2016年浙江省杭州市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0} 2．（5分）若sin x＝，则cos2x＝（）
A．﹣B．C．﹣D．
3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面P AB的面积是（）
A．B．2C．D．
4．（5分）命题：“∃x0∈R，x0＞sin x0”的否定是（）
A．∀x∈R，x≤sin x B．∀x∈R，x＞sin x
C．∃x0∈R，x0＜sin x0D．∃x0∈R，x0≤sin x0
5．（5分）设函数f（x）＝|lnx|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），则（注：选项中的e为自然对数的底数）（）
A．ab＝e x B．ab＝e C．ab＝D．ab＝1
6．（5分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，设△＝b2﹣4ac，∠ACB＝θ，则cosθ＝（）
A．B．C．D．
7．（5分）在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆交
CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若＝
x+y，则x+y的值可以是（）
A．1B．2C．4D．8
8．（5分）设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝∁U（A∩B），若X，Y，Z为三个集合，则（X*Y）*Z＝（）
A．（X∪Y）∩∁U Z B．（X∩Y）∪∁U Z
C．（∁u X∪∁U Y）∩Z D．（∁U X∩∁U Y）∪Z
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）
9．（4分）设ln2＝a，ln3＝b，则e a+e b＝．（其中e为自然对数的底数）10．（6分）若函数f（x）＝，则f（﹣1）＝；不等式f（x）＜4的解集是．
11．（6分）设直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1＝0（m∈R），则直线l1恒过定点；
若直线l1为圆x2+y2+2y﹣3＝0的一条对称轴，则实数m＝．
12．（6分）设实数x，y满足不等式组，若z＝2x+y，则z的最大值等
于，z的最小值等于．
13．（6分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC ＝CD＝3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；
在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值等于．
14．（4分）设x，y∈R，x2+2y2+xy＝1，则2x+y的最小值等于．
15．（4分）若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2＝1
上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2＝1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是．三、解答题（共5小题，满分74分）
16．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
（1）求C；
（2）若，求a，b，c．
17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，四边形ABCD为
直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，P A＝PD，E，F
分别为线段AD，PC的中点．
（1）求证：P A∥平面BEF；
（2）若直线PC与AB所成的角为45°，求线段PE的长．
18．（15分）设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝a n2+a n+1（n∈N*）．
（1）证明：≥3；
（2）设数列{}的前n项和为S n，证明：S n＜3．
19．（15分）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB＝1，若．（1）求点C的轨迹Γ；
（2）已知直线l：x+4y﹣2＝0，过点D（2，2）作直线m交轨迹Γ于不同的两点E，F，交直线l于点K．问+的值是否为定值，请说明理由．20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣1）•|x﹣a|（a∈R）．
（1）当a＝2且x≥0时，关于x的方程f（x）＝kx﹣有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3，若t＝max|x1，x2，x3|，求实数t的取值范围
（2）当a∈（﹣1，）时，若关于x的方程f（x）＝2x﹣a有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3求x1+x2+x3的取值范围．
2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x≥0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|﹣1＜x≤0}【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）≥0，
解得：x≤0或x≥2，即A＝{x|x≤0或x≥2}，
∵B＝{x|﹣1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}，
故选：D．
2．（5分）若sin x＝，则cos2x＝（）
A．﹣B．C．﹣D．
