北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习

北师大版九年级数学下册3.8圆内接正多边形同步练习
8圆内接正多边形
知识点1正多边形与圆的有关概念及计算
1．若正六边形的边心距是3，则它的边长是()
A．1 B．2 C．2 3 D．3 3
2．下列正多边形中，中心角等于内角的是()
A．正六边形B．正五边形
C．正方形D．正三角形
3．如图3－8－1，⊙O是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，
图3－8－1
则下列关系式错误的是()
A．R2－r2＝a2
B．a＝2R sin36°
C．a＝2r tan36°
图3－8－2
3－8－3
8．[2019·达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是()
A.
2
2B.
3
2C. 2 D. 3
图3－8－4
9．如图3－8－4，从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________．
10．如果圆的半径为a，它的内接正方形的边长为b，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c，那么a，b，c之间的数量关系为______________．
11．如图3－8－5①②③④，M，N分别是
⊙O 的内接正三角形ABC ，正方形ABCD ，正五边形ABCDE ，…，正n 边形ABCDEFG …的边AB ，BC 上的点，且BM ＝CN ，连接OM ，ON.
图3－8－5
(1)求图①中∠MON 的度数；
(2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是________；
(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形的边数n 的关系(直接写出答案)．
详解
1．B [解析] ∵正六边形的边心距为3，
∴OB ＝3，AB ＝12
OA . ∵OA 2＝AB 2＋OB 2，
∴OA 2
＝(12OA )2＋(3)2， 解得OA ＝2.故选B.
2．C 3.A
4．B[解析] 设正多边形的边数为n，则正
多边形的中心角为360°
n，正多边形的一个外角
等于360°
n，所以正多边形的中心角等于正多边
形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．故选B.
5．5 cm[解析] 圆的内接正六边形的边长与它的半径相等．
6．D
7．解：(1)如图，点O即为所求．
(2)如图，八边形ABCDEFGH即为所求．
8．A[解析] 如图①，
∵OC＝2，
∴OD＝2×sin30°＝1；
如图②，
∵OB＝2，∴OE＝2×sin45°＝2；
如图③，
∵OA＝2，∴OD＝2×cos30°＝ 3.
则该三角形的三边长分别为1，2， 3.
∵12＋(2)2＝(3)2，∴该三角形是直角三角形，
∴该三角形的面积是1
2×1×2＝
2 2.
故选A.
9．10 2 cm[解析] 由题意知∠BOC＝90°，BC＝OB2＋OC2＝102＋102＝10 2 (cm)．
10．a＝c＝
2 2b
11．解：(1)方法一：如图①，连接OB，OC.
图①
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，
∴∠MON＝∠BOC＝120°；
方法二：如图②，连接OA，OB.
图②
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.
∵BM＝CN，∴AM＝BN.
又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，
∴∠AOM＝∠BON，
∴∠MON＝∠AOB＝120°.
(2)90°72°
(3)∠MON＝360°n.。