中考数学知识点知识必备01 数与式(4大模块+3种方法+8种易错清单+40个真题专练)(解析版)

知识必备01数与式
方法一：实数计算中的规律问题的解决方法
一．选择题（共1小题）
1．（2022•牡丹江）观察下列数据：，﹣，，﹣，，…，则第12个数是（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是×（﹣1）n+1所以第12个数字把n＝12代入求值即可．
【解答】解：根据给出的数据特点可知第n个数是×（﹣1）n+1，
∴第12个数就是×（﹣1）12+1＝﹣．
故选：D．
【点评】考查了找规律以及代数式求值问题，关键要读懂题意，能根据题意找到规律并利用规律解决问题．
二．填空题（共3小题）
2．（2022•怀化）正偶数2，4，6，8，10，…，按如下规律排列，
则第27行的第21个数是744　．
【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三
行有3个数••••••••第n行有n个数，则前n行共有个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．
【解答】解：由图可知，
第一行有1个数，
第二行有2个数，
第三行有3个数，
•••••••
第n行有n个数．
∴前n行共有个数．
∴前27行共有378个数，
∴第27行第21个数是一共378个数中的第372个数．
∵这些数都是正偶数，
∴第372个数为372×2＝744．
故答案为：744．
【点评】本题考查了数列的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．
3．（2022•鄂尔多斯）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是
　．
【分析】由所给的数，发现规律为第n个数是，当n＝30时即可求解．
【解答】解：∵，，，……，
∴第n个数是，
当n＝30时，＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查数字的变化规律，能够通过所给的数，探索出数的一般规律是解题的关键．
4．（2023•甘孜州）有一列数，记第n个数为a n，已知a1＝2，当n＞1时，a n＝，
则a2023的值为2　．
【分析】分别计算出a i（i为正整数），根据所发现的规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
a1＝2，
，
，
，
…
由此可知，
．
所以a2023＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查实数计算中的规律，能根据计算出的a i（i为正整数）的值发现规律是解题的关键．
方法二：有关实数与数轴的应用题的解决方法
一．选择题（共5小题）
1．（2023•徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（ ）
A．|a|B．|b|C．|c|D．|d|
【分析】结合数轴得出a，b，c，d四个数的绝对值大小进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得点A离原点距离最远，其次是D点，再次是B点，C点离原点距离最近，则|a|＞|d|＞|b|＞|c|，
其中值最小的是|c|，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解题的关键．
2．（2023•自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（ ）
A．2023B．﹣2023C．D．﹣
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2022•广西）如图，数轴上的点A表示的数是﹣1，则点A关于原点对称的点表示的数是（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
【分析】关于原点对称的数是互为相反数．
【解答】解：∵关于原点对称的数是互为相反数，
又∵1和﹣1是互为相反数，
故选：C．
【点评】本题考查数轴和相反数的知识，掌握基本概念是解题的关键．
4．（2023•杭州）已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中﹣1＜a＜0，0＜b＜1．若a×b＝c，数c在
数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据a，b的范围，可得a×b的范围，从而可得点C在数轴上的位置，从而得出答案．
【解答】解：∵﹣1＜a＜0，0＜b＜1，
∴﹣1＜a×b＜0，
即﹣1＜c＜0，
那么点C应在﹣1和0之间，
则A，C，D不符合题意，B符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的关系，结合已知条件求得﹣1＜a×b＜0是解题的关键．5．（2023•菏泽）实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）
A．c（b﹣a）＜0B．b（c﹣a）＜0C．a（b﹣c）＞0D．a（c+b）＞0
【分析】由数轴可得a＜0＜b＜c，然后得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系，再根据有理数乘法法则进行判断即可．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b＜c，
则b﹣a＞0，c﹣a＞0，b﹣c＜0，c+b＞0，
那么c（b﹣a）＞0，b（c﹣a）＞0，a（b﹣c）＞0，a（c+b）＜0，
则A，B，D均不符合题意，C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，结合数轴得出b﹣a，c﹣a，b﹣c，c+b与0的大小关系是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
6．（2023•湘潭）数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有0（答案不唯一）　．（写出一个即可）
【分析】数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，然后写出其中的一个整数即可．
【解答】解：数轴上到原点的距离小于的点所表示的数为﹣与之间的所有数，
则其中的整数为0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查实数与数轴的关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023•连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b　＜　0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
【分析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用绝对值较大的数减去较小的数即可求得答案．
