人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试6(含解析)

人教版数学七年级下册第五章《垂线》真题同步测试6（含解析）
综合考试
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人
一、单选题(共10题；共40分)
得分
1．（4分）（2023七下·海淀期末）如图，直线AB与CD交于点O，OE⊥AB，若∠AOD=140°，则∠COE的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
2．（4分）下列四个条件中能判断两条直线互相垂直的有（ ）
①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°．
A．4个B．3个C．2个D．1个
∥，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（ ）3．（4分）（2022七下·巴彦期末）如图，AB CD
A．30°B．40°C．50°D．45°
4．（4分）（2020八上·松阳期末）如图，在Rt ABC
△中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．24
5B．5C．6D．8
5．（4分）如图，AB l⊥，BC l⊥，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上，理由是（ ）
A．经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
6．（4分）如图，直线l1∥直线l2，直线l3与直线l1，l2分别相交于点A，点B，AC与BC相交于点C，若AC⊥BC，∠1=∠2，则下列结论正确的个数是（ ）
①∠1+∠3=90°；②∠2+∠4=90°；③∠3=∠4；③∠2=∠4
A．1B．2C．3D．4
7．（4分）如果直线MN外一点A到直线MN的距离是2 cm，那么点A与直线MN上任意一点B所连成的线段AB的长度一定（ ）
A ．等于2 cm
B ．小于2 cm
C ．大于2 cm
D ．大于或等于2 cm
8．（4分）（2017·承德模拟）如图，AB CD ∥，EF AB ⊥于E ，EF 交CD 于F ，已知∠1=60°，则∠2=（ ）
A ．20°
B ．60°
C ．30°
D ．45°
9．（4分）直线l 上有A 、B 、C 三点，直线l 外有一点P ，若P A =5cm ，PB =3cm ，PC =2cm ，那么点到直线l 的距离（ ）
A ．等于2cm
B ．小于2cm
C ．不大于2cm
D ．大于2cm 且小于3cm
10．（4分）（2023九下·沭阳月考）在平面直角坐标系xOy 中，以P (0，−1)为圆心，PO 为半径作圆，M 为⊙P 上一点，若点N 的坐标为(a ，2a +4)，则线段MN 的最小值为（ ）
A ．√5−1
B ．2√5+1
C ．2√5−1
D ．√5+1
阅卷人
二、填空题(共8题；共32分)
得分
11．（4分）（2019七下·老河口期中）如图，已知AB CD ⊥，垂足为点O ，直线EF 经过点O ，若∠1=35°，则∠AOE 的度数为 度.
12．（4分）（2022七下·椒江期末）如图，在马路旁有一个村庄，现要在马路l 上设立一个核酸检测点为方便该村村民参加核酸检测，核酸检测点最好设在 处，理由是 .
13．（4分）（2021八上·覃塘期末）如图，在 △ABC 中， AB=AC ，D是 BC 边的中点， EF 垂直平分 AB 边，动点P在直线 EF 上，若 BC=12 ， S△ABC=84 ，则线段 PB+PD 的最小值为 .
14．（4分）如图，在三角形ABC中，∠BCA=90∘，BC=3，AC=4，AB=5，点P是线段AB上的一动点，则线段CP的最小值是 ．
△中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，D是15．（4分）（2022九下·江岸月考）如图，在Rt ABC
AB的中点.E，F分别是直线AC，BC上的动点，∠EDF＝90°，则线段EF的最小值为 .
⊥，∠1=20°，则∠BOE= 16．（4分）如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF OE
°，∠DOF= °，∠AOF= °．
17．（4分）（2015七下·深圳期中）已知a，b，c为平面内三条不同直线，若a b⊥，c b⊥，则a与c的位置关系是 ．
△中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别18．（4分）（2017八下·无棣期末）如图，Rt ABC
△的面积为 通过A、B、C三点，且l1l∥2l∥3．若l1与l2的距离为4，l2与l3的距离为6，则Rt ABC
．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人
三、作图题(共4题；共36分)
得分
19．（4.5分）按要求画图：
∥交DC于E；
①作BE AD
∥交DC的延长线于F；
②连接AC，作BF AC
⊥于G．
③作AG DC
20．（4.5分）（2022七下·法库期中）在如图所示的正方形网格中，有两条线段AB和BC（点
A，B，C均在格点上），请按要求画图．
（ 1 ）过点A画出BC的平行线；
（ 2 ）过点C画出AB的平行线，与（1）中的平行线交于点D；
（ 3 ）过点D画AB的垂线，垂足为E．
21．（13.5分）（2019·汕头模拟）如图，已知△ABC，按要求作图．
（1）（4.5分）过点A作BC的垂线段AD；
（2）（4.5分）过C作AB、AC的垂线分别交AB于点E、F；
（3）（4.5分）AB＝15，BC＝7，AC＝20，AD＝12，求点C到线段AB的距离． 22．（13.5分）（2023七下·宿迁期中）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请利用网格点和直尺，完成下列各题：
（1）（4.5分）画出△ABC中AB边上的中线CD，AC边上的高线BE；
（2）（4.5分）将△ABC先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，请在图中画出平移后的△A1B1C1；
（3）（4.5分）△ABC的面积是 ．
阅卷人
四、综合题(共3题；共42分)
得分
23．（11分）（2017·兰州）在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：
已知：直线l和l外一点P
求作：直线l的垂线，使它经过点P．
作法：如图：⑴在直线l上任取两点A、B；
⑵分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；
⑶作直线PQ．
参考以上材料作图的方法，解决以下问题：
（1）（5分）以上材料作图的依据是： （2）（6分）已知，直线l和l外一点P，
求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
24．（12分）（2016九下·澧县开学考）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）（6分）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
DE 的长．
（2）（6分）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求 ^
25．（19分）（2021八上·攀枝花期中）小孟同学将等腰直角三角板ABC（AC=BC）的直角顶点C 放在一直线m上，将三角板绕C点旋转，分别过A，B两点向这条直线作垂线AD，BE，垂足为D，E．
（1）（6分）如图1，当点A，B都在直线m上方时，猜想AD，BE，DE的数量关系是 ；
（2）（6分）将三角板ABC绕C点按逆时针方向旋转至图2的位置时，点A在直线m上方，点B 在直线m下方．（1）中的结论成立吗？请你写出AD，BE，DE的数量关系，并证明你的结论．（3）（7分）将三角板ABC继续绕C点逆时针旋转，当点A在直线m的下方，点B在直线m的上方
时，请你画出示意图，按题意标好字母，直接写出AD，BE，DE的数量关系结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵AOD=140°，
∠，
∴AOC=180°-AOD=40°
⊥，
∵OE AB
∠，
∴AOE=90°
∠∠∠，
∴COE=AOE-AOC=50°
故答案为：B.
∠，再根据垂线的定义求出∠AOE=90°，最【分析】根据邻补角的定义先求出AOC=180°-AOD=40°
后计算求解即可。

