内积的定义及性质

0
2⎟⎟,
e4
⎜⎜⎝1 2⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 −1
22⎟⎟⎟⎟⎠.
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⎜⎛1 2⎟⎞ ⎜⎛ 1 2 ⎞⎟ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2
⎟⎟, ⎟⎟⎠
e2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−
1 0 0
2⎟⎟, ⎠⎟⎟
e3
=
⎜ ⎜⎜⎜⎝11
0
22⎟⎟⎟⎟⎠,
e4
br
−1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
（2）单位化，取
e1 =
b1 b1
,
e2 =
b2 b2
,
, er
=
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
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上述由线性无关向量组 a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为 施密特正交化过程 .
⎟⎜ ann ⎟⎟⎠⎜⎜⎝ a1n a2n
an1 ⎟⎞
an2 ⎟ ⎟
=E
ann ⎟⎟⎠
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⎜⎛ α1 ⎞⎟
( ⇔
⎜α
⎜
2
⎟ ⎟
α
T 1
,α
T 2
,
) ,α
T n
=E
⎜⎜⎝α n ⎠⎟⎟
⎜⎛
α
1
α
T 1
⇔
⎜α
⎜
2
α
T 1
α
1
α
T 2
α
2
α
T 2
α
1
α
T n
⎞⎟
α
2
α
T n
⎟ ⎟
=
E
⎜⎜⎝
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例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
(1)
⎜⎛ ⎜
−
1 1
2
−1 2 1
1 3⎟⎞ 1 2⎟,
⎜⎝ 1 3 1 2 − 1⎟⎠
解
(1)
⎜⎛ ⎜
−
1 1
2
− 1 2 1 3⎟⎞ 1 1 2⎟
⎜⎝ 1 3 1 2 − 1⎟⎠
考察矩阵的第一列和第二列，
由于 1×⎜⎛− 1⎟⎞ + ⎜⎛− 1⎞⎟ ×1 + 1 × 1 ≠ 0, ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ 3 2
称A为 正交矩阵 .
性质
1.A为正交矩阵⇒A-1=AT也是正交矩阵,且|A|=1或(-1)． 2.A,B为正交矩阵⇒AB也是正交矩阵．
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y = Px称为正
交变换．
性质 正交变换保持向量的长度不变． 证明 设y = Px为正交变换,
则有 y = yT y = xT PT Px = xT x = x .
ξ
2
−
[ξ 1,ξ 2]ξ [ξ 1,ξ 1]
1.
其中[ξ 1,ξ 2] = 1,[ξ 1,ξ 1] = 2,于是得
⎜⎛ 1 ⎟⎞ a2 = ⎜ 0 ⎟,
⎜⎝ − 1⎟⎠
a3
=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
0 ⎟⎞ 1⎟ − 1⎟⎠
−
1 ⎜⎛
2
⎜ ⎜⎝
1 ⎞⎟ 0⎟ − 1⎠⎟
=
1 ⎜⎛
2
⎜ ⎜⎝
− 1⎟⎞ 2 ⎟. − 1⎟⎠
向量空间 V的正交基 .
例1 已知三维向量空间中两个向量
⎜⎛ 1 ⎞⎟
α1 = ⎜1⎟,
⎜⎝ 1 ⎠⎟
⎜⎛ 1 ⎟⎞
α2 = ⎜− 2⎟
⎜⎝ 1 ⎟⎠
正交，试求α
3
使α
1
,α
2
,α
构成三维空间的一个正交
3
基.
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解
设α 3
=
( x1 , x2 , x3 )T
≠
0,
且分别与
α
1
,α
正交
例 求向量α = (1,2,2,3)与β = (3,1,5,1)的夹角.
解
∵ cosθ
=
α α
⋅β β
= 18 = 2 3 2⋅6 2
∴θ = π .
4
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三、正交向量组的概念及求法
１ 正交的概念 当[ x, y] = 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知 ,若 x = 0,则 x 与任何向量都正交 . 即：零向量与任何向量都正交！
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四、正交矩阵与正交变换
( ) 定义4 若n阶方阵A满足 AT A = E 即A−1 = AT ,则
称A为 正交矩阵 .
