(江苏专版)2014届高考数学大二轮专题复习 审题 解题 回扣(要点回扣+易错警示+查缺补漏)第三篇

6.解析几何
1．直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角的X 围为[0，π)． (2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan
α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；②斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2
(x 1≠x 2)；③直线的方向向量a ＝(1，k )；④应用：证明三
点共线：k AB ＝k BC .
[问题1] (1)直线的倾斜角θ越大，斜率k 就越大，这种说法正确吗？ (2)直线x cos θ＋3y －2＝0的倾斜角的X 围是________． 答案 (1)错 (2)[0，π6]∪[5π
6，π)
2．直线的方程
(1)点斜式：已知直线过点(x 0，y 0)，其斜率为k ，则直线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，它不包括垂直于x 轴的直线．
(2)斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则直线方程为y ＝kx ＋b ，它不包括垂直于x 轴的直线．
(3)两点式：已知直线经过P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)两点，则直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1
，它不包括垂直于坐标轴的直线．
(4)截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ，b ，则直线方程为x a ＋y b
＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线．
(5)一般式：任何直线均可写成Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的形式．
[问题2] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________．
答案 5x －y ＝0或x ＋y －6＝0 3．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2
；
(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|
A 2＋
B 2.
[问题3] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________． 答案
15
26
13 4．两直线的平行与垂直
①l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2(两直线斜率存在，且不重合)，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2；
l 2⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.
②l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则有l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；
l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.
特别提醒：(1)A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2＝B 1B 2＝C 1
C 2
仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件；(2)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线．
[问题4] 设直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m ＝________时，
l 1∥l 2；当m ＝________时，l 1⊥l 2；当________时l 1与l 2相交；当m ＝________时，l 1
与l 2重合．
答案 －1 1
2m ≠3且m ≠－1 3
5．圆的方程
(1)圆的标准方程：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
.
(2)圆的一般方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2
＋E 2
－4F >0)，只有当D 2
＋E 2
－4F >0时，方
程x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0才表示圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12
D 2＋
E 2－4
F 的圆．
[问题5] 若方程a 2x 2
＋(a ＋2)y 2
＋2ax ＋a ＝0表示圆，则a ＝________. 答案 －1 6．直线、圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系
直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)有相交、相离、相切．可从代数和几何两个方面来判断：
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交；Δ<0⇔相离；
Δ＝0⇔相切；②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距
离为d ，则d <r ⇔相交；d >r ⇔相离；d ＝r ⇔相切． (2)圆与圆的位置关系
已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则①当|O 1O 2|>r 1＋r 2时，两圆外离；
②当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；③当|r 1－r 2|<|O 1O 2|<r 1＋r 2时，两圆相交；④当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切；⑤当0≤|O 1O 2|<|r 1－r 2|时，两圆内含．
[问题6] 双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线右支上任意一点，
则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________． 答案 内切
7．对圆锥曲线的定义要做到“咬文嚼字”，抓住关键词，例如椭圆中定长大于定点之间的
距离，双曲线定义中是到两定点距离之差的“绝对值”，否则只是双曲线的其中一支．在抛物线的定义中必须注意条件：FD ∈/l ，否则定点的轨迹可能是过点F 且垂直于直线l 的一条直线．
[问题7] 已知平面内两定点A (0,1)，B (0，－1)，动点M 到两定点A 、B 的距离之和为4，则动点M 的轨迹方程是________． 答案
x 23
＋y 2
4
＝1
8．求椭圆、双曲线及抛物线的标准方程，一般遵循先定位，再定型，后定量的步骤，即先
确定焦点的位置，再设出其方程，求出待定系数．
(1)椭圆标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2＋x 2
b 2＝1(a >b >0)．
(2)双曲线标准方程：焦点在x 轴上，x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)；焦点在y 轴上，y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，
b >0)．
(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1具有共同渐近线的双曲线系为x 2a 2－y 2
b
2＝λ(λ≠0)．
(4)抛物线标准方程
焦点在x 轴上：y 2
＝±2px (p >0)； 焦点在y 轴上：x 2＝±2py (p >0)．
[问题8] 与双曲线x 29－y 2
16＝1有相同的渐近线，且过点(－3,23)的双曲线方程为
________． 答案 4x 2
9－y 2
4
＝1
9．(1)在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意二次项的系数是否为零，
利用解情况可判断位置关系．有两解时相交；无解时相离；有唯一解时，在椭圆中相切，在双曲线中需注意直线与渐近线的关系，在抛物线中需注意直线与对称轴的关系，而后判断是否相切．
(2)直线与圆锥曲线相交时的弦长问题
斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长 |P 1P 2|＝
1＋k
2
[x 1＋x 2
2
－4x 1x 2]或|P 1P 2|＝1＋
1
k
2
[y 1＋y 2
2
－4y 1y 2].
