2020春长沙市一中高二寒假自主学习：函数(答案)【精选】.docx

函 数
班级________姓名__________学号_________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的．）
1.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A ．1y x =-
B ．12x
y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
C ．3
y x = D ．2log y x =
【答案】C
【解析】A ．1y x =-在定义域上既不是增函数，也不是减函数；B ．12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在定义域上
既不是偶函数，也不是奇函数；C ．3
y x =在其定义域上既是奇函数又是增函数；D ．2log y x =在定义域上既不是偶函数，也不是奇函数，故选C ． 2．23
27lg0.01+=（ ） A ．11 B ．7 C ．0 D ．6 【答案】B
【解析】2
2
2
3
27lg0.013lg1
927-+=+=-=，故选B ．
3.设p ：0<x <1，q ：2x ≥1，则p 是q 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】由题知，2x ≥1⇒x ≥0，∵(0，1)⊂[0，+∞)，∴满足p ⇒q ，但q ⇏p ，选A ．
4．若函数()20
{ ln 0
x x f x x x ≤=>，则
1f f e ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（其中e 为自然对数的底数）=（ ） A ．
1e B ．1
2
C ．2-
D ．ln2e 【答案】B
【解析】由题意得11
ln
1f e e
⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，∴()111122f f f e -⎛⎫
⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．选B ．
5．函数()
ln 2x
y x =
+的定义域为（ ）
A ．()2-+∞，
B ．()()211--⋃-+∞，，
C ．112⎛⎫
⎪⎝⎭
， D ．()()11-∞-⋃+∞，， 【答案】B 【解析】函数()
ln 2x
y x =
+中有：()20{ 20x ln x +>+≠，解得2x >-且1x ≠-，即定义域为
()()211--⋃-+∞，
，，故选C ． 6.已知函数14
log y x =与y kx =的图象有公共点A ，且A 点的横坐标为2，则k =（ ）
A ．12-
B ．12
C ．14-
D ．1
4
【答案】C
【解析】当2x =时，14
1log 22y ==-
，∴122k -=，1
4
k =-，故选C ． 7．设0.6 1.50.6
0.6,0.6, 1.5
a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．b a c <<
B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b c a << 【答案】A
【解析】函数y =0．6x 为减函数，故0.60.6a => 1.50.6b =，函数y =x 0．6
在(0，+∞)上为增函
数，故0.60.6a =<0.61.5c =，故b <a <c ，故选A ． 8．函数1
lg
1
y x =-的大致图象为（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C
【解析】由题意得，函数1
lg
1
y x =-的关于1x =对称，排成B 、D ； 当1x >时，函数1
lg
1
y x =-为单调递减函数，排成A ，故选C ． 9．若函数()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a 的取值范围为（ ）
A ．()0,4
B ．()0,+∞
C ．()3,4
D ．()3,+∞ 【答案】C
【解析】如图，若()24x f x a =--存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则()34a ∈，，故选C ．
10．已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =++-，则错误．．的是（ ） A ．()f x 在()2,1-单调递增 B ．()f x 在()1,4单调递减
C ．()y f x =的图象关于直线1x =对称
D ．()y f x =的图象关于点()1,0对称 【答案】D
【解析】由函数()()()ln 2ln 4f x x x =++-，可得函数满足20{ 40
x x +>->，解得24x -<<，
又函数()()()()
2ln 2ln 4ln 28f x x x x x =++-=-++， 设()2
28u x x x =-++，其开口向下，且对称轴为1x =，
∴函数()u x 在()2,1x ∈-上单调递增，在()1,4x ∈上单调递减，
根据复合函数的单调性可得()f x 在()2,1x ∈-上单调递增，在()1,4x ∈上单调递减， 且函数()f x 的图象关于直线1x =对称，故选D ．
11．设函数f (x )={(x −a )2−1，x ≤1，lnx ，x >1， 若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[1，2]
B ．[0，2]
C ．[1，+∞)
D ．[2，+∞) 【答案】A 【解析】∵f (x )={
