26.2 实际问题与反比例函数（2）导学案（教师版学生版）

26.2实际问题与反比例函数（2）
教学目标：
1、能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题；
2、能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题．
3、渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力． 教学重点：会用反比例函数知识分析、解决实际问题
教学难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式． 教学过程： 一、情景引入
1.同学们“给我一个支点，我可以撬动地球！——__________”你认为可能吗？
2.大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？
3.同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？ 今天我们就一起来看看阿基米德的这个原理蕴含了那些数学知识吧！ 二、新知讲解
活动1 物理力学、热学中的反比例函数
公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发 现.若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量 成反比，则杠杆平衡.后来人们把它归纳为 “杠杆原理通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂(如图).
例1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为1200牛顿和0.5米.
(1)动力F 与动力臂 L 有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 米时,撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F 不超过题(1)中所用力的一半,则动力臂至少加长多少?
（你能根据分析，完成下列填空吗？小组合作交流，试一试，你们一定行！） 解：（1）根据“杠杆定律”，有F l =_____________， ∴ F 与l 的函数解析式为：F=_____________， 当l=1.5时，F= _____________，
∴撬动石头至少需要_____________牛顿的力
（2）由（1）可知F l =600，得函数解析式l =_____________，
当F=_____________=_____________ 时，l =_____________= _____________， ∴_____________－1.5=_____________，
答：若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长_____________米.
●小结：本题考查了反比例函数的应用，结合物理知识进行考察顺应了新课标理念，立意新颖，注意物理学知识：动力×动力臂=阻力×阻力臂． 巩固练习
1、某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I （A ）与电阻R （Ω）成反比例. 右图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的图象，则用电阻R 表示电流I 的函数解析式为（ ） A.R
I 2
=
B. R
I 3
=
C.R
I 6
=
D. R
I 6
-
=
O R(Ω)
I(A)
(3,2)
3
2
2、甲、乙两地相距100千米，汽车从甲地到乙地所用的时间y(小时)与行驶的平均速度x(千米/小时)的函数图象大致是( )
3、物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P与所受压力F及受力面积S之间的计算公式为
S
F
P ．当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P与受力面积S之间的关系用图象表示大致为( )
4、如图，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验，在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处，悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x(cm)，观察弹簧的示数y(N)的变化情况，实验数据记录如下：
(1)根据表中的数据，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少厘米？随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将会发生怎么样的变化？
活动2 物理电学中的反比例函数
同学们知道，用电器的输出功率P(瓦)、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PR＝U２．这个关系也可写为P＝______，或R＝_____
那么，这些也可以类似用我们的数学关系来刻画吗？我们一起来看看：
例2 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110 Ω～220 Ω.已知电压为220 V ，这个用电器的电路图如图所示．
(1)功率P 与电阻R 有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？
解：（1）根据电学知识，当U=220时，有P=__________
∴ 输出功率P 是电阻R 的反比例函数，解析式为：P=__________①
（2）从①式可以看出，电阻越大，功率越小.把电阻的最小值R=110代入①式，得到输出功率
的最大值P=__________把电阻的最大值R=220代入①式，则得到输出功率的最小值，P=__________ ∴ 用电器的输出功率在__________瓦到__________瓦之间.
思考 为什么收音机的音量、某些台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？
因为电压不变时，输出功率P 是电阻R 的反比例函数，通过调节电器的电阻可以改变功率，电阻越大，功率越小
●小结：解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式，进一步根据题意求解答案．其中往往要用到电学中的公式PR ＝U 2，P 指用电器的输出功率（瓦），U 指用电器两端的电压（伏），R 指用电器的电阻（欧姆）．
变式练习
1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积 V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa 时，气球将爆炸． 为安全起见，气球的体积应( )． A.不小于
45 m 3 B ．小于45m 3 C ．不小于54m 3 D ．小于5
4m 3
2、某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的湿地．为了安全、迅速通过这片湿地，他
们沿着前进路线铺若干木板，构筑成一条临时通道，木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m 2
)的反比例函数，其图象如图所示，当木板压强不超过6000 Pa 时，木板的面积至少应为_________． 3、某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的牵引力F(N)有关系式v ＝F(P)，且当F ＝3000 N 时，v ＝20 m/s.
(1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的表达式； (2)当它所受的牵引力为2500 N 时，汽车的速度为多少？
(3)如果限定汽车的速度不超过30 m/s ，则牵引力F 在什么范围内？
三、拓展提高
实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5小时后(包括1.5小时)y与x可近似地用反比例函数y＝x(k)(k＞0)刻画(如图所示)．
(1)根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？②当x＝5时，y＝45，求k的值；
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
四、课堂小结
本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，抽象出数学模型，逐步形成解决实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象帮助分析问题，渗透数形结合的思想．
五、布置作业
教材15页练习1、2、3
当堂测评
1、在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度ρ(kg/m3)是V(m3)的反比例函数，它的图象如图所示，当V＝10 m3时，气体的密度是( )
A ．5 kg/m 3
B ．2 kg/m 3
C ．100 kg/m 3
D ．1 kg/m 3
2、蓄电池电压为定值，使用此电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的关系图象如图所示，若点P 在图象上，则I 与R(R ＞0)的函数关系式是_ _．
3、在对物体做功一定的情况下，力F(N)与物体在力的方向上移动的距离s(m)成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到10 N 时，物体在力的方向上移动的距离是_________m.
4、一定质量的氧气，它的密度ρ(kg/m 3)是它的体积V(m 3)的反比例函数．当V ＝10 m 3
时，ρ＝
1.43 kg/m 3.(1)求ρ与V 的函数关系式；(2)求当V ＝2 m 3
时氧气的密度ρ.
5、某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线y ＝k
x
的一部分．请根据图中信息解答下列问题：
(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值；
(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？
例1中巩固练习答案（例题答案详见ppt ） 1. C 2. C 3. C 4. (1)x
y 300
=
(2)当y ＝24时，x ＝300
24＝12.5 cm ，随着弹簧秤与O 点的距离不断减小，弹簧称上的示数会不断变大
例2中变式练习答案（例题答案详见ppt ）
1. C
2. 0.1
3.（1）F
v 60000
=
（2）v=24m/s （3）F ≥2000N
当堂测评答案 1. D 2. R
I 36
=
3. 0.5
4.(1)ρ＝m V ，当V ＝10 m 3时，ρ＝1.43 kg/m 3
，所以m ＝ρV ＝10×1.4＝14.3，所以ρ＝14.3v ；(2)
当V ＝2 m 3时，ρ＝14.32
＝7.15(kg/m 3
)．
5.解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为10小时
(2)∵点B(12，18)在双曲线y ＝k x 上，∴18＝k
12
，∴k ＝216
(3)当x ＝16时，y ＝216
16＝13.5，所以当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5℃.。