【解答】解：由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，
则a+b＜0，
故答案为：＜．
【点评】本题考查实数与数轴及其加法法则，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
方法三：化简求值问题的解决方法
一．整式的混合运算—化简求值（共4小题）
1．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．（2023•邵阳）先化简，再求值：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a﹣3b）（a+3b）+（a﹣3b）2
＝a2﹣（3b）2+（a2﹣6ab+9b2）
＝a2﹣9b2+a2﹣6ab+9b2
＝2a2﹣6ab，
当a＝﹣3，时，原式＝＝24．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．
3．（2022•广西）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x，其中x＝1，y＝．【分析】根据平方差公式和多项式除以单项式，可以将题目中的式子化简，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（x+y）（x﹣y）+（xy2﹣2xy）÷x
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y，
当x＝1，y＝时，原式＝12﹣2×＝0．
【点评】本题考查整式的混合运算—化简求值，解答本题的关键是明确整式混合运算的运算法则，注意平方差公式的应用．
4．（2022•盐城）先化简，再求值：（x+4）（x﹣4）+（x﹣3）2，其中x2﹣3x+1＝0．【分析】根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入即可．
【解答】解：原式＝x2﹣16+x2﹣6x+9
＝2x2﹣6x﹣7，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴2x2﹣6x＝﹣2，
∴原式＝﹣2﹣7＝﹣9．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握平方差公式、完全平方公式、合并同类项法则、灵活运用整体思想是解题的关键．
二．分式的化简求值（共14小题）
5．（2023•湘潭）先化简，再求值：（1+）•，其中x＝6．
【分析】利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数据进行计算即可．
【解答】解：原式＝•
＝•
＝，
当x＝6时，
原式＝＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，将分式化简为是解题的关键．
6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝•
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、实数的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．7．（2023•黑龙江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中m＝tan60°﹣1．【分析】利用分式的运算法则先化简分式，再代入特殊角的函数值确定m，最后利用二次根式的性质得结论．
【解答】解：原式＝÷
＝×
＝．
当m＝tan60°﹣1＝﹣1时，
原式＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的运算法则及特殊角的函数值是解决本题的关键．8．（2023•湘西州）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，最后把a的值代入计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+1，
当时，原式＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．（2023•鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝•
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10．（2023•宿迁）先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝x﹣1，
当时，原式＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键．
11．（2023•辽宁）先化简，再求值：÷﹣，其中m＝2．
【分析】先对原式进行化简，然后把m的值代入化简后的算式进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
∴当m＝2时，原式＝．
【点评】本题考查分式的应用，熟练掌握分式化简求值的方法和步骤是解题关键．12．（2023•牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．13．（2023•营口）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．14．（2023•恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（2023•鄂州）先化简，再求值：﹣，其中a＝2．
【分析】先利用分式的运算法则将分式进行化简，然后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当a＝2时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
16．（2023•吉林）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式，请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整．
例：先化简，再求值：，其中a＝100．
解：原式＝
……
【分析】由题意先求得M，然后将分式进行化简，最后代入已知数值进行计算即可．
【解答】解：由题意可得＝＝，
则M＝a，
那么﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当a＝100时，
原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，由已知条件求得M的值是解题的关键．
17．（2023•随州）先化简，再求值：÷，其中x＝1．
【分析】先把除法转化为乘法，再约分，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：÷
＝•
＝，
