2018年高三最新 河北唐山市2018学年度高三年级高二次

唐山市2018—2018学年度高三年级高二次模拟考试
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(1-2页，选择题)和第Ⅱ卷(3-8页，非选择题)两部分，共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、试题科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂，如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 互独立，那么P(A ·B)=P(A)·P(B)
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率：P n (k )=C ∙k n P k ·(1-P)n-k
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给了贩四个选项中，有
且只有一项符合题目要 . 1.函数y =-()01≥+x e x 的反函数是 A.y =ln (x 2-1)(x 2≤-2) B.y =-ln (x 2-1)(x ≤-2) C.y=ln (x 2-1)(x ≤1)
D.y =-ln (x 2-1)(x ≤-1)
2.已知复数i
mi
212+-(m ∈R)在复平面内对应的点位于直线x+y =0上，则m 的值为 A.-3
2 B.
3
2 C.-2 D.2
3.已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n +a n+3与a n+1+a n+2的大小关系是 A.不确定的，与公比有关 B.a n +a n+3<a n+1+a n+2 C.a n +a n+3=a n+1+a n+2 D.a n +a n+3>a n+1+a n+2
4.长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，,2=则点C 的轨迹是 A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
5.正六棱柱ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 的底面边长等于侧棱长，则异 线E 1C 与AE 所成的角为
A. arc cos
5
52 B.arc cos 43
C.arc cos 43
D.arc cos 81
6.设AB 是抛物线x 2=4y 上两点，O 为原点，若|OA|=|OB|，且△AOB 的面积为16，则∠AOB=
A.30°
B.45°
C.60°
D.90° 7.已知平面α，β和直线l ，m ，使α∥β的一个充分条件是 A.l ∥m ，l ∥α，m ∥β B. l ⊥m ，l ∥α，m ∥β C. l ∥m ，l ⊥α，m ⊥β
D. l ⊥m ，l ∥α，m ⊥β
8.16
8432-+-→x x lim x 的值为 A.-8
3
B.8
3 C.
4
3 D.-
4
3 9.在△ABC 中，C=45°，则(1-tanA )(1-tanB )= A.1 B.-1 C.2 D.-2 10.设集合M ={x|x =2m +1，m ∈Z },N ={x|x =3n -1,n ∈Z }，则M ∩N = A.{x |x =6k +1,k ∈Z } B. {x |x =6k-1,k ∈Z } C. {x |x =2k +3,k ∈Z } D. {x |x =3k-1,k ∈Z } 11.如图，在3×4的方格(
A.12个
B.14个
C.18个
D.20个
12.O 为△ABC 的内切圆圆心，AB =5，BC =4，CA =3，下列结论正确的是 A.OA OC OC OB OB OA ∙<∙<∙ B.∙>∙>∙ C.OA OC OC OB OB OA ∙=∙=∙
D.OA OC OC OB OB OA ∙=∙<∙
第Ⅱ卷(共10小题，共90分)
注意事项：
1.用钢笑或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

13.(x +2x -1)6的展开式的中间项是_______。

14.正四棱柱的底面边长为1，高为2，则它的外接球的表面积等于__________. 15.设z=x +2y ，变量x ，y 满足条件()()⎩
⎨
⎧≤≤≥--+400
23x y x y x ，则z 的最大值为_________.
16.下列命题：①f (x )=sin3x -sin x 是奇函数；
②f (x )=sin3x -sin x 的最小值为-2； ③若a >0，则a x 1+x 2≤a 2x 1+a 2x 2成立； ④函数f (x )=lg (x 2-x +1)的值域为R .
其中正确命题的序号是______(写出所有正确命题的序号).
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知函数f (x )=1+sin 2x ,g (x )=.,x ,x sin ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+2242πππ
(Ⅰ)求满足f (x )=g (x )的x 值的集合；
(Ⅱ)求函数()()
x g x f 的单调递减区间. 18.(本小题满分12分)
某厂每日生产一种大型产品2件，每件产品的投入成本为2000元，产品质量为一等品的概率为0.75；二等品的概率为0.2，每件一等品的出厂价为10000元，每件二等品的出厂价为8000元，若产品质量不能达到一等品或二等品，除成本不能收回外，每生产一件产品还会带来1000元的损失，求该厂每日生产这咱产品所获利润ξ(元)的分布列和期望. 19.(本小题满分12分)
如图，菱形ABC D 中，∠DAB =60°，AC ∩BD =O ，，PO ⊥平面ABCD ，PO =AO =3，
点E 在PD 上，PE ：ED =3：1. (1)证明：PD ⊥平面EAC ；
(2)求二面角A-PD-C 的余弦值； (3)求点B 到平面PDC 的距离. 20.(本小题满分12分) 对于函数f (x )，使x -f (x )=0的x 叫做f (x )的不动点，容易求得f (x )=x 2的不动点为0和1；f (x )是否有不动点与函数g (x )=x -f (x )的性质密切相关. (Ⅰ)求f 1(x )=
1
22
+x x
的不动点； (Ⅱ)设a >0,且a ≠1,求使f 2(x )=log a x 有不动点的a 的取值范围. 21.(本小题满分12分)
过双曲线x 2-y 2=1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，记双曲线渐近线的方向向量为v ，当在v 方向上的投影的绝对值为10时，求直线l 的方程.
