2019届高三理科数学苏教版一轮复习教学课件：第九章 第9节 曲线与方程

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考点一|直接法求轨迹方程
【例 1】 动点 P 与两定点 A(a,0)，B(－a,0)连线的斜率的乘积 为 k，试求点 P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．
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自测练习
x2 2 4．设 P 为双曲线 －y ＝1 上一动点，O 为坐标原点，M 为线 4 段 OP 的中点，则点 M 的轨迹方程是________．
解析：设 M(x，y)， 则 P(2x,2y)，代入双曲线方程得 x2－4y2＝1， 即为所求．
答案：x2－4y2＝1
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若此方程组 无解，则两曲线无交点．
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自测练习
[自测练习]
两条直线 1．方程 x2＋xy＝x 的曲线是____________ ．
解析：方程变为 x(x＋y－1)＝0， ∴x＝0 或 x＋y－1＝0. 故方程表示直线 x＝0 或直线 x＋y－1＝0.
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知识梳理
二、求动点的轨迹方程的一般步骤 1．建系——建立适当的坐标系． 2．设点——设轨迹上的任一点 P(x，y)． 3．列式——列出动点 P 所满足的关系式． 4．代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将 其转化为 x，y 的方程式，并化简． 5．证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
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充要 2．f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的___两条件来确定其关系， ∵f(x0，y0)＝0 可知点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上， 又 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上时，有 f(x0，y0)＝0， ∴f(x0，y0)＝0 是 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件．
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5．平面直角坐标系 xOy 中，若定点 A(1,2)与动点 P(x，y)满足 →· → ＝4.则点 P 的轨迹方程是____________ x＋2y＝4 ． OP OA
→· → ＝4 知 x＋2y＝4. 解析：设 P(x，y)，由OP OA
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y y 解析：设点 P(x，y)，则 kAP＝ ，kBP＝ . x－a x＋a y y 由题意得 · ＝k，即 kx2－y2＝ka2. x－ a x ＋ a ∴点 P 的轨迹方程为 kx2－y2＝ka2(x≠± a)．(*) (1)当 k＝0 时，(*)式即 y＝0，点 P 的轨迹是直线 AB(除去 A、 B 两点)． x2 y2 (2)当 k≠0 时，(*)式即 2－ 2＝1， a ka ①若 k>0，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的双曲线(除去 A、B 两 点 )．
第九章 平面解析几何 第九节 曲线与方程
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C
目 录
ONTENTS
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一、曲线与方程 在平面直角坐标系中， 如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的 集合或轨迹 )上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关 系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 那么，这个方程叫做 曲线的方程；这条曲线叫做 方程的曲线．
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3．一圆形纸片的圆心为 O，点 Q 是圆内异于 O 的一个定点， 点 A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点 A 与点 Q 重合，然后 抹平纸片，折痕 CD 与 OA 交于点 P，当点 A 运动时，点 P 的
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知识梳理
三、曲线的交点 设曲线 C1 的方程为 F1(x，y)＝0，曲线 C2 的方程为 F2(x，y)＝
F1x，y＝0 F2x，y＝0 C1，C2 的交点坐标即为方程组
0，则
的实数解，
椭圆 ． 轨迹为________
解析：∵折痕所在的直线是 AQ 的垂直平分线， ∴|PA|＝|PQ|，又∵|PA|＋|OP|＝r，∴|PQ|＋|OP|＝r，其中 r 为 圆的半径，由椭圆的定义知点 P 的轨迹是椭圆．
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考点一|直接法求轨迹方程
x2 y2 ②若 k<0，(*)式可化为 2＋ ＝1. a －ka2 a．当－1<k<0 时，点 P 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆(除去 A、 B 两点)； b．当 k＝－1 时，(*)式即 x2＋y2＝a2，点 P 的轨迹是以原点为 圆心，|a|为半径的圆(除去 A、B 两点)； c．当 k<－1 时，点 P 的轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆(除去 A、B 两点)．
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考点一|直接法求轨迹方程
规律方法
1.直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等 量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，那么只需把这 种关系转化成含有数值的表达式，通过化简整理便可得到曲线 的方程，这种求曲线方程的方法是直接法． 2．用直接法求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的坐标系，设出动点坐标；(2)列出等量关系； (3)用坐标条件化为方程 f(x，y)＝0； (4)化简方程；(5)检验；(6)结论.