2．【答案】A
【解析】【解答】①两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，是定义，能判断；
②两条直线相交所成的四个角相等，则四个角都是直角，能判断；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻的角相等，根据邻补角的定义能求出这两个角都是直角，能判断；
④两条直线相交所成的四个角中有一组对顶角的和为180°，根据对顶角相等求出这两个角都是直角，能判断。

所以，四个都能判断两条直线互相垂直。

故选A．
【分析】根据垂线的定义对各小题分析判断即可得解。

3．【答案】C
∥，
【解析】【解答】解：∵AB CD
∠，
∴∠2+ABD=180°
∵DB⊥BC，
∴∠CBD=90°，
∠，
∵∠ABC=1=40°
∠∠，
∴∠ABD=ABC+CBD=130°
∴∠2=50°．
故答案为：C
【分析】由平行线的性质可得∠2+ABD=180°∠，由垂直的定义可得∠CBD=90°，由对顶角相等可得∠ABC=1=40°∠，从而求出∠ABD=ABC+CBD=130°∠∠，继而求解.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：过C 作CM AB ⊥于M ，交AD 于P ，过P 作PQ AC ⊥于Q ，
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴PQ=PM ，则PC+PQ=PC+PM=CM ，即PC+PQ 有最小值，为CM 的长，
∵在Rt ABC △中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理得：AB=10，
又 S △ABC =12AB·CM =12AC·BC ，∴CM =6×810=245
，∴PC+PQ 的最小值为 245 ，故答案为：A.
【分析】过C 作CM AB ⊥于M ，交AD 于P ，过P 作PQ AC ⊥于Q ，由角平分线的性质得出
PQ=PM ，这时PC+PQ 有最小值，为CM 的长，然后利用勾股定理和等面积法求得CM 的长即可解答.
5．【答案】C
【解析】【分析】根据垂线性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可判断，AB l ⊥，BC l ⊥，B 为垂足，那么A ，B ，C 三点在同一条直线上。