22.(本小题满分14分)
(Ⅰ)已知多项式f n (x )=(1+x )(1-x )(1+x )…[1+(-1)n-1x ](n ∈N *)展开式的一次项系数为a n ，二次项系数为b n .
(1)求数列{a n }的通项；
(2)求证：数列{b n }的通项b n = -()4
1121
--++n n ；
(Ⅱ)已知多项式g n (x )=(1+x )(1-2x )(1+22x )…[1+(-2)n -1x ](n ∩N *)展开式的一次项系数为c n ，二
次项系数为d n ，试求列{c n }和数列{b n }的通项.
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理科数学参考答案
一、AADCB DCACB DA
二、(13)160；(14)6π；(15)8；(16)①②③ 三、(17)解：(Ⅰ)f (x )=(sin x +cos x )2=[2sin(x +4
π]2
=[g (x )]2 由f (x )=g (x ),得g (x )=0,或g (x )=1 ∴2sin(x +4π)=0,或2sin(x +4π
)=1……………………………………………3分 ∵-4
34
4
2
2
πππππ≤
+
≤-
∴≤
≤x ,x ∴x +4π=0,或x +4π=4π,或x +4π=4
3π x =-
4π或x =0或x =2
π 所求x 值的集合为{-4π,0,2
π
} …………………………………………………7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-≠⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=442ππx x sin x g x f 解不等式2k π+2π≤x +4π≤2k π+4
3π,k ∈Z ,得 2k π+4π≤x ≤2k π+4
5π
…………………………………………………………9分 ∵-2π≤x ≤2π且x ≠-4
π, ∴
4π≤x ≤2
π ∴函数
()()
x g x f 的单调递减区间为[4π，2π]………………………………………12分
18.解：依题意，ξ的可能值为-6000，3000，12000，5000，14000，16000，…2分
P (ξ=-6000)=0.182=0185，
P (ξ=3000)=2×0.2×0.18=0.18，
P (ξ=12000)=0.22=0.4，
P (ξ=5000)=2×0.75×0.18×=0.185， P (ξ=14000)= 2×0.75×0.2×=0.3，
P (ξ=16000)=0.1852=0.5625…………………………………………………………8分 ξ
……………………………………………………………………………………………10分 ξ的期望为
E ξ=-6000×0.0185+3000×0.18+12000×0.18+5000×0.185+14000×0.3+16000×
0.5625=14100(元) ………………………………………………………12分 19.解法一：(Ⅰ)∵PO ⊥平面ABCD ，∴OD 为PD 在平面ABCD 内的射影 又ABCD 为菱形，∴AC ⊥OD ，∴AC ⊥PD ，即PD ⊥AC 在菱形ABCD 中，∵∠DAB =60°， 分∴OD =AO ·cot60°=1
在Rt △POD 中，PD =222=+OD PO ，由PE ：ED =3：1，得 DE =,PD 2
1
41=又∠PDO =60°，
∴OE 2=OD 2+DE 2-2OD ·DE cos60°=
4
3
∴OE 2+DE 2=OD 2，∴∠OED =90°,即PD ⊥OE
PD ⊥平面EAC …………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知PD ⊥EA,PD ⊥EC ,则∠AEC 为二面角A-PD-C 的平面角tan ∠AEO =2=OE
OA
，易知OE 为AC 的垂直平分线，所以∠AEC =2∠AEO ， ∴cos ∠AEC =cos 2∠AEO -sin 2∠AEO
=53
11222222-=∠+∠-=∠+∠-∠AEO
tan AEO tan AEO sin AEO cos AEO sin AEO cos ………………………………………8分
(Ⅲ)由O 为BD 中点，知点B 到平面PDC 的距离等于点O 到平面PDC 距离的2倍，由(Ⅰ)知，平面OEC ⊥平面PDC ，作OH ⊥CE ，垂足为H ，则OH ⊥平面PDC ，在Rt △OEC 中，∠EOC =90°，OC =,EC ,OE ,2
15233== ∴OH =
5
15
=
∙EC OC OE 所以点B 到平面PDC 的距离为515
2……………………………………………12分
解法二：建 立如图所示的坐标系O -xyz ，其中A (0，-3，0)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (-1，0，0)，P (0，0，3). (Ⅰ)由PE ：ED =3：1，知E (-43
043,,)
∵()()
,,,AC ,,,OE ,,,DP 032043043301=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==
∴0=∙=∙AC DP OE DP
∴PD ⊥OE ，PD ⊥AC ，∴PD ⊥平面EAC ……………………………………………4分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知PD ⊥EA ，PD ⊥EC ，则∠AEC 为二面角A-PD-C 的平面角 ∵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4334343343,,EC ,,,EA ∴cos ∠AEC =cos<
5
3
-
=>=
EC ,EA ……………………………………………8分 (Ⅲ)由OBD 中点知，点B 到平面PDC 的距离为点O 到平面PDC 距离的2倍，又⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=43043,,，cos ∠OED =cos<,EC OE ,55= 所以点B 到平面PDC 的距离为
d 5
15
2552232=
⨯⨯
=∠OEC ………………………………………………12分 20.解：(Ⅰ)x-f 1(x )=0,即x -01
22=+x x
，解得x 1=0,x 2=1,x 3=-1.
