《高职工科应用数学》第一章第4节极限的运算PPT课件

极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
2．无穷大量 定义 1.15 在自变量 x 的某一变化过程中（如 x x0 或 x ），若| f (x) | 无限增大，
则称函数 f (x) 为自变量 x 在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大，并记作
lim f ( x) 或 lim f (x) ，
xx0
极限的运算
3. 两个重要极限
例 1.20 求下列极限．
（1）
lim
x
1
1 2x
x
．
（2）
lim
x
1
2 x
x
．
1
1
解
（1）
lim
x
1
1
x
2x
lim
2 x
1
1
2
x
2
2x
lim 2 x
1
1 2x 2
2x
1
e2
．
（2）
lim
x
1
2 x
x
lim
x 2
1
2 x
x
2
2
lim
1. 无 可以看出，lim f ( x) 0 ，lim g( x) ，说明当 x 1 时，函数
x1
x1
f (x) x 1 是无穷小量，而函数 g(x) 1 是无穷大量． x 1
从例 1.11 可以看出， f (x) 与 g(x) 互为倒数，即 g(x) 1 ，而它们中的一个为无穷 f (x)
小量，另一个为无穷大量，一般地，我们可以得到如下结论．
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
定理 1.3 （无穷大量与无穷小量的倒数关系）在自变量 x 的同一变化过程中，若 f (x)
为无穷大量，则 1 为无穷小量；反之，若 f (x) 为无穷小量且 f (x) 0 ，则 1 为无穷大
f (x)
f (x)
n
πR2
sin 2π lim n 2π0 2π
πR2
．
n
n
极限的运算
3. 两个重要极限
因为当 n 时， Ln L圆 ， Sn S圆 ，所以圆周长为
L圆
lim
n
Ln
2πR
，
圆面积为
S圆
lim
n
Sn
πR2
．
谢谢观看
量．
2 极限的四则运算
定理 1.4 若 lim f (x) A ， lim g(x) B ，则有
（1） lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) A B ； （2） lim[ f (x)g(x)] lim f (x)lim g(x) AB ；（3） lim f (x) lim f (x) A (B 0) ．
x
也可以简单记作 lim f (x) ．
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
3．无穷小量与无穷大量的关系 例 1.11 函数 f (x) x 1 和 g(x) 1 的图形分别如图 1-20、图 1-21 所示，当 x 1 时， x 1
这两个函数是无穷小量还是无穷大量？
图1-20
图1-21.
极限的运算
lim x 5 3 lim ( x 5 3)( x 5 3)
x4 x 4
x4 ( x 4)( x 5 3)
lim x 5 9 x4 ( x 4)( x 5 3)
lim 1 1 ． x4 x 5 3 6
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
例 1.16
求
lim
x2
极限的概念与性质
主
目
1
无穷小量与无穷大量
录
2
极限的四则运算
3
两个重要极限
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
1．无穷小量 定义 1.14 在自变量 x 的某一变化过程中（如 x x0 或 x ），若函数 f (x) 以 0 为极
限，则我们称函数 f (x) 为自变量 x 在该变化过程中的无穷小量，简称无穷小，并记作
圆术”推导圆的周长和面积公式．
解
正n
边形的周长为 Ln
2nR sin
π n
，正 n
边形的面积为 Sn
1 nR2 2
sin
2π n
．
当n
时，
Ln
的极限为
lim
n
Ln
lim 2nRsin
n
π n
sin π 2πR lim n
π0 π
2πR
，
n
n
Sn 的极限为
lim
n
Sn
lim 1 nR2 sin 2π
n 2
1 ，由性质
1.8
可知，
lim
x
1 sin x
x
0
．
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
例 1.13 求 lim(2x2 3x 4) ． x1
解 利用极限的四则运算，得
lim(2x2 3x 4) 2lim x2 3lim x 4 2 3 4 1 ．
x1
x1
x1
例 1.14 求下列极限．
1. 无穷小量与无穷大量
例 1.18
设
f
(x)
x2 2，x 2x 3，x
1，求 lim 1， x1
f
(x)
， lim x2
f
(x)
， lim x0
f
(x)
．
解 因为 lim f (x) lim(2x 3) 5 ， lim f (x) lim(x2 2) 1 ，