(x −a )2−1，x ≤1，lnx ，x >1，
若f (x )≥f (1)恒成立，∴f (1)是f (x )的最小值，
由二次函数性质可得对称轴a ≥1，由分段函数性质得(1−a )2−1≤ln1，得0≤a ≤2，综上，1≤a ≤2，故选A ．
12．已知()f x 是定义在R 上恒不为零的单调递减函数．对任意,x y R ∈，都有()f x y +=()()f x f y ，
集合()()()(){}2
2
,|1 A x y f x f y f =>，()(){},|45 1 B x y f x ay =+-=，
若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．[]3,3-
B ．(][)--33+∞⋃∞，，
C ．[]
22-， D ．314
⎡⎤--⎢⎥⎣
⎦
，
【答案】A
【解析】∵()f x 是定义在R 上恒不为零的单调递减函数．对任意,x y ∈R ，都有
()()()f x y f x f y +=，()()()(){}()()(){}
2222,|1 ,|1 A x y f x f y f x y f x y f =>=+> ()22={,|1}x y x y +<，令0x y ==，得()()()000f f f =，即()01f =，则
()(){}()()(){}(){},|45 1 ,|450 ,|450 B x y f x ay x y f x ay f x y x ay =+-==+-==+-=，
若A B ⋂=∅，则直线450x ay +-=与圆2
2
1x y +=最多有一个公共点，2
2
514a
-≥+，
即29a ≤，解得33a -≤≤．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 13．函数()()2log 34f x x =-的定义域是__________． 【答案】3,
4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】要使函数()()2log 34f x x =-有意义，则340x -<，解得3
4
x <
，函数()()2log 34f x x =-的定义域是3,4⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
，故答案为3,4
⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
．
14．如图，已知函数()f x 的图象为折线ACB (含端点,A B )，其中()()()4,0,40,0,4A B C -，，则不等式()()2log 2f x x >+的解集是__________． 【答案】[
)4,2-
【解析】在同一坐标系中作出函数()y f x =和()2log 2y x =+的图象，易知当2x =时，
()()2log 22f x x =+=，∴不等式()()2log 2f x x >+的解集是[)4,2-．
15．函数()223,{ ,x x x a
f x x x a
-->=-≤当0a =时，()f x 的值域为______；当()f x 有两
个不同零点时，实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,-+∞(),1-∞-或[
)0,3
【解析】当0a =时，由0x >，可得()()2
2g x 23144,x x x =--=--≥-由0x ≤，可得()h x x 0=-≥，∴当0a =时，()f x 的值域为[
)4,-+∞；要使()f x 有两个不同零点，分两种情况：（1）()2
g x 23x x =--，x a >有一个零点且()h x x x a =-≤，有一个零点，
则()()2
0{
03230
h a a a g a a a =-≤⇒≤<=--<；（2）()2
g x 23x x =--，x a >有两个零点且
()h x x x a =-≤，没有零点，则()()20{
1230
h a a a g a a a =->⇒<-=-->，综合（1）、（2）可
知当()f x 有两个不同零点时，实数a 的取值范围为(),1-∞-或[)0,3故答案为[
)4,-+∞，(),1-∞-或[)0,3．
16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
y x =称为高斯函数，
例如：[]2.13-=-，[]3.13=，已知函数()121
123
x x
f x +=-+，则函数[]y x =的值域是__________． 【答案】{}1,0,1-
【解析】()()
1221221152
123123312x
x x x x
f x ++-=-=-=-
+++．
()()()225215121,,
0,2,2,0,,121231223x x x x
⎛⎫
+∈+∞∈-∈--∈- ⎪+++⎝⎭
． []x 表示不超过x 的最大整数，∴{}5
2
1,0,1312x ⎡⎤
-∈-⎢⎥+⎣
⎦
，故答案为{}1,0,1-．
三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（6分）根据已知条件，求函数的解析式．
（1）已知()f x 为一次函数，且()94f f x x ⎡⎤=+⎣⎦，求()f x 的解析式． （2）下图为二次函数2
y ax bx c =++的图像，求该函数的解析式． 【答案】（1）()31f x x =+或()32f x x =--；（2）()224
233
f x x x =-- 【解析】（1）∵()f x 为一次函数，∴设()f x kx b =+，
∴()()2
94f f x k kx b b k x kb b x ⎡⎤=++=++=+⎣⎦，∴29
{ 4k kb b =+=，
∴3{
1
k b ==或3{
2
