【精选高中试题】四川省成都市龙泉驿区校高二下学期入学考试数学(理)试题 Word版含答案

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成都龙泉中学2016～2017学年度下学期入学考试
高二数学（理科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷，共4页，满分１５０分，考试时间１２０分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上．
2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．
3．答案使用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）．
4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回．
第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.若集合{}
2
|20A x x x =--<，且A
B A =，则集合B 可能是
A. {}0,1
B. {}|2x x <
C. {}|21x x -<<
D.R 2.已知命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋1<0，则
A ．¬p：∀x ∈R ，x 2＋1>0
B ．¬p：∃x ∈R ，x 2＋1>0
C ．¬p：∀x ∈R ，x 2＋1≥0
D ．¬p：∃x ∈R ，x 2＋1≥0
3.点P 在边长为1的正方形ABCD 内运动，则动点P 到顶点A 的距离1||<PA 的概率为
A ．
41 B ．21 C ．4
π
D ．π 4.设数列{}n a 的通项公式cos 3
n n a n π
=，其前n 项和为n S ，则2016S =
A. 2016
B.1680
C. 1344
D.1008 5. 已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A
B
C D ．
6. 已知()()()2,1,,3,1,2a b k c =-=-=，若
()2a b c -⊥，则b =
A
． B ．3
．
7. 已知,A B 分别为双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右顶点， P 是C 上一点，
且直线,AP BP 的斜率之积为2，则C 的离心率为
8. 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是
A ．求数列1{}n 的前10项和*()n N ∈
B ．求数列1
{
}2n 的前10项和*()n N ∈
C ．求数列1{}n 的前11项和*()n N ∈
D ．求数列1
{}
的前11项和*()n N ∈
9.
设球的半径为时间t 的函数()R t ，若球的体积以均匀速度c
增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A. 成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D.
成反比，比例系数为2C
10.在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的菱形，60DAB ∠=,对角线AC 与BD 相交于点O,PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为45，若E 是PB 的中点，则异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为
11. 已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=-（m 为实数）为偶函数，记
()()221
(log ),log 5,23
a f
b f
c f m === ，则,,a b c 的大小关系为
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
12.过抛物线()2
20y px p =>的焦点F 作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点
M,N ，过弦MN 的中点P 作抛物线准线的垂线PQ,垂足为Q ，则
PQ MN
的最大值为
A. 1
B.
12 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）
13. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()a c -⊥b ，则k = 14. 若正数x ，y 满足230x y +-=，则
21
x y
+的最小值为_________. 15.人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R ，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为12,r r ，则卫星轨道的离心率 ．(请用12,,R r r 表示)
16. 设12,F F 分别是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，A 为双曲线的左顶
点，以线段12,F F 为直径的圆O 与双曲线的一个交点为P,与y 轴交于B,D 两点，且与双曲线的一条渐近线交于M,N 两点，则下列命题正确的是 .（写出所有正确的命题编号）
①线段BD 是双曲线的虚轴；②12PF F ∆的面积为2b ；
③若120MAN ∠=，则双曲线C 的离心率为3
；④12PF F ∆的内切圆的圆心到y 轴的距离为a .
三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
请在指定区域内作答，否则该题计为零分．） 17．（本小题满分10分）
在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且2a =,4cos 5
B =. (1)若3b =,求sin A 的值；
(2)若ABC ∆的面积3ABC S ∆=,求b ,c 的值.
18.（本题满分12分）
设数列{}n a 满足：11=a ,121+=+n n a a .
（1）证明:数列{1}n a +为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）求数列(){}1+⋅n a n 的前n 项和n T .
19.（本小题满分12分）
已知双曲线C 与椭圆22
1259
x y +=共焦点，且它们的离心率之和为245，求双曲线C 的
标准方程及其渐进线方程．
20. （本题满分12分）
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据进行分组，分组区间为：，并绘制出频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；从该市随机选取一名学生，试估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率；
（Ⅱ）设A ，B ，C 三名学生的考试成绩在区间[80,90)内，M ，N 两名学生的考试成绩在区间
[60,70)内，现从这5名学生中任选两人参加座谈会，求学生M ，N 至少有一人被选中的概率； （Ⅲ）试估计样本的中位数与平均数。

（注：将频率视为相应的概率）
21.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，
2AP AB ==
，BC =,E F 分别是,AD PC 的中点．
(1)证明：PC ⊥平面BEF ；
(2)求平面BEF 与平面BAP 所成的锐二面角的余弦值．
P
B
A
F
E
D
C
22.（本小题满分12分）
已知椭圆C :)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心率为12，左顶点()20A ,-．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：()x my t t a =+≠-与椭圆C 交于不同两点B,C ,且满足AB AC ⊥．求证：直线l 恒过定点，并求出定点M 的坐标；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过A 作AD l ⊥，垂足为D ，求D 的轨迹方程．
成都龙泉中学2016～2017学年度下学期入学考试
高二数学（理科）试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1—6 ACCDBA 7—12 BBDBCC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．） 13.12 14. 解析：21121122(2)()(5)333x y x y x y x y y x
+
=++=++≥，当且仅当1x y ==时取等号。

