广东省汕头市粤东明德中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省汕头市粤东明德中学2020-2021学年高三数学理上学期期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的最小值为（ ）
A ．
B ．0
C ．
D ．1
参考答案：
A
由题根据所给函数利用二次函数性质分析计算即可．
时，所给函数取得最小值
，故选A ．
考点：三角函数的最值
2. 已知非零向量与满足（+）·=0,且·=-,则△ABC 为
______________． （ ） A ．等腰非等边三角形 B ．等边三角形 C ．三边均不相等的三角形 D ．直角三角形 参考答案： A
、分别是、方向的单位向量,向量+
在∠BAC 的平分线上,由
（+）·=0知,AB=AC,由·=-
,可得∠CAB=1200,∴△ABC 为等
腰非等边三角形,故选A ．
3. 函数（
)的图象如图所示，则的值为
A ．
B ．
C ．
D ．
参考答案：
D 略 4. 抛物线
的准线方程是( )
A.x ＝－
B.x ＝
C.
D.y ＝
参考答案：
【知识点】抛物线的标准方程及相关概念 H7
【答案解析】C 解析：把抛物线的方程化成标准形式为：，是焦点在轴正半轴
的抛物线，所以其准线方程为，
故选：C
【思路点拨】已知的抛物线方程不是标准形式，需要把它化成标准形式，再根据其开口方向确定准线方程。

5. “关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程
，则预测2019年捐赠的现金大约是( )
A. 5万元
B. 5.2万元
C. 5.25万元
D. 5.5万元
参考答案：
C
【分析】
由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.
【详解】由已知得，，
所以样本点的中心点的坐标为，代入，
得，即，所以，
取，得，
预测2019年捐赠的现金大约是万元.
【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
6. 过点作圆的两条切线，切点分别为、，为坐标原点，则的外接圆方程是（）
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
7. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
【知识点】利用导数研究函数的极值；函数奇偶性的性质
解析：由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值．故选D.【思路点拨】根据奇函数、存在极值的条件，即可得出结论．
8. 已知命题，，则( )
A．, B．,
C．,≤ D．,≤
参考答案：
C
9. 已知复数z=1+2i，则z? =（）
A．3﹣4i B．5+4i C．﹣3 D．5
参考答案：
D
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：z?=（1+2i）（1﹣2i）=12+22=5．
故选：D．
10. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金簪，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺重量为（）
A．9斤B．9.5斤C．6斤D．12斤
参考答案：
A
由等差数列性质得中间3尺重量为,选A.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在等差数列中，若则
参考答案：
-1
12. 已知
参考答案： ．
因为则。

13. 以双曲线的右焦点为焦点，顶点在原点的抛物线的标准方程是 .
参考答案：
14. 已知，正实数
满足
，且
，若
在区间
上的最大
值为2，则
=_______。

参考答案：
15. 在直角三角形△ABC 中，C=
，，对平面内的任意一点M ，平面内有一点D 使得
，则
= ．
参考答案：
6
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】据题意，可分别以边CB ，CA 所在直线为x 轴，y 轴，建立一平面直角坐标系，得到A （0，
3），并设M （x ，y ），D （x′，y′），B （b ，0），这样根据条件即可得到
，
即得到
，进行数量积的坐标运算即可求出
的值．
【解答】解：根据题意，分别以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：
A （0，3），设M （x ，y ），
B （b ，0），D （x′，y′）；
∴由得：
3（x′﹣x ，y′﹣y ）=（b ﹣x ，﹣y ）+2（﹣x ，3﹣y ）；
∴；
∴
；
∴
．
故答案为：6．
16. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域为M ，M 的边界所围成图形的外接圆的面积是36π，那么实数a 的值为__________．
参考答案： 4 略
17.
的单调递增区间为_____________.
参考答案：
【知识点】函数的单调性B3 【答案解析】
根据复合函数的单调性f(x) 单调递增区间为
的递减区
间，所以为单调递增区间。

故答案为。

【思路点拨】根据复合函数同增异减求出单调性。

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (14分)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数有两个极值点,且,求证:;
(3)设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围.
参考答案：
(1)当时,,
令或,,
的递增区间为和,递减区间为.
(2)由于有两个极值点,则有两个不等的实根,
设
,在上递减,
,即.
(3),
,,在递增,
,
在上恒成立
令,
则在上恒成立
,又
当时，,在(2,4)递减,,不合;
当时,,
①时,在(2,)递减,存在,不合;
②时, 在(2,4)递增,,满足.
综上, 实数的取值范围为.
19. （本小题13分）
设数列的前项和为，满足，.
（I）求的值；
（II）求数列的通项公式,并求数列的前n项和.
参考答案：
见解析
【考点】复数乘除和乘方
【试题解析】
解：（Ⅰ）∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（Ⅱ）∵，
∴当时，，
∴，即，
∴．
由，得，
∴是以1为首项，3为公比的等比数列．
∴，
∴
．
20. （本题共14分）已知函数的导函数的两个零点为-3和0.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）若f(x)的极小值为，求f(x)在区间上的最大值.
参考答案：
解：（Ⅰ）．.......2分
令，
因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同.
又因为，所以时，g(x)>0,即，………………………4分
当时,g(x)<0 ,即，…………………………………………6分
所以的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3），（0，+∞）．……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，=-3是的极小值点，所以有
解得，…………………………………………………………11分
所以.
的单调增区间是（-3，0）,单调减区间是（-∞，-3）,（0，+∞），
为函数的极大值, …………………………………………………12分在区间上的最大值取和中的最大者. …………….13分而>5，所以函数f(x)在区间上的最大值是．.…14分
21. （本小题满分12分）
如图，多面体ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD = 60°，四边形BDEF是正方形，且DE⊥平面ABCD。

（1）求证：CF∥平面AED；
（2）若，求多面体ABCDEF的体积V。

参考答案：
（1）证明：是菱形，.
又平面，平面，
平面. ……2分
又是正方形，.
平面，平面，
平面. ……4分
平面，平面
，
平面平面.
由于平面，知平面. ……6分
（2）解：连接，记.
ABCD是菱形，AC⊥BD，且AO = BO．由平面，平面，.
平面，平面，，
平面于，
即为四棱锥的
高. ……9分
由是菱形，，则为等边三角形，由，则
，
，，，. ……12分
22. （本题满分12分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上D 点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米。

（1）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值。

参考答案：。