定理 A为正交矩阵⇔A 的列向量都是单位向量且两两正交．
证明 A为正交矩阵 ⇔ AAT = E
⎜⎛ a11 a12
⇔
⎜ ⎜
a21
a22
⎜⎜⎝ an1 an2
a1n ⎟⎞⎜⎛ a11 a21 a2n ⎟⎜ a12 a22
当 x ≠ 0时, x > 0;当 x = 0时, x = 0;
3. 三角不等式 x + y ≤ x + y .
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单位向量及 n维向量间的夹角
(1) 当 x = 1时,称 x为单位向量 .
(2)当 x ≠ 0, y ≠ 0时,θ = arccos [x, y]
xy 称为n维向量 x与y的夹角 .
2
.
则有 [α1 ,α 3 ] = [α 2 ,α 3 ] = 0
即
⎩⎨⎧[[αα21
,α ,α
3 3
] ]
= =
x1 x1
+ −
x2 + x3 = 0 2x2 + x3 = 0
解之得 x1 = − x3 , x2 = 0.
若令 x3 = 1,则有
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ − 1⎟⎞
α3 = ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 0 ⎟
说明 两两相交 ⇔ [ei , e j ] = 0, i ≠ j.
单位向量 ⇔ [ei , e j ] = 1, i = j.
例如
⎜⎛1 2⎞⎟ ⎜⎛ 1 2 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞ ⎜⎛ 0 ⎟⎞
e1
=
⎜1 ⎜ ⎜⎜⎝
0 0
2⎟⎟,e2 ⎠⎟⎟
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
−
1 0 0
2⎟⎟,e3 ⎟⎟⎠
=
⎜ ⎜1
以
a
T 1
左乘上式两端
,得
λ1α1Tα1 = 0
由α1
≠
0
⇒
α
T 1
α
1
=
α1
2
≠ 0,
从而有λ1
=0.
同理可得λ2 = = λr = 0. 故α1,α2 , ,αr线性无关.
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４ 向量空间的正交基
若α1,α 2 ,
,
α
是向量空间
r
V的一个基
,且α1,α 2 ,
,α r是两两正交的非零向量 组,则称 α 1 ,α 2 , ,α r是
所以它不是正交矩阵．
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(2
)
⎜⎛ ⎜ ⎜ ⎜
1
9 −8
9
−8 9 1
9
− −
4
9 4
⎟⎞ ⎟ ⎟
9⎟
⎜ ⎜⎝
−
4 9
−4 9
7⎟ 9 ⎟⎠
由于
⎜⎛ 1
⎜ ⎜
9 −8
⎜9
⎜ ⎜⎝
−
4 9
−8 9 1
α
n
α
T 1
α
n
α
T 2
α
n
α
T n
⎠⎟⎟
⇔
α
i
α
T j
=
δ ij
=
⎧1, 当 i
⎨ ⎩
0,
当i
= ≠
j; j
(i, j = 1,2,
,n)
所以,A 的列向量都是单位向量且两两正交．
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四、正交矩阵与正交变换
( ) 定义4 若n阶方阵A满足 AT A = E 即A−1 = AT ,则
ε1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
000⎟⎟⎟⎟⎠,
ε2
=
⎜⎜⎜⎜⎝100⎠⎟⎟⎟⎟,
ε3
=
⎜⎜⎜⎜⎝100⎟⎟⎟⎟⎠,
ε4
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
100⎟⎟⎟⎟⎠.
也为R4的一个规范正交基 .
向量空间的基不唯一,规范正交基也不唯一!
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６ 求规范正交基的方法
设α1,α2 , ,αr是向量空间V的一个基,要求V
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2 内积是向量的一种运算 ,如果x, y都是列
向量,内积可用矩阵记号表示 为 :
[x, y]= xT y.
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内积的运算性质
(其中 x, y, z为n维向量,λ为实数) : (1) [x, y] = [ y, x]; (2) [λx, y] = λ[x, y]; (3) [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1,e2 , ,er ,使e1,e2 , ,er与α1,α 2 , ,α r等 价,这样一个问题,称为 把α1 ,α 2 , ,α r 这个基规
范正交化 .