x 1
x 1
x1
x1
显然
t
定式，将分子分母同时除以 t2 有
20 000
lim S(t)
t
lim
t
20 000t t2 100
lim t
t
1
100 t2
0
．
极限的运算
3. 两个重要极限
例 1.22 （并联电路电阻计算）如图 1-24 所示，5 的电阻与可变电阻 R 并联，由欧
姆定律可得电路总电阻为
Rr
5R 5 R
x 2
1
2 x
x
2
2
e2
．
极限的运算
3. 两个重要极限
例 1.21 （汽车销售情况预测）当推出一款新的车型时，短期内销售量会迅速增加，然
后开始下降．假设销售量随时间变化的函数为
S(t)
20 000t t2 100
（其中
t
为月份）．如果该款车
型长期销售，请对其销售情况做出长期预测．
解 要对该款车型的销售情况做出长期预测，需要求 lim S(t) ，显然该极限是“ ”型未
方法求解得
原式 lim (x 2)(x 1) lim(x 1) 3 ．
x2 x 2
x2
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
例 1.15 求 lim x 5 3 ． x4 x 4
解 此极限是“ 0 ”型未定式，且分子中含有根号，可先将分子有理化，约去分子分母中 0
共同的零因子，再用直接代入法求解，即
lim f (x) lim f (x) ，
x1
x1
所以 lim f ( x) 不存在． x1
x 2 和 x 0 是非分段点，所以有
lim f (x) lim(x2 2) 2 ， lim f (x) lim(2x 3) 3 ．
x2
x2
x0
x0
极限的运算
2. 极限的四则运算
推论 1 两个函数的四则运算可推广到有限个函数的四则运算． 推论 2 （常数提取性）若 lim f (x) 存在，则 limCf (x) C lim f (x) ． 推论 3 （幂的极限）若 lim f (x) 存在，则 lim[ f (x)]n [lim f ( x)]n ，其中 n Z+ ．
，若含
R
的支路突然断开，求此时的电路总电阻．
解 若含 R 的支路突然断开，此时 R ，则电路总电阻为
lim
R
Rr
lim
R
5R 5 R
lim
R
5 5 1
5，
R
即电路总电阻为 5 ．
图1-24
极限的运算
3 两个重要极限
例 1.23 如图 1-25 所示，设圆 O 的半径为 R， AB 是圆内接正 n 边形的一边，运用“割
x2 x2
4
x
1
2
．
在本题中，当
x
2
时，有
x2 x2
4
，
x
1
2
，本题明显属于“
”型未定式，
按照以上方法求解得
lim x2
x2 x2 4
x
1
2
x2 (x 2) lim x2 (x 2)(x 2)
(x 2)(x 1) lim x2 (x 2)(x 2)
3 4
．
极限的运算
g(x) lim g(x) B
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
例 1.12 求下列极限．
（1） lim 1 ． x1 x 1
（2）
lim
x
1 x
sin
x
．
解 （1）因为当 x 1时， (x 1) 0 ，根据定理 1.3，有lim 1 ． x1 x 1
（2）当 x 时，有 1 0 ，而| sin x | x
lim f (x) 0 或 lim f (x) 0 ，
xx0
x
也可以简单记作 lim f (x) 0 ．
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
性质1.7 有限个无穷小量之和仍是无穷小量． 性质1.8 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量． 推论1. 常数与无穷小量之积是无穷小量． 推论2 有限个无穷小量之积是无穷小量．
推论 4 （极限的线性运算）若 ， 是两个实数，那么 lim[ f (x) g(x)] lim f (x) lim g(x) ．
极限的运算
3. 两个重要极限
定理 1.5 第一重要极限： lim sin x 1 ． x0 x
定理 1.6
第二重要极限：
lim
x
1
1 x
x
e
或 lim(1 x0
1
x) x
e
例 1.19 求下列极限．
（1） lim sin5x ． x0 x
（2） lim sin 2x ． x0 sin 3x
解 （1） lim sin5x 5 lim sin5x 5 ．
x0 x
5x0 5x
（2） lim sin2x 2 lim sin2x lim 3x 2 ． x0 sin 3x 3 2x0 2x 3x0 sin 3x 3
（1） lim x 2 ． x1 x 1
（2） lim x2 x 2 ． x2 x 2
极限的运算
1. 无穷小量与无穷大量
解 （1）当 x 1时，有分母 x 10 ，即 1 ，则 x 1
lim x 2 lim(x 2) lim 1 ．
x1 x 1 x1
x1 x 1
（2）当 x 2 时，分子、分母均为无穷小量，本题明显属于“ 0 ”型未定式，按照以上 0