【点评】本题难度较低，主要考查学生对同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直的概念掌握.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：解：∵AC BC ⊥，∠C=90°，∠1+3+C=180°∠∠，即：∠1+3=90°∠，故①正确.∵l 1//l 2，即∠1+2+3+4=180°∠∠∠，即∠2+4=90°∠，故②正确.
∵1=2∠∠，∠1+4=90°∠，∠1+3=90°∠，∴∠3=4∠，故③正确.
由题意可知：∠2不一定等于∠4，故④不正确.
故答案为：C.
【分析】考查平行线的性质，三角形的内角和为180°.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：根据“在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短”，
可知2 cm是连接点A与直线MN上各点的线段中最短线段的长度
故答案为：D
【分析】根据垂线段最短，可得出答案。

8．【答案】C
∥，
【解析】【解答】解：∵AB CD
∠（两直线平行，同位角相等），
∴∠3=1=60°
⊥于E，
∵EF AB
﹣，
∴∠2=90°60°=30°
故选C．
【分析】利用平行线的性质和垂线的定义计算．
9．【答案】C
【解析】【解答】解：∵2＜5，2＜3，
∴点P到直线l的距离最大可能是2，
也可能小于2，（大于0），
故答案选C.
【分析】根据“过直线外一点，和直线上所有点的连线段中，垂线段最短”，结合题目，垂线段最大可能是2，也可能小于2.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵点N的坐标为(a，2a+4)，
∴点N为直线y=2x+4上任意一点，如下图所示：
直线AB为函数y=2x+4的图象，则N为直线AB上一点，M为⊙P上一点，
由图象可知：过点P作AB垂线，当M、N分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最大，
此时：sin∠BAO=BO
AB
=NP
AP，
把x=0代入y=2x+4得：y=4，
把y=0代入y=2x+4得：2x+4=0，解得：x=−2，∴B(−2，0)，A(0，4)，
∴AB=√(−2)2+42=2√5，
∵AP=4−(−1)=4+1=5，
2√5=NP
5，
∴NP=√5，
此时MN=PN+MP=√5+1，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据点N的坐标可得点N为直线y=2x+4上任意一点，由图象可知：过点P作AB的垂线，当M、N分别是垂线与AB、⊙P的交点时，MN的长度最大，易得点A、B的坐标，求出AB的值，根据三角函数的概念可得NP，然后利用MN=PN+MP进行计算.
11．【答案】55
【解析】【解答】解：∵AB CD
⊥，
∴∠BOC=90°，
∵∠1=35°，
∴∠FOB=90°-35°=55°，
∴∠AOE=FOB=55°
∠，
故答案为：55.
【分析】首先根据垂直定义可得∠BOC=90°，再根据余角定义可计算出∠FOB的度数，再根据对顶角相等可得答案.
12．【答案】点C；垂线段最短
【解析】【解答】解：∵如图，
∵OC l⊥，垂线段最短，
∴核酸检测点最好设在点C.
故答案为：点C，垂线段最短.
【分析】利用垂线段最短，可得答案. 13．【答案】14
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=AC，D是BC中点，
∴AD BC
⊥，
又∵BC=12，S ABC
△=84，
∴1
2×12×AD=84，
∴AD=14，
∵EF垂直平分AB，
∴PA=PB，
∴PB+PD=PA+PD，
∴当A，P，D在同一直线上时，PB+PD=PA+PD=AD，即AD的长度=PB+PD的最小值，
∴PB+PD 的最小值为14，
故答案为：14.
【分析】根据三角形的面积公式得到AD=14，由EF 垂直平分AB ，得到点A ，B 关于直线EF 对称，于是得到AD 的长度=PB+PD 的最小值，即可得到结论.