当x＝1时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．（2023•枣庄）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组﹣1＜a＜的解集中
选取一个合适的整数．
【分析】先将分式利用相关运算法则进行化简，然后代入一个合适的整数进行计算即可．
【解答】解：（a﹣）÷
＝（a﹣）•
＝a•﹣•
＝﹣1
＝，
∵a2﹣1≠0，a≠0，
∴a≠±1，a≠0，
∴a＝2，
原式＝
＝．
【点评】本题考查分式化简求值，特别注意根据分式有意义的条件得出a≠±1，a≠0．
易错点1：平方根、算术平方根、立方根的区别
1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
3.立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
1．（2023•无锡）实数9的算术平方根是（ ）
A．3B．±3C．D．﹣9
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【解答】解：实数9的算术平方根是3，
【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
易错点2：关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。

2．（2023•恩施州）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（ ）
A．﹣1B．0C．D．﹣
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，
∴1＞，
∴﹣1＜﹣，
在﹣1，0，，﹣这四个数中，
∵﹣1＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
3．（2023•盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6D．（﹣2ab）2＝4ab2
【分析】选项A根据合并同类项法则判断即可；选项B根据同底数幂的除法法则判断即可；选项C、D 根据幂的乘方与积的乘方运算法则判断即可．
【解答】解：A．2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．a3÷a＝a2，故本选项不符合题意；
C．（﹣m2）3＝﹣m6，故本选项符合题意；
D．（﹣2ab）2＝4a2b2，故本选项不符合题意．
【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，掌握幂的相关运算法则是解答本题的关键．
4．（2023•恩施州）下列运算正确的是（ ）
A．（m﹣1）2＝m2﹣1B．（2m）3＝6m3
C．m7÷m3＝m4D．m2+m5＝m7
【分析】依据题意，由完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项逐项判断可以得解．
【解答】解：由题意，对于A选项，（m﹣1）2＝m2﹣2m+1≠m2﹣1，
∴A选项错误，不符合题意．
对于B选项，（2m）3＝8m3≠6m3，
∴B选项错误，不符合题意．
对于C选项，m7÷m3＝m4，
∴C选项正确，符合题意．
对于D选项，m2与m5不是同类项不能合并，
∴D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，解题时要能熟练掌握并理解．
5．（2023•鞍山）下列运算正确的是（ ）
A．（4ab）2＝8a2b2B．2a2+a2＝3a4
C．a6÷a4＝a2D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据积的乘方，合并同类项，同底数幂的除法法则，完全平方公式进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、（4ab）2＝16a2b2，故A不符合题意；
B、2a2+a2＝3a2，故B不符合题意；
C、a6÷a4＝a2，故C符合题意；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了整式的混合运算，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，完全平方
公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
6．（2023•临沂）下列运算正确的是（ ）
A．3a﹣2a＝1B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a5）2＝a7D．3a3•2a2＝6a5
【分析】根据合并同类项，完全平方公式，幂的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、3a﹣2a＝a，故A不符合题意；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故B不符合题意；
C、（a5）2＝a10，故C不符合题意；
D、3a3•2a2＝6a5，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023•宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB＝，则点C表示的数是2﹣1　．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB＝，
∴点B表示的数是﹣1+，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB＝，
∴点C表示的数是：﹣1+＝2﹣1，
故答案为：2﹣1．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．8．（2023•黄石）计算：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°＝　9　．
【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：（﹣）﹣2+（1﹣）0﹣2cos60°
＝9+1﹣2×
＝9+1﹣1
＝9，
故答案为：9．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．9．（2023•盐城）计算：（）﹣1+4cos60°﹣（5﹣π）0．
【分析】先算负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可．
【解答】解：由题意，原式＝2+4×﹣1
＝2+2﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10．（2023•济宁）计算：．
【分析】根据实数的运算进行计算．
【解答】解：
＝2
＝
＝．
【点评】本题主要考查了实数的运算的知识、锐角三角函数的知识、绝对值的知识、负指数的知识，难度不大．
易错点3：整式的化简求值
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．同时注意平方差公式和完全平方公式的应用.
