人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第四章 数列 4.1 第1课时 数列的概念与简单表示

= 4,
1 = + = 2,
解(1)设 an=kn+b(k≠0),则
解得
∴an=4n-2.
17 = 17 + = 66,
= -2.
(2)令an=88,即4n-2=88,解得n=22.5∉N*,
∴88不是数列{an}中的项.
角度2.根据数列的前几项写出数列的通项公式
【例2-2】 写出下列数列的一个通项公式:
解 递增数列.
3.在1984年到2016年的9届夏季奥运会上,我国获得的金牌数依次排成数
列:15,5,16,16,28,32,51,38,26.试画出该数列的图象.
解该数列的图象如图所示.
知识点3
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来
表示,那么这个式子叫做这个数列的 通项公式
3
68 不是该数列的项.
(3)an=n(3n-28),令an<0,结合n∈N*,解得n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,即数列{an}中有
9个负数项.
规律方法 1.利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号
代替公式中的n,就可以求出数列的相应项.
确定性、有序性、可重复性;
(2)集合中的元素可以是数,也可以是点、方程以及其他事物等,但数列中
的每一项必须是数.
自主诊断
1.下列有关数列的说法正确的是( D )
A.数列中的任意两项均不可能相同
B.数列-1,0,1与数列1,0,-1是同一个数列
C.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}
D.数列2,5,2,5,…,2,5,…是无穷数列
(1)2,4,6,8,10,…;
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9 999,…;
1 9 25
(4)2,2,2,8, 2 ,…;
(5)4,0,4,0,4,0,….
解(1)an=2n.
(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,…,是连续的正奇数,其通项公式为
2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为
解析 例如无穷个3构成的常数列3,3,3,…的各项都是3,故A错误;
数列-1,0,1与数列1,0,-1中项的顺序不同,即表示不同的数列,故B错误;
{1,3,5,7}是一个集合,故C错误;
根据数列的分类,数列2,5,2,5,…,2,5,…中的项有无穷多个,所以是无穷数
列,D正确.故选D.
2.[人教B版教材习题]已知数列{an}为2,4,8,16,…,写出a1,a2,a3.
(3)数列{an}中有多少个负数项?
解 (1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60.
(2)令 3n
7
-28n=-49,解得 n=7 或 n= (舍去),所以 n=7,即-49 是该数列的第 7 项.
3
2
令 3n -28n=68,解得
2
34
n= 或
3
34
n=-2.因为 ∉N*,-2∉N*,所以
{1,2,…,n})为定义域的函数解析式.( √ )
(4)数列0,1,2,3,…的通项公式可表示为an=n-1,n∈N*.( √ )
2.[北师大版教材习题]已知数列{an}的通项公式为an=25-2n,在下列各数中,
不是数列{an}的项的是( C )
A.1
B.-1
C.2
D.3
解析 因为2n是偶数,所以25-2n为奇数,故2不是数列{an}的项.
(1)一般数列通项公式的求法
(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.
(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周
期函数,如三角函数等.
变式训练3写出下列数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:
1 1 1 1
(1)2 ,4 ,6 ,8 ;(2)3,5,9,17;
.
名师点睛
1.并不是所有的数列都有通项公式.
2.同一数列的通项公式,其表达形式可以是不唯一的,例如数列-1,1,-1,1,-
1,1,…的通项公式可以写成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cos nπ等.
思考辨析
如果数列{an}的通项公式是an=
3 + (-1)n
n
,该数列中的第10项是多少?我们能
1 2
-1
(2)0,2 , 3,…, ,…;
1 1
1
(3)1, , ,…, -1 ,…;
2 4
2
1
1
1
1
(4)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…;
π
(5)1,0,-1,…,sin 2 ,…;
(6)9,9,9,9,9,9.
解 (1)因数列(1)只有5项,且依次增大,故(1)为有穷数列,且为递增数列.
第1项也叫做 首项
.
n为正整数,常称为项数
3.表示:数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为{an}.
4.项数有限的数列叫做有穷数列,项数 无限 的数列叫做无穷数列.
名师点睛
1.数列是按一定的“顺序”排列的一列数,有序性是数列的基本属性.数相同
而顺序不同的两个数列是不相同的数列,例如1,2,3,…与3,2,1…就是不同的
解a1=2,a2=4,a3=8.
知识点2
数列与函数的关系
从函数的观点看,数列可以看作是特殊的函数,关系如下表:
定义域
正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})
对应关系 自变量是序号n,对应的函数值是数列的第n项an,记为an=f(n)
递增数列 从第2项起,每一项都 大于 它的前一项的数列
否求出数列中的每一项?
提示 代入n=10得第10项为
2
,由通项公式可以求出数列中的每一项.
5
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)所有的数列都有通项公式.( × )
(2)数列1,3,5,7,…的第10项是21.( × )
(3)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集
数列.
2.符号{an}和an是不同的概念,{an}表示一个数列,而an表示数列中的第n项.
思考辨析
1.{an}是不是表示只有一项的集合?
提示 不是,{an}是一个有n项的数列的简单记法.
2.数列中的项与集合中的元素有怎样的区别与联系?
提示 (1)集合中的元素具有确定性、无序性、互异性,而数列中的项具有
是递增数列,也不是递减数列,也不是常数列.
(6)因数列(6)只有6项,所以为有穷数列,且各项均为9,故为常数列.
探究点二
数列的通项公式
角度1.数列中项的求解及判断
【例2-1】 已知数列{an}的通项公式为an=3n2-28n.
(1)写出数列的第4项和第6项.
(2)-49是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68是否为该数列的一项呢?
①数列中的项数一定是无限的;②数列1,3,2,6,3,9,…是递增的无穷数列;
1 1 1 1
③数列 2 , 4 , 6 , 8
,…是递减的无穷数列;④数列2,4,6,8可表示为{2,4,6,8}.
其中正确说法的序号是
③
.
解析 对于①,错误,数列中的项数可以是有限的或无限的;对于②,错误,该数
列是无穷数列,但不是递增数列;对于③,正确;对于④,错误.
3.[苏教版教材习题]根据数列{an}的通项公式,写出它的第6项和第10项:
(1)an=n2+n;(2)an=5-2n-1.
解 (1)a6=42,a10=110.
(2)a6=-27,a10=-507.
重难探究·能力素养速提升
重难探究·能力素养速提升
探究点一
数列的概念及分类
【例1】 给出下列说法:
2 4 8 16
2 4 6 8
(3) , , , ;(4)7,77,777,7
3 15 35 63
777.
1
2
7
n
解(1)an=2n+2.(2)an=2 +1.(3)an= 2 .(4)an=9(10n-1).
4 -1
探究点三
数列的单调性及其应用
角度1.数列单调性判断
【例3-1】 [人教B版教材例题]已知函数f(x)=
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
课程
标准
2.掌握数列的分类.
3.理解数列的函数特征,掌握判断数列单调性的方法.
4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项写出
数列的一个通项公式.
目录索引
基础落实·达标
基础落实·必备知识一遍过关
an=(-1)n+1(2n-1).
(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,…,此数列的一个通项公式为
10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.
(4)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察,
1 4 9 16 25
2
, , , , ,…,所以它的一个通项公式为 an= .
自主诊断
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)如果一个数列不是递增数列,那么它一定是递减数列.( × )
(2)数列0,1,2,3,4,5是有穷数列.( √ )
(3)常数列中的项不能为0.( × )
2.[人教B版教材习题]已知数列{an}的通项公式为an=2n-3,判断这个数列是
递增数列还是递减数列.
知识点1
数列
1.定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
数列中的数不能改变顺序
2.项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做
这个数列的第1项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第2
项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第 n项,用an表示.其中
2 2 2 2 2
2
(5)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数
的形式表示通项公式,
即 an=
4,为奇数,
0,为偶数.
又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通项公式又可表
示为an=2+2×(-1)n+1.
规律方法 用观察法求数列的通项公式的一般规律
为an=f(n),其中n∈N*.
-1
,设数列{an}的通项公式