【解答】解：∵sin x＝，则cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2•＝，
故选：B．
3．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的侧面P AB的面积是（）
A．B．2C．D．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，底面是一个正三角形，后面的侧棱与底面垂直．
∴该几何体的侧面P AB的面积＝＝．
故选：D．
4．（5分）命题：“∃x0∈R，x0＞sin x0”的否定是（）
A．∀x∈R，x≤sin x B．∀x∈R，x＞sin x
C．∃x0∈R，x0＜sin x0D．∃x0∈R，x0≤sin x0
【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是：∀x∈R，x≤sin x，
故选：A．
5．（5分）设函数f（x）＝|lnx|，满足f（a）＝f（b）（a≠b），则（注：选项中的e为自然对数的底数）（）
A．ab＝e x B．ab＝e C．ab＝D．ab＝1
【解答】解：作出函数f（x）的通项如图，
在若f（a）＝f（b）（a≠b）
则设a＜b，则0＜a＜1，b＞1，
即|lna|＝|lnb|，
则﹣lna＝lnb，则lna+lnb＝lnab＝0，
即ab＝1，
故选：D．
6．（5分）设抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴有两个交点A，B，顶点为C，设△＝b2﹣4ac，∠ACB＝θ，则cosθ＝（）
A．B．C．D．
【解答】解：如图示：
，
∵|AB|＝＝＝，
∴|AD|＝，
而|CD|＝||＝，
∴AC2＝|AD|2+|CD|2＝+＝
∴cosθ＝
＝1﹣
＝1﹣，
＝，
故选：A．
7．（5分）在Rt△ABC中，∠C是直角，CA＝4，CB＝3，△ABC的内切圆交CA，CB于点D，E，点P是图中阴影区域内的一点（不包含边界）．若＝
x+y，则x+y的值可以是（）
A．1B．2C．4D．8
【解答】解：设圆心为O，半径为r，则OD⊥AC，OE⊥BC，∴3﹣r+4﹣r＝5，解得r＝1．
连结DE，则当x+y＝1时，P在线段DE上，排除A；
在AC上取点M，在CB上取点N，使得CM＝2CD，CN＝2CE，连结MN，∴
＝+．
则点P在线段MN上时，+＝1，故x+y＝2．
同理，当x+y＝4或x+y＝8时，P点不在三角形内部．排除C，D．
故选：B．
8．（5分）设U为全集，对集合A，B定义运算“*”，A*B＝∁U（A∩B），若X，Y，Z为三个集合，则（X*Y）*Z＝（）
A．（X∪Y）∩∁U Z B．（X∩Y）∪∁U Z
C．（∁u X∪∁U Y）∩Z D．（∁U X∩∁U Y）∪Z
【解答】解：∵X*Y＝∁U（X∩Y），
∴对于任意集合X，Y，Z，
（X*Y）*Z＝∁U（X∩Y）*Z
＝∁U[∁U（X∩Y）∩Z]
＝（X∩Y）∪∁U Z
故选：B．
二、填空题（共7小题，每小题4分，满分36分）
9．（4分）设ln2＝a，ln3＝b，则e a+e b＝5．（其中e为自然对数的底数）【解答】解：ln2＝a，ln3＝b，则e a+e b＝e ln2+e ln3＝2+3＝5．
故答案为：5．
10．（6分）若函数f（x）＝，则f（﹣1）＝1；不等式f（x）＜4的解集是（﹣4，）．
【解答】解：函数f（x）＝，
则f（﹣1）＝﹣（﹣1）＝1，
不等式f（x）＜4，则或，
解得0＜x＜或﹣4＜x≤0，
故不等式的解集为（﹣4，），
故答案为：1，（﹣4，）．
11．（6分）设直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1＝0（m∈R），则直线l1恒过定点（1，1）；若直线l1为圆x2+y2+2y﹣3＝0的一条对称轴，则实数m＝2．【解答】解：∵直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1＝0（m∈R），
∴（x﹣y）m+y﹣1＝0，
由，解得x＝1，y＝1，
∴直线l1恒过定点（1，1）．
∵直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1＝0（m∈R）为圆x2+y2+2y﹣3＝0的一条对称轴，∴直线l1：mx﹣（m﹣1）y﹣1＝0（m∈R）经过圆x2+y2+2y﹣3＝0的圆心（0，﹣1），
∴m×0﹣（m﹣1）×（﹣1）﹣1＝0，
解得m＝2．
故答案为：（1，1），2．
12．（6分）设实数x，y满足不等式组，若z＝2x+y，则z的最大值等于2，z的最小值等于0．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
化z＝2x+y为y＝﹣2x+z，
由图可知，当直线y＝﹣2x+z过O时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为0；
当直线过A（1，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2．
故答案为：2，0．
13．（6分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，∠BCD＝90°，且BC ＝CD＝3．将△ABC沿BC的边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，
若点M在△BCD内部（含边界），则点M的轨迹的最大长度等于；
在翻折过程中，当点M位于线段BD上时，直线AB和CD所成的角的余弦值
等于．
【解答】解：由题意可得点A的射影M的轨迹为CD的中位线，其长度为CD ＝；
当点M位于线段BD上时，AM⊥平面ACD，取BC中点为N，AC中点为P，
∴∠MNP或其补角即为直线AB和CD所成的角，
则由中位线可得MN＝CD＝，PC＝AB＝，
又MP为RT△AMC斜边AC的中线，故MP＝AC＝，
∴在△MNP中，由余弦定理可得cos∠MNP＝＝，故答案为：；．
14．（4分）设x，y∈R，x2+2y2+xy＝1，则2x+y的最小值等于﹣2．