11．（2023•盐城）先化简，再求值：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b），其中a＝2，b＝﹣1．【分析】依据题意，利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
【解答】解：（a+3b）2+（a+3b）（a﹣3b）
＝a2+6ab+9b2+a2﹣9b2
＝2a2+6ab．
当a＝2，b＝﹣1时，
原式＝2×22+6×2×（﹣1）
＝8﹣12
＝﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键．平方差公式：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＝b2．12．（2023•长沙）先化简，再求值：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2，其中a＝﹣．【分析】先去括号，再合并同类项，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（2﹣a）（2+a）﹣2a（a+3）+3a2
＝4﹣a2﹣2a2﹣6a+3a2
＝4﹣6a，
当a＝﹣时，原式＝4﹣6×（﹣）
＝4+2
＝6．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点4：因式分解
能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
13．（2023•攀枝花）以下因式分解正确的是（ ）
A．ax2﹣a＝a（x2﹣1）B．m3+m＝m（m2+1）
C．x2+2x﹣3＝x（x+2）﹣3D．x2+2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）
【分析】利用平方差公式，x2﹣1还可分解因式；利用十字相乘法，x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）．【解答】解：（A）ax2﹣a＝a（x2﹣1）＝a（x+1）（x﹣1）；
故A不正确，不符合题意．
（B）m3+m＝m（m2+1）；
故B正确，符合题意．
（C）x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；
故CD不正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．
14．（2023•恩施州）因式分解：a（a﹣2）+1＝　（a﹣1）2　．
【分析】根据完全平方公式进行分解，即可解答．
【解答】解：a（a﹣2）+1＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2，
故答案为：（a﹣1）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．15．（2023•常州）分解因式：x2y﹣4y＝　y（x+2）（x﹣2）　．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：x2y﹣4y
＝y（x2﹣4）
＝y（x+2）（x﹣2），
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
易错点5：分式的有关概念
分式有意义的条件是分母不等于零．
分式无意义的条件是分母等于零．
分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
16．（2023•贵州）化简结果正确的是（ ）
A．1B．a C．D．
【分析】依据题意，根据分式的加减运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：由题意，原式＝＝＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的加减运算，解题时需要熟练掌握法则并能准确计算．17．（2023•新疆）要使分式有意义，则x需满足的条件是x≠5　．
【分析】根据分母不为0可得：x﹣5≠0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键．
18．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，
∴x+2y＝1，
∴＝
＝
＝
＝2，
∴的值为2．
【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
易错点6：分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19．（2023•鞍山）先化简，再求值：（+1），其中x＝4．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（+1）
＝•
＝•
＝，
当x＝4时，原式＝＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（2023•牡丹江）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝sin30°．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝x+1，
当x＝sin30°＝时，原式＝+1＝．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．21．（2023•营口）先化简，再求值：（m+2+）•，其中m＝+tan45°．【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把m的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：（m+2+）•
＝•
＝•
＝•
＝﹣2（3+m）
＝﹣6﹣2m，
当m＝+tan45°＝4+1＝5时，原式＝﹣6﹣2×5＝﹣6﹣10＝﹣16．
【点评】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．22．（2023•恩施州）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣2．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：÷（1﹣）