(1)求证:0≤an<1;
(2)判断{an}是递增数列还是递减数列,并说明理由.
(1)证明 由题意可知
1
0≤1- <1,即

(2)解 因为
-1
1
an=f(n)= =1- ,又因为


*
n∈N ,所以
1
0< ≤1,因此

0≤an<1.
规律方法 数列类型的判断
在判断数列是哪一种类型的数列时要紧扣概念及数列的特点.是递增、递
减还是常数列要从项的变化趋势来分析;而是有穷还是无穷数列则看项的
个数是有限个还是无限个.
变式训练1下列数列哪些是有穷数列?哪些是递增数列?哪些是递减数列?
哪些是常数列?
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021;
1
1
1
an+1-an=(1-+1)-(1-)=(+1),又因为
an+1-an>0,即 an+1>an.所以数列{an}为递增数列.
1
n+1>n≥1,所以(+1)>0,从而
★【例 3-2】 已知数列{an}的通项公式

an=2+3(k∈R).
(1)当k=1时,判断数列{an}的单调性;
(2)因数列(2)有无限项,所以不是有穷数列,当 n
-1
增大时, 也增大,故为递增数

列.
(3)因数列(3)有无限项,所以不是有穷数列,当 n 增大时,
1
-1
2
减小,故为递减数
列.
(4)因数列(4)有无限项,所以不是有穷数列,因数列正负交替,故数列不是递
增数列,也不是递减数列,也不是常数列.
(5)因数列(5)有无限项,所以不是有穷数列,因数列为1,0,-1,0循环,故数列不
2.判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项,然后列出关于n的方程.若方程解为正整数,则
是数列中的项;若方程无解或解不是正整数,则不是该数列中的项.
变式训练2在数列{an}中,a1=2,a17=66,an是n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)判断88是不是数列{an}中的项.
(2)若数列{an}是递减数列,求实数k的取值范围.
解(1)当 k=1

+1
+1

时,an=
,所以 an+1=
,所以 an+1-an=
−
2+3
2+5
2+5
2+3
3
>0,故数列{an}是递增数列.
(2+5)(2+3)
=
(2)若数列{an}是递减数列,则 an+1-an<0 恒成立,即
数列的单
递减数列 从第2项起,每一项都 小于 它的前一项的数列
调性
常数列
各项都 相等 的数列
思考辨析
1.数列对应的函数的图象有什么特点?
提示是一系列孤立的点.
2.若无穷数列{an}满足a1<a2<a3,则数列一定是递增数列吗?
提示不一定,因为只有部分项满足递增数列的大小关系,不能确定数列一定
是递增数列.