k b =-=-，∴()31f x x =+或()32f x x =--．
（2）如图所示，二次函数过()1,0-，()3,0，()0,2-三点，
∴代入得0
{930 2
a b c a b c c -+=++==-，解得2
34
{ 3
2
a b c =
=-=-，∴()224233f x x x =--．
18．（10分）已知二次函数()f x 满足()()--1=-1f x f x ，其图象过点（0，1），且与x 轴有唯一交点．
（1）求()f x 的解析式；
（2）设函数()g x =()(2)f x a x -+，求()g x 在[1，2]上的最小值()h a ． 【答案】（1）f (x )=x 2+2x +1；（2）ℎ(a )={
2−a ， a ≤2，
−1
4a 2+1， 2<a <4，5−2a ， a ≥4．
【解析】（1）设二次函数f (x )的解析式为f (x )=ax 2+bx +c （a ≠0），
∵f(−x−1)=f(x−1)，∴函数对称轴为x=−b
2a =−x−1+x−1
2
=−1．
∵图象过点(0，1)，∴c=1，∵函数f(x)的图象与x轴有唯一交点，∴Δ=b2−4ac=0，∴a=1，b=2，c=1，∴f(x)=x2+2x+1．
（2）g(x)=f(x)−(2+a)x=x2−ax+1，函数图象对称轴为x=a
2
，且开口向上，
当a
2
≤1时，即a≤2时，函数f(x)在[1，2]上单调递增，∴g(x)min=g(1)=2−a；
当1<a
2<2时，即2<a<4时，f(x)在[1，a
2
]上单调递减，在[a
2
，2]上单调递增，∴
g(x)min=g(a
2)=−1
4
a2+1；当a
2
≥2即a≥4时，函数f(x)在[1，2]上单调递减，
∴g(x)min=g(2)=5−2a，∴h（a）=
{2−a， a≤2，
−1
4
a2+1， 2<a<4，
5−2a， a≥4．
19．（12分）已知函数f(x)=x2+ax−b(a，b∈R)．
(1)若b=−1，且函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；
(2)当b=1−a时，解关于x的不等式f(x)≤0；
(3)若正数a，b满足a+4
b
≤3，且对于任意的x∈[1，+∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a，b的值．
【答案】(1) (−∞，−2]∪[2，+∞)；
(2) a<2时[−1，1−a]；a=2时{−1}；a>2时[1−a，−1]；(3)a=1，b=2；
【解析】(1) b=−1时，f(x)=x2+ax+1，
由函数f(x)有零点，可得Δ=a2−4≥0，即a≤−2或a≥2；
(2) b=1−a时，f(x)=x2+ax+a−1=(x+1)(x+a−1)，
当−1<1−a即a<2时，f(x)≤0的解集为[−1，1−a]，
当−1=1−a即a=2时，f(x)≤0的解集为{−1}，
当−1>1−a即a>2时，f(x)≤0的解集为[1−a，−1]；
(3)二次函数f(x)开口响上，对称轴x=−a
2
，由a>2可得f(x)在[1，+∞)单调递增，
x∈[1，+∞)时f(x)≥0恒成立，当且仅当f(1)≥0，即1+a−b≥0，即a≥b−1，
由a+4
b ≤3，可得a≤3−4
b
，
则b−1≤3−4
b
，由b>0可得b2−4b+4≤0，即(b−2)2≤0，则b=2，
此时1≤a ≤1，则a =1．
20.（12分）经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：件)和价格(单位：元)
均为时间t (单位：天)的函数，且销售量满足()f t =()60,160
{ ,1
150,61100
2
t t t t t +≤≤∈-≤≤N ，价格满足()g t =()2001100,t t t -≤≤∈N ．
(1)求该种商品的日销售额()h t 与时间t 的函数关系；
(2)若销售额超过16610元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几天的收益达到理想程度?
【答案】（1）()h t =()()
22
14012000,160,{ 1
25030000,61100,2
t t t t N t t t t N -++≤≤∈-+≤≤∈，
（2）天数为第53，54，…60，61天，共9天． 【解析】 (1)由题意知，当1t 60,t ≤≤∈N 时，
()h t =()()f t g t ⋅=()()60200t t +⋅- =214012000t t -++，
当61t 100,t ≤≤∈N 时，()h t = ()()f t g t ⋅=()1150t 200t 2⎛
⎫-
⋅- ⎪⎝⎭=21
250300002
t t -+， 所求函数关系()h t =()()
22
14012000,160,{ 1
25030000,61100,2
t t t t N t t t t N -++≤≤∈-+≤≤∈．
(2)当160,t t ≤≤∈N 时，()h t =214012000t t -++=()2
7016900t --+， ∴函数()h t 在[]
1,60上单调递增，∴()max h t = ()60h =16800 (元)， 当61100,t t ≤≤∈N 时，()h t =
21250300002t t -+=()2
125012502
t --， ∴函数()h t 在[]
61,100上单调递减，∴()max h t = ()61h =16610.5 (元)．
若销售额超过16610元，当61100t ≤≤时，函数单调递减，故只有第61天满足条件． 当160t ≤≤时，经计算()5316611h =满足条件，又函数()h t 在[]
1,60上单调递增， ∴第53，54，…，60天，满足条件，
即满足条件的天数为第53，54，…60，61天，共9天．。