专题17 几何最值之胡不归巩固练习(提优)-冲刺2021年中考几何专项复习(解析版)

几何最值之胡不归巩固练习
1．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA＝，有
一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E 点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．
【解答】
【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H，如图，
∵EH∥AB，
∴∠HEB＝∠ABE，
∴tan∠HED＝tan∠EBA＝，
设DH＝4m，EH＝3m，则DE＝5m，
∴蚂蚁从D爬到E点的时间＝4（s）
若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间＝＝4（s），
∴蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，
∴蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E 点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，
作AG⊥EH于G，则AD＋DH≥AH≥AG，
∴AD＋DH的最小值为AQ的长，
当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
直线BE交y轴于C点，如图，
在Rt△OBC中，∵tan∠CBO＝，
∴OC＝4，则C（0，4），
设直线BE的解析式为y＝kx＋b，
把B（3，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线BE的解析式为，
解方程组得或，则E
∴，
∴蚂蚁从A爬到G点的时间＝s），
即蚂蚁从A到E的最短时间为．
2．如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．
（1）证明：CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD CD＋OD的最小值为6时，求⊙O的直径
AB的长．
【解答】（1）见解析；（2）（3）AB＝8【解析】（1）连接OC，如图，
∵CA＝CE，∠CAE＝30°，
∴∠E＝∠CAE＝30°，∠COE＝2∠A＝60°，
∴∠OCE＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图，
由题可得CH＝h．
在Rt△OHC中，CH＝OC•sin∠COH，
∴h＝OC•sin60°＝，
∴OC＝h，
∴AB＝2OC＝h；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图，
则∠AOF＝∠COF＝∠AOC＝（180°﹣60°）＝60°．
∵OA＝OF＝OC，
∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF＝AO＝OC＝FC，
∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF＝DO．
过点D作DH⊥OC于H，
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，
∴DH＝DC•sin∠DCH＝DC•sin30°＝，
∴CD＋OD＝DH＋FD．
根据两点之间线段最短可得：
当F、D、H三点共线时，DH＋FD（即CD＋OD）最小，
此时FH＝OF•sin∠FOH＝＝6，
则OF＝4，AB＝2OF＝8．
∴当CD＋OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
3.抛物线与轴交于点A、B（A在B的左边），与轴交于点C，点P是直
线AC上方抛物线上的一点，PF⊥轴于点F，PF与线段AC交于点E，将线段OB沿轴左右平移，线段
OB的对应线段是，当求四边形周长的最小值，并求出对应的点
的坐标.
【解析】在抛物线中，
令，即，解得，
，
令，解得，
设直线AC的解析式为，将A、C两个点坐标代入得，
解得，∴直线AC的解析式为，
设，∵PF⊥轴，且点E在直线AC上，点P在直线AB上方的抛物线上，
，
，
CAO＝30º，
过点E作EH∥AB交y轴于点H，则EH⊥y轴且∠CEH＝∠CAO＝30º，
∵PF⊥x轴，FO⊥OH，EH⊥y轴，∴四边形EFOH为矩形，
，
∴当
PC∥轴，
∵PF⊥轴，CO⊥轴，，∴四边形PFOC为矩形，
，
作C关于轴的对称点D，连接DB1，则B1C=B1D，
过O1作OQ∥B1D且O1Q=B1D，连接DQ、PQ,PQ交轴于点G.则四边形O1B1DQ为平行四边形.
当的周长最小，
而，∴当点与G重合时，的值最小为PQ的长，
∵点C、D关于轴对称，且
，
的最小值为，即四边形的周长的最小值为，
设直线PQ的解析式为，
将P、Q坐标代入得，解得，
，
令，解得.
4．如图，已知抛物线y＝x＋2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与
y轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D．
（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；
（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
【解答】（1）；（2）；（3）当点F坐标为（﹣2）
时，点M在整个运动过程中用时最少.
【解析】（1）抛物线y（x＋2）（x﹣4），
令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）．
∵直线经过点B（4，0），
∴×4＋b＝0，解得b＝，
∴直线BD解析式为：．
当x＝﹣5时，y＝
∴D（﹣5）．
∵点D（﹣5）在抛物线y（x＋2）（x﹣4）上，
∴（﹣5＋2）（﹣5﹣4）＝
∴．
∴抛物线的函数表达式为：（x＋2）（x﹣4）．
即．
（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，
∴C（0，﹣k），OC＝k．
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴P（x，x＋k），代入抛物线解析式y＝x＋2）（x﹣4），
得（x＋2）（x﹣4）＝＋k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（8，5k）．
∵△ABC∽△APB，
∴，
解得：．
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．
设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．
tan∠ABC＝tan∠PAB，即：，
∴．
∴P（x，x），代入抛物线解析式y＝（x＋2）（x﹣4），
得（x＋2）（x﹣4）＝＋，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，
解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），
∴P（6，2k）．
∵△ABC∽△PAB，
，
∴，
，
∵k＞0，
∴，
综上所述，或．
（3）方法一：
如答图3，由（1）知：D（﹣5），
如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN，ON＝5，BN＝4＋5＝9，
∴tan∠DBA＝，
∴∠DBA＝30°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．
过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．
由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间：t＝AF＋，
∴t＝AF＋FG，即运动的时间值等于折线AF＋FG的长度值．
由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．过点A作AH⊥DK于点H，则t
最小
∵A点横坐标为﹣2，直线BD，
∴，
∴F（﹣2）．
综上所述，当点F坐标为（﹣2）时，点M在整个运动过程中用时最少．
方法二：
作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，
∵∠DBA＝30°，
∴∠BDH＝30°，
∴FH＝DF×sin30°，
∴当且仅当AH⊥DK时，AF＋FH最小，
点M在整个运动中用时为：，
∵l
BD，
∴F X＝A X＝﹣2，
∴F（﹣2）．
5．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD＋
的最小值和PD PC的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋
的最小值为，PD﹣PC的最大值为．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．
【解答】（1）5，5；（2），；（3，
【解析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵，
∴，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG PC，
∴PD PC＝DP＋PG，
∵DP＋PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD＋．
∵PD PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵，
∴，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴
∴PD＝DP＋PG，
∵DP＋PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD＋
∵PD PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝4，作DF⊥BC于F．
∵，
∴，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG
∴PD DP＋PG，
∵DP＋PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD＋DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD•sin60°CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝，
∵PD PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣2中），最大值为DG＝．
6．如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．
【解答】（1）a＝﹣（2）m＝2；（3）
【解析】（1）令y＝0，则ax2＋（a＋3）x＋3＝0，
∴（x＋1）（ax＋3）＝0，
∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣＝4，
∴a＝﹣
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx＋b，则，解得，
∴直线AB．
（2）如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴，
∵NE∥OB，
∴，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为，
，
∴m＝2．
（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′＋′＝AE′＋E′M′＝AM′，此时AE′＋BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝．。