14．【答案】2.4
15．【答案】6.5
【解析】【解答】解：如图，过点D 作DM AE ⊥，交AE 于点M ；过点D 作DN BC ⊥，交BC 于点N
∵∠EDF ＝90°，
∴EF =√D E 2+D F 2
∴D E 2+D F 2 最小时，EF 取最小值
∵DM ⊥AE ， DN ⊥BC
∴当点E 和点M 重合，点F 和点N 重合时，DE 、DF 分别取最小值，即DF 最小值为DN ，DE 最小值为DM ，EF 最小值为 √D M 2+D N 2
∵∠ACB ＝90°， DM ⊥AE ， DN ⊥BC ，
∴四边形CMDN 是矩形
∴DN /¿AC ， DM /¿BC
∵D 是AB 的中点
∴ DM 、DN 为Rt ABC △中位线
∵AC ＝5，BC ＝12
∴DM =12BC =6 ， DN =12AC =52∴EF 最小值 ¿√D M 2+D N 2=√36+254=132
=6.5故答案为：6.5.
【分析】过点D 作DM AE ⊥，交AE 于点M ，过点D 作DN BC ⊥交BC 于点N ，利用勾股定理可知
EF =√D E 2+D F 2，当 D E 2+D F 2 最小时则EF 最小； 利用垂线段最短可知点E 和点M 重合，点
F 和点N 重合，可得到四边形DMCN 是矩形，此时DF 的最小值就是DN 的长，DE 的最小值就是DM 的长；利用三角形的中位线定理可求出DM ，DN 的长；利用勾股定理可求出MN 的最小值即EF 的最小值.
16．【答案】10；80；80
【解析】【解答】解：∵∠1与∠BOD 是对顶角，
∴∠BOD=1=20°∠．（对顶角相等）
∵OE 平分∠BOD ，
∴∠BOE=DOE=10°∠．（角平分线定义）
∵OF OE ⊥，
∴∠DOF=90°DOE
﹣∠=90°10°=80°﹣．
∴∠AOF=180°BOD DOF
﹣∠﹣∠=180°20°80°=80°﹣﹣．
故答案为：10，80，80．
【分析】①已知∠1=20°，根据对顶角相等，可求∠BOD ，又OE 平分∠BOD ，可求∠BOE ．②已知OF OE ⊥，∠DOF 与∠DOE 互余，由此可求∠DOF ．
③根据平角求解，即∠AOF+BOD+DOF=180°∠∠．
17．【答案】平行
【解析】【解答】解：∵a b ⊥，c b ⊥，
∴a c ∥，
故答案为：平行．
【分析】根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得答案．
18．【答案】26
【解析】【解答】解：过点B 作EF l ⊥2，交l 1于E ，交l 3于F ，如图，
∵EF l ⊥2，l 1l ∥2l ∥3，
∴EF l ⊥1l ⊥3，
∴∠ABE+EAB=90°∠，∠AEB=BFC=90°∠，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+FBC=90°∠，
∴∠EAB=FBC ∠，
在△ABE 和△BCF 中，
{∠AEB =∠BFC ∠EAB =∠FCB AB =BC
，
∴△ABE BCF ≌△，
∴BE=CF=4，AE=BF=6，
在Rt ABE △中，AB 2=BE 2+AE 2，
∴AB 2=52，
∴S ABC △= 12 AB BC= ⋅12
AB 2=26.
故答案是26.
19．【答案】解：如图所示：BE 、BFAG 即为所求
【解析】【分析】按要求作图即可。

20．【答案】解：⑴图中直线AF 即为所求；
⑵图中直线CD 即为所求；
⑶图中直线DE 即为所求．
【解析】【分析】根据要求作出图象即可。

21．【答案】（1）解：如图，AD为所作；
（2）解：如图，CE、CF为所作；
（3）解：∵S ABC
△＝ 1
2•AB•CE＝
1
2•BC•AD，
∴CE＝ BC⋅AD
AB ＝
7×12
15 ＝
28
5 ，
即点C到线段AB的距离为 28
5 ．
【解析】【分析】（1）尺规作图：经过直线外一点作已知直线的垂线；（2）基本尺规作图：经过直线外一点作已知直线的垂线；
（3）利用三角形的面积公式： S ABC
△＝ 1
2•AB•CE＝
1
2•BC•AD，即可求出C到线段AB的距离
CE。