所以，函数f 1(x )的不动点为0，1，-1. ………………………………………………4分 (Ⅱ)令g (x )=x -f 2(x )=x -log a x (x >0)，则g ′(x )=1-.x
e log x e log x x a a -=-=1
11…………6分 (1)若0<a <1,则log a e <0,g ′(x )>0,则g (x )在(0，+∞)内单调递增.
又g (a )=a -1<0,g (1)=1>0,所以g (x )=0即x -f 2(x )=0在(0，1)内有一根. ………………8分
(2)若a >1,则当x ∈(0，log a e )时，g ′<0,g (x )单调递减，当x ∈(log a e ,+∞)时，g ′(x )<0,g (x )单调递增；当x =log a e 时，g (x )有最小值log a e -log a (log a e ).
由g (1)=1>0知，当且仅当log a e -log a (log a e )≤0时，g (x )=0即x -f 2(x )=0有实根. 由a >1，知log a e-log a (log a e )≤0e
a e a
e ae e log e 11≤<⇔≤⇔≤⇔ …………………11分
综合所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，e e
1). …………………………………………12分 21.解：由已知，F (02,)，双曲线的渐近线y =±x 的方向向量为v =(1,±1),当l 斜率k 不存在时，不失一般性，取A (2，-1)、B(2，-1)、B(2，1)，则在v 上的投影的绝对值
22
2
245=⨯
=︒，不合题意 ………………………………………………2分 所以l 的斜率k 存在，其方程为y =k (x -2). 由()
⎪⎩⎪⎨⎧=--=1
222y x x k y 得(k 2-1)x 2-22k 2x +2k 2+1=0(k 2≠1)
设A (x 1,k (x 1-2))、B(x 2,k (x 2-2)),则x 1+x 2=1
1
2122222122-+=-k k x x ,k k ………………6分 当v =(1，1)时，设与v 的夹角为θ，则=(x 2-x 1,k (x 2-x 1))在v 上投影的绝对值
=θ
=
()()
()2
412
12
122112x x x x k
x x k -++=
-+
=
由(
)
101
122=-+k k ，得2k 2
-5k +2=0,k =2或k =21-.
根据双曲线的对称性知，当v=(1,-1)时，k=-2或k=1
2
.
所以直线l 的方程为y =±2(x -2)或y =±
()
22
1
-x .…………………12分 22.解：(Ⅰ)(i)a n =1-1+1-…+(-1)n -1=
()
1
112
n -+-.………………………………3分
(ii)用数学归纳法证明：
(1)当n =1时，由f 1(x )=1+x ,知b 1=0，而()4
11211
1--++-=0，等式成立. ……4分
(2)假设当n=k 时等式成立，即b k = -()4
1121
--++k k ,
那么由f k +1(x )=f k (x )[1+(-1)(k +1)-1x ]=f k (x )[1+(-1)k x ],得
b k+1=b k +(-1)k
a k =-()()()2
11141121
1---+∙-+-++k k k k =()()()()412112121141121k
k k k k k -+--+
+-=--+-++-- =-()()(),k k k k 4
1121411211
1-+-+++-=-+++
等式仍然成立. …………………………………………………………………8分 根据(1)和(2)知，对任意n ∈N *,都有b n =-().n n 41121
--++……………………9分
(Ⅱ)c n =1-2+22
+…+(-2)n-1
=()()[].n n 213
1
2121--=+--……………………………11分
由g 1(x )=1-x ,知d 1=0,
当n ≥2时，由g n (x )=g n -1(x )[1+(-2)n-1x ],知d n =d n-1+(-2)n -1c n -1, ∴d n -d n -1=(-2)n-1c n-1=(-2)n-1·()[]()[]
.n n n 1114213
1
2131------=--.
∴d n =d 1+(d 2-d 1)+(d 3-d 2)+…+(-2)(d n -d n-1)
=0+()[]()[]()[]{}
1122114242423
1
----++--+--n n =
()()()[][]
1211214443
122231
--+++--++-+-n n =()()[](
)
n n n n 449
12291414431212231-+---=--∙-+---∙ =
()[]
.n n 4229
1
--- 当n =1时上式也成立. ∴d n =()[]
()*N n .n n ∈---4229
1
……………………………………………………14分。