【解答】解：令2x+y＝t，则y＝t﹣2x，∵x2+2y2+xy＝1，
∴x2+2（t﹣2x）2+x（t﹣2x）＝1，
整理可得7x2﹣7tx+2t2﹣1＝0，
由△＝49t2﹣4×7×（2t2﹣1）≥0可解得﹣2≤t≤2，
故2x+y的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
15．（4分）若点P在曲线C1：上，点Q在曲线C2：（x﹣5）2+y2＝1上，点R在曲线C3：（x+5）2+y2＝1上，则|PQ|﹣|PR|的最大值是10．
【解答】解：曲线C1：的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），
|PF1|﹣|PF2|＝8
则这两点正好是两圆（x+5）2+y2＝1和（x﹣5）2+y2＝1的圆心，
两圆（x+5）2+y2＝4和（x﹣5）2+y2＝1的半径分别是r1＝1，r2＝1，
∴|PQ|max＝|PF1|+1，|PR|min＝|PF2|﹣1，
∴|PQ|﹣|PR|的最大值＝（|PF1|+1）﹣（|PF2|﹣1）＝8+2＝10，
故答案为：10
三、解答题（共5小题，满分74分）
16．（15分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，
（1）求C；
（2）若，求a，b，c．
【解答】解：（1）由得
则有＝
得cot C＝1即、
（2）由推出；而，
即得，
则有解得．
17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，四边形ABCD为
直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，BC＝CD＝AD＝1，P A＝PD，E，F
分别为线段AD，PC的中点．
（1）求证：P A∥平面BEF；
（2）若直线PC与AB所成的角为45°，求线段PE的长．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC＝90°，
BC＝CD＝AD＝1，P A＝PD，E，F分别为线段AD，PC的中点，
∴PE⊥平面ABCD，BE⊥AE，
以E为原点，EA为x轴，EB为y轴，EP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），E（0，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0），
设P（0，0，t），则F（﹣，，），
＝（1，0，﹣t），＝（﹣），＝（0，1，0），
设平面BEF的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝t，得＝（t，0，1），
∵•＝t﹣t＝0，且P A⊄平面BEF，
∴直线P A∥平面BEF．
解：＝（﹣1，1，t），＝（﹣1，1，0），
∵直线PC与AB所成的角为45°，
∴cos45°＝＝，
解得t＝，或t＝﹣（舍），
∴PE＝t＝．
18．（15分）设数列{a n}满足a1＝，a n+1＝a n2+a n+1（n∈N*）．
（1）证明：≥3；
（2）设数列{}的前n项和为S n，证明：S n＜3．
【解答】证明：（1）∵数列{a n}满足a1＝，a n+1＝a n2+a n+1（n∈N*）．
∴a n＞0，
∴＝a n++1≥+1＝3，当且仅当a n＝1时取等号，
∴≥3．
（2）由（1）可得a n a n+1．
∴．
∴当n≥2时，≤≤…≤＝2．∴S n≤2＝2×＝3．
∵a n≠1，
∴S n＜3．
19．（15分）设点A，B分别是x，y轴上的两个动点，AB＝1，若．（1）求点C的轨迹Γ；
（2）已知直线l：x+4y﹣2＝0，过点D（2，2）作直线m交轨迹Γ于不同的两点E，F，交直线l于点K．问+的值是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设A（m，0），B（0，n），则m2+n2＝1，
设C（x，y），由，得（m，﹣n）＝（x﹣m，y），
∴，得m＝，y＝﹣n，
代入m2+n2＝1，得＝1；
（2）设E，F，K的横坐标分别为：x E，x F，x K，
设直线m的方程：y﹣2＝k（x﹣2），与直线l：x+4y﹣2＝0联立可得x K＝，将直线m代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8k（﹣2k+2）x+16k2﹣32k+12＝0，
∴x E+x F＝，x E x F＝，
∴+＝+＝＝2为定值．20．（14分）设函数f（x）＝（x﹣1）•|x﹣a|（a∈R）．
（1）当a＝2且x≥0时，关于x的方程f（x）＝kx﹣有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3，若t＝max|x1，x2，x3|，求实数t的取值范围
（2）当a∈（﹣1，）时，若关于x的方程f（x）＝2x﹣a有且仅有三个不同的实根x1，x2，x3求x1+x2+x3的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，作函数f（x）＝（x﹣1）•|x﹣a|的图象如下，
相切时取到一个临界状态，f（x）＝（x﹣1）（2﹣x），
f′（x）＝3﹣2x，
故3﹣2x＝，
解得，x＝﹣（舍去）或x＝，故k＝3﹣＝，
由解得，
x＝或x＝，
∵t＝max{x1，x2，x3}，
∴结合图象可得，2＜t＜；
（2）当x≤a时，f（x）＝（x﹣1）（a﹣x）＝2x﹣a，
化简可得，x2﹣（a﹣1）x+a＝0，
△＝（a﹣1）2﹣2a＝a2﹣4a+1＝（a﹣2）2﹣3，
∵a∈（﹣1，），∴△＞0；
∴x1＝或x2＝（舍去），
当x＞a时，f（x）＝（x﹣1）（x﹣a）＝2x﹣a，
化简可得，x2﹣（a+3）x+a＝0，
故△＝（a+3）2﹣6a＝a2+9＞0，
故x2+x3＝a+3，
故x1+x2+x3＝+a+3＝，
令g（x）＝3x+5﹣，g′（x）＝3﹣＞0，故g（x）在（﹣1，）上单调递增；
故＜＜，
即1﹣＜＜，
故x1+x2+x3的取值范围为（1﹣，）．。