重庆一中高三第一次月考试题（数学理）.10

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重庆一中高级第一次月考考试 数 学（理科）试 题 卷 2008.10
数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：（本大题 10个小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置。

1．集合{}{}
442,2M x y x N y y x ==-==-，则M
N =（ ）
A ．
(2,)+∞ B ．[2,)+∞ C ．N D ． ∅ 2．若函数1(),10
()44,
01x
x x f x x ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则4(log 3)f =（ ）
A ．13
B ．4
3
C ．3
D ．4
3．“(5)0x x -<成立”是“14x -<成立”的（ ） A ．
充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．
充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．在等差数列{}n a 中，12008a =-，其前n 项和为n S ，若
10
1221210
S S -=，则2008S 的值 等于（ ）
A ．
2007- B ．2008- C ．2007 D ．2008 5．已知函数()22x f x =-，则函数 ）
6．函数2()f x x x =- ）
A ．
[0,1] B ．1(,]2-∞ C ．1[,1]2 D ．1[0,]2
7．设)(x f 、)(x g 是定义在R 上的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当 a x b <<时有（ ）
A ．
)()()()(b g b f x g x f > B ．)()()()(x g a f a g x f > C ．
)()()()(x g b f b g x f > D ．)()()()(a g a f x g x f > 8．等比数列{}n a 前n 项的积为n T ，若3618a a a 是一个确定的常数，那么数列10T ，13T ，
17T ，25T 中也是常数的项是（ ）
A ．
10T B ．13T C ．17T D ．25T 9．设方程 x x lg 2=-的两个根为21,x x ，则（ ）
A ．
021<x x B ．121=x x C ．121>x x D ．1021<<x x 10．若()sin f x x x λ=+是区间[1,1]-上的减函数，且2()1f x t t λ≤++在[1,1]x ∈-上恒成立，求实数t 的取值范围（ ）
A ．
1
2
t <- B ．1t ≤- C ．1t >- D ．2t ≥- 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题6 个小题，每小题4分，共24分）各题答案必须填写在答题 卷相应位置上，只填结果，不要过程）。

11．函数1
()1
f x x =
+的反函数1()f x -的定义域是_______________________。

12．式子2lg 2lg5lg 5lg 2⋅++=__________________。

13．已知数列{}n a 为等差数列，且28143a a a ++=，则2313log ()a a +=______________。

14．在等比数列}{n a 中，若,4
1
,1631354321==
++++a a a a a a 则5432111111a a a a a ++++
=__________________。

15．图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则
()(1)f n f n --= 。

（答案用含n 的解析式表示）
16．定义在R 上的函数()y f x =，若对任意不等实数12,x x 满足
1212
()()
0f x f x x x -<-，且对
于任意的,x y R ∈，不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤成立。

又函数(1)y f x =-的图象关
于点(1,0)对称，则当 14x ≤≤时，y
x 的取值范围为__________________。

三、解答题：（本大题6个小题，共76分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指 定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）。

17．（13分）已知函数321()(,)3f x x ax bx a b R =+-∈，若()y f x =图象上的点11(1,)3
-处
的切线斜率为4-，求()y f x =的极大、极小值。

18．（13分）（1）已知集合132P x x ⎧⎫
=≤≤⎨⎬⎩⎭, 函数22()log (22)f x ax x =-+的定义域
为Q 。

若12,,(2,3]23P Q P Q ⎡⎫
==-⎪⎢⎭⎣，求实数a 的值；
（2）函数()f x 定义在R 上且(3)(),f x f x +=当1
32
x ≤≤时, 22()log (22).f x ax x =-+ 若(35)1f =，求实数a 的值。

19．（13分）设2
2(),1
x f x x =
+()52(0)g x ax a a =+->。

（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；
（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。

20．（13分）设222()(log )log 1f x a x b x =⋅+⋅+(,a b 为常数）。

当0x >时，()()F x f x =，且()F x 为R 上的奇函数。

（1）若1
()02
f =，且()f x 的最小值为0，求()f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，求()F x 的表达式； （3）在（1）的条件下,2()1
()log f x k g x x
+-=
在[]2,4上是单调函数,求实数k 的取值范围。

