测)在△ABC中，| |＝2sin 15°，| |＝4cos 15°，且∠ABC＝30°，则 · 的值为()
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知α为其次象限角，sinα＝ ，则sin 2α＝()
A．－ B．－
C. D．
【解析】由于α为其次象限角，所以cosα＝－ ＝－ ，所以sin 2α＝2sinαcosα＝2× × ＝－ .
【答案】A
2．已知α为第三象限角，且sinα＝－ ，则tan 等于()
所以f(x)的单调减区间为 ，k∈Z.
【答案】 ，k∈Z
4．已知sinα＋cosα＝ ，α∈ ，sin ＝ ，β∈ .
(1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos (α＋2β)的值．
【解】(1)由题意得(sinα＋cosα)2＝ ，
即1＋sin 2α＝ ，所以sin 2α＝ .
又2α∈ ，
∴cosα＝－ ＝－ ，
∴tanα＝－ .
又tan(π－β)＝ ，∴tanβ＝－ ，
∴tan 2β＝
＝ ＝－ ，
∴tan(α－2β)＝
＝ ＝ .
【答案】A
二、填空题
6．若 ＝－ ，则sinα＋cosα的值为________．
【解析】 ＝ ＝－ (cosα＋sinα)＝－ ，
∴sinα＋cosα＝ .
A． B．－
C．2 D．－2
【解析】∵∠ABC＝30°，
∴ 与 的夹角θ＝180°－30°＝150°，
∴ · ＝| || |cos 150°
＝2sin 15°·4cos 15°·cos 150°
＝4sin 30°cos 150°
＝4× ×
＝－ .
【答案】B
4．若α∈ ，且sin2α＋cos 2α＝ ，则tanα的值等于()
A． B．
C. D．
【解析】∵sin2α＋cos 2α＝ ，∴sin2α＋(1－2sin2α)＝ .
又∵α∈ ，∴sinα＝ ，cosα＝ ，∴tanα＝ .
【答案】D
5．已知sinα＝ ，α∈ ，tan(π－β)＝ ，则tan(α－2β)的值为()
A． B．－
C．－ D．
【解析】∵sinan 2α＝ ＝ .
(2)由于β∈ ，β－ ∈ ，
所以cos ＝ ，于是sin 2
＝2sin cos ＝ ，
sin2 ＝－cos 2β，
所以cos 2β＝－ .又2β∈ ，
所以sin 2β＝ .又sinα＋cosα＝ ，
所以1＋2sinα·cosα＝ ，得1－2sinα·cosα＝ ，
所以a＝f(lg 5)＝ ，
b＝f ＝ ＝ ，
α＋b＝ ＋ ＝1.
【答案】D
2．若θ∈ ，sin 2θ＝ ，则sinθ＝()
A B．
C. D．
【解析】由于θ∈ ，则2θ∈ ，
所以cos 2θ<0，sinθ>0.由于sin 2θ＝ .
所以cos 2θ＝－ ＝－ ＝－ .
又cos 2θ＝1－2sin2θ，
(2)由于－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x＋ ≤ ，
所以当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f(x)有最大值2，
当2x＋ ＝－ ，即x＝－ 时，f(x)有最小值－1.
[力量提升]
1．已知f(x)＝sin2 ，若a＝f(lg 5)，b＝f ，则()
A．a＋b＝0B．a－b＝0
C．a－b＝1D．a＋b＝1
【解析】由于f(x)＝sin2 ＝ ＝ ，