(3)过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的直线l 交抛物线于C (x 1，y 1)、D (x 2，y 2)，则(1)焦半径|CF |＝x 1＋p 2；(2)弦长|CD |＝x 1＋x 2＋p ；(3)x 1x 2＝p 2
4
，y 1y 2＝－p 2
.
[问题9] 已知F 是抛物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 5
4
解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝5
2.
∴线段AB 的中点到y 轴的距离为
x A ＋x B 2
＝5
4
.
易错点1 直线倾斜角与斜率关系不清致误
例1 已知直线x sin α＋y ＝0，则该直线的倾斜角的变化X 围是__________．
错解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的变化X 围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，34π. 找准失分点 直线斜率k ＝tan β(β为直线的倾斜角)在[0，π)上是不单调的且不连续．
正解 由题意得，直线x sin α＋y ＝0的斜率k ＝－sin α，
∵－1≤sin α≤1，∴－1≤k ≤1，当－1≤k <0时，倾斜角的变化X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π；
当0≤k ≤1时，倾斜角的变化X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.
故直线的倾斜角的变化X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π. 答案 ⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫34
π，π
易错点2 忽视斜率不存在情形致误
例2 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则
t 的值为________．
错解 直线l 1的斜率k 1＝－
t ＋2
1－t
，
直线l 2的斜率k 2＝－t －1
2t ＋3
，
∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ＋21－t ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－t －12t ＋3＝－1，解得t ＝－1. 答案 －1
找准失分点 (1)盲目认为两直线的斜率存在，忽视对参数的讨论．(2)忽视两直线有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直这一情形． 正解 方法一 (1)当l 1，l 2的斜率都存在时， 由k 1·k 2＝－1得，t ＝－1. (2)若l 1的斜率不存在，
此时t ＝1，l 1的方程为x ＝13，l 2的方程为y ＝－2
5，
显然l 1⊥l 2，符合条件；
若l 2的斜率不存在，此时t ＝－3
2，
易知l 1与l 2不垂直，综上t ＝－1或t ＝1.
方法二 l 1⊥l 2⇔(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0⇔t ＝1或t ＝－1. 答案 －1或1
易错点3 忽视“判别式”致误
例3 已知双曲线x 2
－y 2
2
＝1，过点A (1,1)能否作直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，并
且A 为线段PQ 的中点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 错解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为
y ＝k (x －1)＋1.
代入双曲线方程x 2
－y 2
2
＝1，
整理得(2－k 2
)x 2
＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2
＝0， 设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k k －1
k 2－2，
点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 2
2
＝1.
∴
k k －1
k 2－2
＝1，解得k ＝2，
故所求直线方程为2x －y －1＝0.
错解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
1－y 21
2＝1 ①x 22
－y 22
2＝1 ②
式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝1
2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③
因为A (1,1)为线段PQ 的中点， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤
将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝1
2(y 1－y 2)．
若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
＝2. 所以符合题设条件的直线的方程为2x －y －1＝0.
找准失分点 没有判断直线2x －y －1＝0与双曲线是否相交． 正解1 设被A (1,1)所平分的弦所在直线方程为y ＝k (x －1)＋1. 代入双曲线方程x 2
－y 2
2＝1，整理得，
(2－k 2
)x 2
＋2k (k －1)x －3＋2k －k 2
＝0， 由Δ＝4k 2
(k －1)2
－4(2－k 2
)(2k －3－k 2
)>0， 解得k <3
2
.
设直线与双曲线交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2k k －1
k 2－2，
点A (1,1)是弦中点，则x 1＋x 2
2
＝1.
∴
k k －1k 2
－2＝1，解得k ＝2>3
2
，故不存在被点A (1,1)平分的弦． 正解2 设符合题意的直线l 存在，并设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 21－y 21
2＝1 ①x 22
－y
22
2＝1 ②
式①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝1
2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)③
因为A (1,1)为线段PQ 的中点，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝2 ④y 1＋y 2＝2 ⑤
将式④、⑤代入式③，得x 1－x 2＝1
2(y 1－y 2)．
若x 1≠x 2，则直线l 的斜率k ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
＝2. 所以直线l 的方程为2x －y －1＝0，
再由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝2x －1x 2－y 2
2＝1，得2x 2
－4x ＋3＝0.