21．（12分）设数列{}n a 前n 项和为n S ，且*(3)23()n n m S ma m n N -+=+∈。

其中m 为实常数，3m ≠-且0m ≠。

（1）求证：{}n a 是等比数列；
（2）若数列{}n a 的公比满足()q f m =且*1113
,()(,2)2
n n b a b f b n N n -==∈≥，求{}n b 的通项公式；
（3）若1m =时，设*12323()n n T a a a na n N =++++∈，是否存在最大的正整数k ，使
得对任意*n N ∈均有8n k
T >成立，若存在求出k 的值，若不存在请说明理由。

22．（12分）已知函数()x f x e =（e 为自然对数的底数），()ln(())g x f x a =+（a 为常数），
()g x 是实数集R 上的奇函数。

（1）求证：()1()f x x x R ≥+∈；
（2）讨论关于x 的方程：2ln ()()(2)g x g x x ex m =⋅-+()m R ∈的根的个数； （提示：ln lim
0x x
x
→+∞=）
（3）设*
n N ∈，证明：1231
n
n
n
n
n e n n n n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+++
+<
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭（e 为自然对数的底数）。

命题：邹发明 审题：李长鸿 制卷：邹发明
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重庆一中高级第一次月考 数 学(理)试 题 答 案 2008.10
一、选择题（50分）：BCABB DACDB
二、填空题（24分）：11. {}
0,x x x R ≠∈ 12. 1 13. 1 14.31 15.4(1)n - 16. 1
[,1]2
- 三、解答题（76分）：
17.（13分）解:2
()2,(1)4f x x ax b f ''=+-=- ∴124a b +-=- ① 又11(1,)3-
在()f x 图象上,∴111
33
a b +-=- 即40a b -+= ② 由①②解得1
3
a b =-⎧⎨
=⎩，
∴32
21()3,()23(3)(1)3
f x x x x f x x x x x '=
--=--=-+ ∴2
()230f x x x '=--= 解得1x =-或3.
x
(,1)-∞-
1-
(1,3)-
3 (3,)+∞
y '
+ 0 - 0 + y
极大值
极小值
∴5
()(1),()(3)93
f x f f x f =-=
==-极大极小。

18.（13分）解:(1)由条件知2(2,)3
Q =- 即2
220ax x -+>解集2(2,)3
-.
∴0a <且2
220ax x -+=的二根为22,3-.∴24324
3a a
⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴32a =-.
(2)∵()f x 的周期为3，2
2(35)(3112)(2)log (242)1f f f a =⨯+==⋅-+=，所以1a =。

19.（13分）解：(1)法一:(导数法)2222
4(1)224()0(1)(1)x x x x x
f x x x +-+'=
=≥++ 在[0,1]x ∈上恒成立. ∴()f x 在[0,1]上增，∴()f x 值域[0,1]。

法二:220,0
22(),(0,1]111
x x f x x x x x
=⎧⎪⎪
=
=⎨∈+⎪+⎪⎩, 复合函数求值域. 法三:2222(1)4(1)22()2(1)4111
x x x f x x x x x +-++=
==++-+++用双勾函数求值域. (2)()f x 值域[0,1]，()52(0)g x ax a a =+->在[0,1]x ∈上的值域[52,5]a a --. 由条件,只须[0,1][52,5]a a ⊆--，∴5205
451
2a a a -≤⎧⇒≤≤⎨
-≥⎩. 20.（13分）解：（1）2
22()log log 1f x a x b x =++，由1()02
f =得10a b -+=， ∴2
22()log (1)log 1f x a x a x =+++，若0a =则2()log 1f x x =+无最小值，∴0a ≠，
欲使()f x 取最小值为0，只能使20
4(1)04a a a a >⎧⎪
⎨-+=⎪
⎩
，得1a =,2b =。