＝÷
＝•
＝﹣，
当x＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（2023•日照）（1）化简：﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°；
（2）先化简，再求值：（﹣x）÷，其中x＝﹣．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣|1﹣|+2﹣2﹣2sin45°
＝2﹣（﹣1）+﹣2×
＝2﹣+1+﹣
＝；
（2）（﹣x）÷
＝•
＝•
＝•
＝2（x﹣2）
＝2x﹣4，
当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）﹣4
＝﹣1﹣4
＝﹣5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
易错点7：二次根式的运算
24．（2023•恩施州）计算：×＝　6　．
【分析】根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
【解答】解：×＝
＝
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．25．（2023•潍坊）从﹣，，中任意选择两个数，分别填在算式（□+〇）2÷里面的“□”与“〇”
中，计算该算式的结果是﹣2（答案不唯一）　．（只需写出一种结果）
【分析】根据二次根式的乘除法法则进行计算，即可解答．
【解答】解：若“□”是﹣，“〇”是，则（﹣+）2÷＝（5﹣2）÷＝﹣2；若“□”是﹣，“〇”是，则（﹣+）2÷＝（8﹣2）÷＝4﹣2；
若“□”是，“〇”是，则（+）2÷＝（9+2）÷＝+6；
故答案为：﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．（2023•天津）计算的结果为1　．
【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：
＝（）2﹣（）2
＝7﹣6
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
易错点8：数与式的变化规律
探究题是近几年中考命题的亮点，尤其是与数列有关的命题更是层出不穷，形式多样，它要求在已有知识的基础上去探究，观察思考发现规律．
（1）探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算，从而得出通项公式．
（2）利用方程解决问题．当问题中有多个未知数时，可先设出其中一个为x，再利用它们之间的关系，设出其他未知数，然后列方程
27．（2023•台湾）若想在等差数列1，2，3，4，5中插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，则新的数列的项数可能为下列何者（ ）
A．11B．15C．30D．33
【分析】因为等差数列1，2，3，4，5，则公差为1，插入一些数，使得新的数列也是等差数列，且新的数列的首项仍是1，末项仍是5，可知：插入的新数个数是4的倍数，由此可作判断．
【解答】解：根据题意可知：有4个位置插入一些数，
∴插入的新数个数是4的倍数，
∵11﹣5＝6，15﹣5＝10，30﹣5＝25，33﹣5＝28，
又知28是4的倍数，
∴新的数列的项数可能为33．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列，数字的变化类的规律问题，确定插入的新数个数是4的倍数是解本题的关键．
28．（2023•岳阳）观察下列式子：
12﹣1＝1×0；22﹣2＝2×1；32﹣3＝3×2；42﹣4＝4×3；52﹣5＝5×4；…
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是n2﹣n＝n（n﹣1）　．
【分析】观察等式左边的特点，即第n个式子就是n的平方减去n；右边的特点是n与（n﹣1）的积．
【解答】解：12﹣1＝1×0；
22﹣2＝2×1；
32﹣3＝3×2；
42﹣4＝4×3；
52﹣5＝5×4；
…；
依此规律，则第n（n为正整数）个等式是：n2﹣n＝n（n﹣1）．
故答案为：n2﹣n＝n（n﹣1）．
【点评】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳发现其中的规律是解本题的关键．29．（2023•德阳）在“点燃我的梦想，数学皆有可能”数学创新设计活动中，“智多星”小强设计了一个数学探究活动；对依次排列的两个整式m，n按如下规律进行操作：
第1次操作后得到整式中m，n，n﹣m；
第2次操作后得到整式中m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后……
其操作规则为：每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，小强将这个活动命名为“回头差”游戏．
则该“回头差”游戏第2023次操作后得到的整式串各项之和是（ ）
A．m+n B．m C．n﹣m D．2n
【分析】依据题意，先逐步分析前面几次操作，可得整式串每6个整式一循环，再求解每6个整式的整式之和为：m+n+（n﹣m）+（﹣m）+（﹣n）+（﹣n+m）＝0，2023次后出现2025个整式，结合2025÷6＝337…3，从而可以得解．
【解答】解：第1次操作后得到的整式串m，n，n﹣m；
第2次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m；
第3次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n；
第4次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m；
第5次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m；
第6次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n；
第7次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，m，n，n﹣m；
……
第 2023次操作后得到的整式串m，n，n﹣m，﹣m，﹣n，﹣n+m，……m，n，n﹣m；共2025个整式；。