所以21
x y
+的最小值为3.
15.
21
12
2r r R r r -++ 16.②③④
三、解答题（本部分共计6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
请在指定区域内作答，否则该题计为零分．）17.解:(1)因为4
cos 5
B =
,又0B π<<,
所以3
sin 5
B ==
………2分 由正弦定理,得 sin 2
sin 5
a B A
b == …………5分 (2)因为1sin 32ABC S a
c B ∆==, 所以13
2325
c ⨯⨯=. 所以5c = …………7分
由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-22
4252255
=+-⨯⨯⨯13=.
所以b …………10分
18.解析：（1）证明：()()1121121n n n a a a ++=++=+
于是
()11
2*1
n n a n N a ++=∈+ ……4分
即数列{1}n a +是以2为公比的等比数列. 因为()1
1112
2n n n a a -+=+⋅=，所以21n n a =- ……6分
（2）1
2
3
1222322n n T n =⋅+⋅+⋅+
+⋅ ①
2n T = 2311222(1)22n n n n +⋅+⋅+
+-⋅+⋅ ② ……8分
①-②得
1231121212122n n n T n +-=⋅+⋅+⋅+
+⋅-⋅ ……10分
12(12)
212
n n n +-=-⋅-12(1)2n n +=---⋅
故1
(1)2
2n n T n +=-⋅+ ……12分
19.解：椭圆22
1925
x y +=的焦点为()4,0±，离心率为45，…………2分
故双曲线C 的焦点为()4,0±，离心率为4，…………4分
设双曲线:C 22
221(0,0)x y a b a b
-=>>，则4c =，1a =，所以b =
故双曲线C ：2
2
115
y x -=，…………8分
其渐进线方程为：y =或y =．…………12分
20. 解（I ）0.1(0.030.0250.020.01)0.015a =-+++=估计这名学生参加考试的成绩低于90分的概率为0.85
(Ⅱ)从这5名学生代表中任选两人的所有选法共有10种,分别为:AB,AC,AM,AN,BC,BM,BN,CM,CN,MN,代表M,N 至少有一人被选中的选法共7种,分别为:AM,AN,BM,BN,CM,CN,MN 设”学生代表M,N 至少一人被选中”为事件D,P(D)=710
∴学生代表M,N 至少一人被选中的概率为7
10
(Ⅲ)样本的中位数为
230
3
，平均数为76.5.
21.(1)法一：∵PB BC ==且F 为PC 的中点, ∴PC ⊥BF ………3分
连结,PE EC ,∵PE EC ==F 为PC 的中点, ∴PC ⊥EF ∴PC ⊥平面BEF ……………………………6分
法二：证明：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形，
∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,22，0)，D (0,22，0)，P (0,0,2)． 又E ， F 分别是AD ，PC 的中点，∴E (0，2，0)，F (1，2，1)．……………………2分 ∴PC →＝(2,22，－2)，BF →＝(－1，2，1)，EF →
＝(1,0,1)．
∴PC →·BF →＝－2＋4－2＝0，PC →·EF →
＝2＋0－2＝0. ………………………………………4分 ∴PC →⊥BF →，PC →⊥EF →
∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，
∴PC ⊥平面BEF . ……………………………………………………………………………6分 (2)解：由(1)知平面BEF 的一个法向量1n ＝PC →
＝(2,22，－2)，………………………9分 平面BAP 的一个法向量2n ＝AD →
＝(0,22，0)，∴128n n ∙=. 设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ， 则cos θ＝12cos ,n n ＝
1212
n n n n ∙＝8
4×22＝2
2
，
∴平面BEF 与平面BAP .……………………………12分 22.解：（Ⅰ）设椭圆C 的半焦距为c ，由题意知122c e ,a a
,⎧==⎪
⎨⎪=⎩1c ,b ∴==因此椭圆C 的标准方程为22
143
x y +=．…………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2a =，()20A ,-，设()()1122B x ,y ,C x ,y
把()2x my t t =+≠-，代入22143
x y +=得：()()222
346340m y mty t +++-=，………
4分
()()()222222361234448340m t m t m t ∆=-+⨯-=+->，
()2121222
3463434
t mt y y ,y y m m -∴+=-=++…………5分 若AB AC ⊥，则()()()()121212122222AB AC x x y y my t my t y y ⋅=+++=+++++
()()()()
2
21212122m y y m t y y t =++++++()()
()()22222
3461223434t mt m m t t m m -⎛⎫=+⋅
++-++ ⎪++⎝⎭
()()2272034t t m ++==+…………8分 2t ≠-，27t ∴=-，∴直线l ：27x my =+，即直线l 恒过定点207M ,⎛⎫
- ⎪⎝⎭
． (9)
分
（Ⅲ）设()D x,y ，由（Ⅱ）知直线l 恒过定点207M ,⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，AD l ⊥，AD DM ∴⊥，所以D
的轨迹是以AM 为直径的圆（除点A 外），则D 的轨迹方程为
()2
2
8362749x y x ⎛⎫++=≠- ⎪⎝
⎭． …………12分。