22．【答案】（1）解：如图：CD、BE即为所求．
（2）解：如题（1）图：△A1B1C1即为所求．（3）6
【解析】【解答】解：（3）S ABC
△=4×4-1
2×4×4-
1
2×1×4=16-8-2=6.
故答案为：6.
【分析】（1）找出边AB的中点D，连接CD即为中线，根据垂线的作法可得高线BE；
（2）分别将点A、B、C先向左平移4个单位吃饭，再向上平移3个单位长度，得到对应点
A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用△ABC外接正方形的面积减去周围2个直角三角形的面积，即可求出△ABC的面积. 23．【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
（2）作图如下
．
【解析】【解答】解：（1）以上材料作图的依据是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得答案；（2）根据线段垂直平分线的性质，切线的性质，可得答案．
24．【答案】（1）解：如图，
⊙C 为所求
（2）解：∵⊙C 切AB 于D ，
∴CD AB ⊥，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°A=90°30°=60°﹣∠﹣，
∴∠BCD=90°ACD=30°﹣∠，
在Rt BCD △中，∵cos BCD=
∠CD BC ，∴CD=3cos30°= 3√32
，∴^DE 的长= 60⋅π⋅
3√32180 = √32 π【解析】【分析】（1）过点C 作AB 的垂线，垂足为点D ，然后以C 点为圆心，CD 为半径作圆即可；（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余可计算出∠DCE=90°-A=60°∠，进而得出∠BCD=90°-ACD=30°∠，再在Rt BCD △中利用∠BCD 的余弦可计算出CD=的长，利用弧长公式计算出答案。

25．【答案】（1）DE=AD+BE
（2）解：不成立，应满足DE=AD-BE ，理由如下所示，
∵AD m ⊥，BE m ⊥，
∴∠ADC=BEC=90°∠；
∴∠ACD+CAD=90°∠，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+BCE=90°∠，
∴∠CAD=BCE ∠；
∵又AC=CB，
≌△（AAS）
∴△ACD CBE
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
（3）DE=¿AD−BE∨¿
【解析】【解答】解：（1）DE=AD+BE，理由如下：∵∠ACB=90°，
∠，
∴∠ACD+BCE=90°
∵AD⊥直线m，BE⊥直线m，.
∠，
∴∠ADC=CEB=90°
∠，
∴∠CAD+ACD=90°
∠，
∴∠CAD=BCE
又∵AC=CB，
≌△（AAS），
∴△CAD BCE
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=CD+CE=AD+BE；
（3）DE=¿AD−BE∨¿，理由如下：
如图3-1所示，
∵AD m ⊥，BE m ⊥，
∴∠ADC=BEC=90°∠；
∴∠ACD+CAD=90°∠，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+BCE=90°∠，
∴∠CAD=BCE ∠；
∵又AC=CB ，
∴△ACD CBE ≌△（AAS ）
∴AD=CE ，CD=BE ，
∴DE=CD-CE=BE-AD ；
如图3-2所示，
∵AD m ⊥，BE m ⊥，
∴∠ADC=BEC=90°∠；
∴∠ACD+CAD=90°∠，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+BCE=90°∠，
∴∠CAD=BCE ∠；
∵又AC=CB ，
∴△ACD CBE ≌△（AAS ）
∴AD=CE ，CD=BE ，
∴DE=CE-CD=AD-BE ；
∴综上所述，DE=¿AD−BE ∨¿．
【分析】（1）利用垂直的定义和余角的性质可证得∠CAD=BCE ∠，∠ADC=CEB=90°∠，利用AAS 证明△CAD BCE ≌△，利用全等三角形的对应边相等，可知AD=CE ，CD=BE ；然后根据
DE=CD+CE ，代入可得到AD ，BE ，DE 之间的数量关系.
（2）利用垂直的定义和余角的性质可证得∠ADC=BEC ∠，∠CAD=BCE ∠，利用AAS 证明
△CAD BCE ≌△，利用全等三角形的对应边相等，可知AD=CE ，CD=BE ；然后根据DE=CE-CD ，代入可得到AD ，BE ，DE 之间的数量关系.
（3）利用垂直的定义和余角的性质可证得∠ADC=BEC ∠，∠CAD=BCE ∠，利用AAS 证明
△CAD BCE ≌△，利用全等三角形的对应边相等，可知AD=CE ，CD=BE ；然后根据DE=CE-CD ，代入可得到AD ，BE ，DE 之间的数量关系.。