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 = a1 ，
b2
=
a2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
0 1 −1
22⎟⎟⎟⎟⎠.
由于
⎩⎨⎧[[eeii
,e ,e
j j
] ]
= =
0, 1,
i ≠ j且i, j = 1,2,3,4. i = j且i, j = 1,2,3,4.
所以 e1 , e2 , e3 , e4为R 4的一个规范正交基 .
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同理可知
⎜⎛1⎟⎞ ⎜⎛0⎞⎟ ⎜⎛0⎟⎞ ⎜⎛0⎟⎞
2
⎝2 2 2 2⎠
e2 =
b2 b2
=
1 (0,−2,−1,3) = ⎜⎛ 0, − 2 , − 1 , 3 ⎟⎞
14
⎝ 14 14 14 ⎠
e3 =
b3 b3
=
1 6
(1,1, − 2 ,0 )
=
⎜⎝⎛
1, 6
1 6
,
−
2 6
,0
⎟⎠⎞
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例３
设
a
1
=
⎜⎛ ⎜
1 2
⎟⎞ ⎟
,
a
−
[b1 , a2 [b1 , b1
] ] b1
,
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b3
=
a3
−
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
−
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
=
ar
−
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
−
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
−
−
[br−1 ,ar ] [br−1 , br−1 ]
5 ⎜⎛
3
⎜ ⎜⎝
− 1⎟⎞ 1 ⎟; 1 ⎟⎠
b3
=
a3
−
[a3
,
b1]
2
b1
−
[a
3
,
b2]
2
b2
b1
b2
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=
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
4 ⎞⎟ − 1⎟ 0 ⎠⎟
−
1 3
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1 ⎞⎟ 2⎟ − 1⎠⎟
+
5 ⎜⎛ − 1⎟⎞
3
⎜ ⎜⎝
1 1
⎟ ⎟⎠
=
⎜⎛ 1⎞⎟ 2⎜ 0⎟. ⎜⎝ 1⎠⎟
再把它们单位化，取
e1 =
b1 b1
=
1 ⎜⎛ 1 ⎞⎟
6
⎜ ⎜⎝
2 ⎟, − 1⎠⎟
e2 =
b2 b2
=
1 ⎜⎛ − 1⎟⎞
3
⎜ ⎜⎝
1 1
⎟, ⎟⎠
e3 = b3 b3
=
1 2
⎜⎛ ⎜ ⎜⎝
1 ⎟⎞ 0⎟. 1 ⎟⎠
e1,e2 ,e3即合所求.
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例４ 已知 a1 = ⎜⎜⎛11⎟⎟⎞,求一组非零向量 a2 , a3 ,使 a1 , a2 , ⎜⎝ 1 ⎟⎠
a3 两两正交.
解 a2 ,a3应满足方程 aT1 x = 0,即 x1 + x2 + x3 = 0.
它的基础解系为
⎜⎛ 1 ⎞⎟
⎜⎛ 0 ⎟⎞
ξ1 = ⎜ 0 ⎟,ξ 2 = ⎜ 1 ⎟.
⎜⎝ − 1⎠⎟
⎜⎝ − 1⎟⎠
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把基础解系正交化，即合所求．亦即取
a2 = ξ1,
a3
=
２ 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向 量组为正交向量组．
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３ 正交向量组的性质
定理 1
若n维向量 α 1,α 2,
,α
是一组两两正交的
r
非零向量, 则α1,α 2, ,α r线性无关.
证明 设有 λ1,λ2 , ,λr 使
λ1α1 + λ2α2 + + λα r = 0
(4)[ x, x] ≥ 0,且当x ≠ 0时有[ x, x] > 0.
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二、向量的长度及性质
定义2 令
x = [x, x] = x12 + x22 + + xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度 (或 范数 ).
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性
2. 齐次性 λx =将向量组
a1 = (1,1,1,1),a2 = (1,−1,0,4),a3 = (3,5,1,−1) 正交规范化.
解 先正交化，取
b1 = a1 = (1,1,1,1)
b2
= =
a2
−
[b1,a2 ] [b1 , b1 ]
b1
(1,−1,0,4) −
1
−
1+
4
(1,1,1,1) = (0,−2,−1,3)