∴2
22()log 2log 1f x x x =++。

（2）设0x <，则0x ->，∴2
22()()log ()2log ()1F x f x x x -=-=-+-+， 又()()F x F x -=-，∴2
22()log ()2log ()1F x x x =-----，又(0)0F =，
∴222222log 2log 1(0)
()0
(0)log ()2log ()1(0)x x x F x x x x x ⎧++>⎪⎪
==⎨⎪-----<⎪⎩
（3）2222log 2log 11()log x x k g x x
+++-=
22log 2log k
x x =++，[2,4]x ∈。

法一：令2log x t =，则2k y t t
=++,[1,2]t ∈，∴当22
1010k k y y t t ''=-≥=-≤或， y 为单调函数。

综上知1k ≤或4k ≥。

法二：复合函数法。

21.（12分）解：（1）由(3)23n n m S ma m -+=+，得11(3)23n n m S ma m ++-+=+，两式相减，得1(3)2(3)n n m a ma m ++=≠-，∴
123
n n a m
a m +=+，∵m 是常数，且3m ≠-，0m ≠，故 23
m
m +为不为0的常数，∴{}n a 是等比数列。

（2）由*1121,(),3
m
b a q f m n N m ====
∈+，且2n ≥时，111233()223n n n n b b f b b ---==⋅
+，得 111111333n n n n n n b b b b b b ---+=⇒
-=，∴1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以1为首项，1
3为公差的等差数列， ∴
112133n n n b -+=+=，故3
2
n b n =+。

（3）由已知1
2
1
1
1112()3()()
2
2
2
n n T n -=+++⋯+，∴23111112()3()()22222
n n T n =
+++⋯+ 相减得：23111()111111121()()()()()1222222212
n
n n n n T n n --=++++⋯+-=--，∴1
242n n n T -+=-， 法一：11321(4)(4)0222n n n n n n n n T T +-+++-=-
--=>，n T 递增，∴min 10
3
()412
n T T ==-=，8n k T >
对n N *∈均成立，∴min ()1,8
n k T <=∴，又k N *
∈，∴k 最大值为7。

法二：导数法。

22.（12分）(1)证:令()1,()1x
x
h x e x h x e '=--=-,令()0100x
h x e x '>⇒->⇒>时 ()0;0f x x '><时,()0f x '<. ∴min ()(0)0f x f == ∴()(0)0h x h ≥= 即1x
e x ≥+.
(2)∵()g x 是R 上的奇函数 ∴(0)0g = ∴0
(0)ln()0g e a =+= ∴ln(1)0a += ∴0a = 故()ln x
g x e x ==. 故讨论方程2
ln (2)x x x ex m =⋅-+在0x >的根的个数. 即
2ln 2x
x ex m x
=-+在0x >的根的个数.()m R ∈
令2ln (),()2x
u x v x x ex m x
=
=-+.注意0x >,方程根的个数即交点个数. 对ln (),(0)x u x x x =>, 22
1
ln 1ln ()x x
x
x u x x x
⋅--'==, 令()0u x '=, 得x e =，
当x e >时,()0u x '<; 当0x e <<时,()0u x '>. ∴1
()()u x u e e
==
极大， 当0x +
→时,ln ()x u x x =
→-∞； 当x →+∞时,ln lim ()lim 0x x x
u x x
→+∞→+∞==， 但此时
()0u x >，此时以x 轴为渐近线。

①当2
1m e e ->
即2
1m e e >+时,方程无根; ②当2
1m e e -=
即2
1m e e =+时,方程只有一个根. ③当2
1m e e -<
即2
1m e e
<+时,方程有两个根. (3)由(1)知1()x
x e x R +≤∈, 令,1,2,...,1i
x i n n
-=
=-, ∴1i n i e n --≤,于是(1)(),1,2,...,1i n n i
n i e e i n n
---≤==-,
∴12121
()()...()(1)(1)...(1)1n
n
n
n n n n n n n
n
n
n n n
--+++=-
+-++-+ (1)1
(1)(2)11
11111...111111111n n
n n n e e e e e e e e e e e e
-----------
--≤++++=
==<=
-----.。