二次根式全章复习教学设计

二次根式全章复习
重难突破
一、二次根式的概念及性质
1、二次根式的概念：一般地，我们把形如(a ≥0)•的式子叫做二次根式，“
”称为二次根号．
备注：二次根式的两个要素：①必须含有，②被开方数可以是数、字母和代数式，但必须大于等于0） 2、代数式的概念：形如5，a ，a+b ，ab ，
，x 3
，
这些式子，用基本的运算符号(基本运算
包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
3、二次根式的性质及双重非负性
（1）二次根式双重非负性：a ≥0，（a ≥0）； （2）二次根式的性质：（1）
（a ≥0）；
（2）.
备注：1）二次根式(a ≥0)的值是非负数。

一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即
2()(0a a a =≥）
. 22a 2()a 要注意区别与联系：
1)a 的取值范围不同，2a 中a ≥02a a 为任意值。

2)a ≥0时，2a 2a a ；a <0时，2a 2a a -.
3）二次根式有意义情况：
1）单个二次根式如A有意义的条件是0
≥
A；
2）多个二次根式相加如++⋅⋅⋅+
A B N有意义的条件：
≥
⎧
⎪≥
⎪
⎨
⋅⋅⋅
⎪
⎪≥
⎩
A
B
N
;
3）二次根式作为分式分母时如B
A
有意义的条件是0
>
A;
二、二次根式的乘除
1、二次根式的乘法
（1）乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开
方数相乘.
备注：
1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b都必须是非负数；(在本章中，
如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，≥0，…≥0）.
3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2、积的算术平方根:
（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
备注：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)
二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
3、二次根式的除法
（1）除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。

备注：
1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.
2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
（2）商的算术平方根的性质:
（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
备注：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
4、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
备注：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
三、二次根式的加减
1、同类二次根式
（1）同类二次根式概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
备注：
1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数
是否相同；
2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.
（2）合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似。

备注：
1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.
2、二次根式的加减
（1）二次根式的加减实质：就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
备注：1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.
2）二次根式加减运算的步骤：
1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；
2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；
3)合并同类二次根式.
（2）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.
备注：1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先
算括号里面的；
2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； 3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式。

例1．下列各式中是二次根式的为( ) A ．7
B ．a
C ．38
D ．3-
练习1．在式子23(0),2,1(2),2(0),3,1,2
x
x y y x x x x y >+=-->++中，二次根式有（ ） A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
例2．要使式子1
1
m m +-有意义，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＞﹣1
B ．m ≥﹣1
C ．m ＞﹣1且m ≠1
D ．m ≥﹣1且m ≠1
练习1．计算()
2
2(2)3x x -+-的结果是（ ）
A ．1
B ．-1
C ．52x -
D ．25x -
例3．化简
()
2
3π-的结果等于_____________．
练习1．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示．()
2
33b b a b +
--＝______．
例4．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．
12
B ．
127
C ．8
D ．3
练习1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A ．21a +
B ．4a
C ．
15
D ．4a
例5．如果ab ＞0，a ＋b ＜0，那么下面各式：①a a b b
= ； ②a b b a ⋅
＝1；③a
ab b ÷＝－b ．其中正确的是( ) A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．②③
练习1．已知3
()(221)3
m =-⨯-，则有（ ）
A ．56m <<
B ．45m <<
C ．54m -<<-
D ．65m -<<-
例6.1
ab ab
等于（ ）
A B C D ．
练习1．一个直角三角形的两条直角边分别为a =b =，那么这个直角三角形的面积是________．
例7a 的值是（ ） A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
练习1．a ＝_____
例8．（2020_____． 练习1．下列计算正确的是（ ）
A =
B ．2=
C ．(2
6= D
==
练习2．如果0,0a b <<，且6a b -= ） A ．6
B ．6-
C ．6或6-
D ．无法确定
例9．计算：3a
练习1．计算：
（1 （2）2a
例10．已知x ＝2y ＝ （1）x 2+2xy+y 2； （2）x 2
﹣y 2
．
练习1．已知a
，求2121a a a -+-的值．。