根据Δ＝－8<0，所以所求直线不存在．
1．已知双曲线x 2a 2－y 2b
2＝1的一个焦点与抛物线y 2
＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，
则该双曲线的方程为( ) A ．5x 2
－45y 2＝1 B.x 2
5－y
2
4
＝1
C.y 25－x 2
4＝1 D ．5x 2
－54y 2＝1 答案 D
解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，c ＝1，e ＝c a ＝1a ＝5，a 2＝15，b 2＝c 2－a 2
＝45
，双
曲线的方程为5x 2
－54
y 2＝1.
2．在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2
＋y 2
＋2ax －4ay ＋5a 2
－4＝0上所有的点均在第二象
限内，则实数a 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 答案 D
解析 曲线C ：x 2
＋y 2
＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0， 即(x ＋a )2
＋(y －2a )2＝4表示以(－a,2a )为圆心， 2为半径的圆，当－a <－2且2a >2，即a >2时， 曲线C 上所有的点均在第二象限内．
3．以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆x 2
＋y 2
－2x ＋6y ＋9＝0圆心的抛物线方程是
( )
A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2
B ．y ＝3x 2
C ．y 2
＝－9x 或y ＝3x 2
D ．y ＝－3x 2
或y 2
＝9x 答案 D
解析 由x 2
＋y 2
－2x ＋6y ＋9＝0可知圆心坐标为(1，－3)，设抛物线方程为x 2
＝－2py 或y 2
＝2px (p >0)，将点(1，－3)分别代入得y ＝－3x 2
或y 2
＝9x .
4．若椭圆x 2m ＋y 2n
＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2
＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值X
围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，32
C.⎝
⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝
⎛
⎭⎪⎫0，22
答案 D
解析 由于m 、n 可互换而不影响，可令m >n ，则⎩⎪⎨⎪⎧
x 2m ＋y 2
n
＝1，
x 2＋y 2＝m －n ，
则x 2
＝2m ·n －m 2
n －m
，
若两曲线无交点，则x 2
<0，即m <2n ，则e ＝m －n
m
<m －
m
2
m
＝
22
， 又∵0<e <1，∴0<e <
22
. 5．已知点F 1、F 2是椭圆x 2
＋2y 2
＝2的左、右两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么
|PF →1＋PF →
2|的最小值是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2 2 答案 C
解析 设P (x 0，y 0)，则PF →
1＝(－1－x 0，－y 0)， PF →
2＝(1－x 0，－y 0)．
∴PF →1＋PF →
2＝(－2x 0，－2y 0)，
∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 2
0＋2，
∵点P 在椭圆上，∴0≤y 2
0≤1.
∴当y 2
0＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.
6．设a ≠0，a ∈R ，则抛物线y ＝4ax 2
的焦点坐标为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，116a 7．直线l 与圆x 2
＋y 2
＋2x －4y ＋a ＝0(a <3)相交于两点A ，B ，弦AB 的中点为D (0,1)，则直
线l 的方程为________． 答案 x －y ＋1＝0
8．一直线过点P ⎝
⎛⎭⎪⎫－3，－32被圆x 2＋y 2
＝25截得的弦长为8，则此弦所在的直线方程为
________．
答案 x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0
解析 ①当斜率k 不存在时，过点P 的直线方程为x ＝－3， 代入x 2
＋y 2＝25，得y 1＝4，y 2＝－4. 所以弦长为|y 1－y 2|＝8，符合题意．
②当斜率k 存在时，设所求直线方程为y ＋3
2＝k (x ＋3)，
即kx －y ＋3k －3
2
＝0.
由已知，弦心距|OM |＝52
－42
＝3， 所以|k ·0－0＋3k －3
2|
k 2＋1＝3，解得k ＝－3
4，
所以此直线方程为y ＋32＝－3
4(x ＋3)，
即3x ＋4y ＋15＝0.
所以所求直线方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.
9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2
＋y 2
－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少
存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________． 答案 4
3
解析 圆C 的标准方程为(x －4)2
＋y 2
＝1，圆心为(4,0)． 由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即
|4k －2|
k 2＋1
≤2. 整理，得3k 2
－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43
.
10．过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 向其一条渐近线作垂线，垂足为M ，已知∠MFO
＝30°(O 为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________．
答案 2
解析 由已知得点F 的坐标为(c,0)(c ＝a 2
＋b 2
)， 其中一条渐近线方程为bx －ay ＝0， 则|MF |＝
bc
a 2＋
b 2
＝b ， 由∠MFO ＝30°可得|MF ||OF |＝b c ＝cos 30°＝3
2
，
所以c 2－a 2c ＝32，所以e ＝c
a
＝2.。