线性系统 第3章

∴ || X 0 || X 0
2
==> X 0 0 ，与假设 X 0 0 矛盾。 Wc 非奇异。
At e 用上述定理，首先求 ==>能控性，n 大时计算复杂，
不实用。
定理 3-2：线性定常系统为完全能控的充要条件是
Rank[B | AB | | A B] n
n 1 Q Rank [ B | AB | | A B] 称系 其中 n 为矩阵 A 的维数， c
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1I A, B 0 1 0 0 1 2 1 0 1 2
ˆ b 111 ˆ b211 ˆ b r11 ˆ b 112 ˆ b r12 ˆ b 121 ˆ b r 21
行线性无关。 同理， 2 也可推出此结果。
例：线性定常系统的约旦标准型
(2) 当矩阵 A 的特征值有重根，即：
（ （ （ , 1 2 l n）时，则 1 1重）， 2 2 重）， l l 重）且（
ˆ ˆ Bu ˆ AX ˆ , 其中 X ˆ B J1 1 ˆ J B 2 ˆ ˆ 2 , J 表示相应于特征值 的约旦块 , B A i i n n n p Jl ˆ Bn J i1 Ji ( i i ) ˆ B i1 ˆ J i2 B , B ˆ i2 i ip ˆ J i i B ii J 表示J 中第j个约当块
bˆ ri 1 bˆ
由
ˆ B ik
ri
2
最后一行所组成的矩阵
bˆ ri

i
对 i 1, 2 , l 均线性无关。 证明：定理中（1）是（2）的特例，故只需证（2） 。设：
1 1 0 0 1 1 0 0 1 ˆ A 1 0 1 : J 1 { J 11 , J 12 }
例 1：
X AX Bu 5 5 B 0 1 25 5 1 Q c B | AB ~ 5 1 0 rankQ c 1，故系统不可控 4 A 1
.
0 0
例 2：
X AX Bu 0 0 A 0 0 1 0 0 0 0 1 0 5 0 0 0 , B 1 0 1 0 2 1 0 0 s 0 0 5 1 s 5 0 1 s 1 0 1 0 0 1 0 2
.
s 0 S I A, B 0 0
1 0 1 0
当s 0, ra n kS I A, B 4 当s 当s 5 , ra n kS I A, B 4 5 , ra n kS I A, B 4
i 0,0,
0

t1
0
e
At
BB e
T
AT t
dtWc1 0, t1 x0
即X0
， U ( t ) X (t1 ) 0 ，∴系统能控
t1 0
“==>“，已知系统能控==> W c 0 , t 1 非奇异，用反证法： 设Wc 为奇异，存在 X ==>
0 X 0 W c 0 , t1 X 0
.
Wc 0, t1 e
t1 0

At
BB e
T
AT t
dt
为非奇异。 证明： “<==“，已知 Wc 0, t1 非奇异==>系统完全能控， 构造法证之： 1 ∴ Wc 存在， 对任一非零 X 0 构造 u(t ) ： Wc 非奇异，
u(t ) B e
T AT t
t 0, t1
At1 t1 0
!!! ，
由 能 控 性 ： 0 X (t1 ) e
X 0 e At1 e At Bu(t )dt
X 0 0 ，成立。
At X e Bu(t )dt ==> 0 0 t1
T t1 T T AT t X 0 e Bu(t )dt X 0 u (t ) B e X 0 dt 0 0 0 t1 At T
t1
0 Wc 0, t1 e BB e dt e B e B dt
T At T At T 0 0



==>
T
e
At
B =0
(将左式求(n-1)次导数，并令 t=0)
T T T 2 T n1 B 0 , AB 0 , A B 0 , , A B0 ==>
x(t1 ) 是 任 给 的 ， 可 选 择 x(t1 ) 0 ， 则 存 在 u ， 使
x(t 0 ) x0 x(t1 ) 0 （原点） ，则称系统能控。
§2 线性定常系统的能控性判据 一、 能控性判据—定理 定理 3-1： 对于线性定常系统 X AX BU ，X (0) X 0 ，t 0 为完全能控的充分必要条件是，存在时刻 t1 0 ，使如下定 义的 Gram 阵
1
1 2
0
ˆ b 111 ˆ b211 ˆ b r 11 ˆ ˆ , B b 112 b ˆ r12 ˆ 1 b 121 ˆ 2 br 21
2 : J 2
则
s 1 1 0 0 s 1 1 0 0 s 1 SI A, B s 1 1 0 s 1 s 2 1 0 s 2
T
0
0
T
，使 X 0 Wc 0, t1 X 0 0 成立
T

t1
0
X0 e
At
BB e
T
AT t
X 0 dt

[B
0 t 0
t
T
e
AT t
X 0 ] [B e X 0 || dt
T
T
AT t
X 0 ]dt
|| B
T
e
AT t
==> B e
T
AT t
X 0 =0
T i
==>
1 2 2 1 33 0 I At A t A t B T e At B, t 0, t1 2! 3!
T
==>
T

t1
0
e
At
BB e
T
AT t
dt TW [0, t1 ] 0
==> W[0，t1]奇异==>系统不完全可控，与已知条件矛盾 定理 3-3： 线性定常系统 ( A, B, C) 为完全能控的充分必要 条件是：对矩阵 A 所有的特征值 i (i 1,2,n) ， ranki I A, B n 都成立。 （证明略，见书） 或等价： rank SI A, B n 都成立
Wc1 0, t1 x0
t 0, t1
==> t 1 时 X (t ) ：
X (t1 ) e x0 e A(t1 t ) Bu(t )dt
At1 0
t1
e x0 e
At1
At1
e At1 x0 e At1Wc 0, t1 Wc1 0, t1 x0 e At1 x0 e At1 x0 0
T 2 n1 T B | AB | A B | | A B Qc 0 由上式：
T 0 ==> Qc 为行线性相关
==>rank Qc <n 与 rank Qc =n 矛盾 所以假设不成立，系统为完全能控 “==>” ，系统完全能控==>rank Qc =n
反证法：假设 rank Qc <n，即 Q 行线性相关 0 向量，使 T B | AB | A2 B | | An1 B T Qc 0
5 ,
所以系统完全能控。
定理 3-4： （约当标准型判据） 线性定常系统 ( A, B, C, D) 为完全能控的充分必要条件是： （1） 当矩阵 A 的特征值 1 ,n 两两相异，则
1 X 0
.
0 X Bu , B中不包含元素全为 0的行。 n
.
( rik rik )
J ik
i
2
1
i

而 ( ri ri ri ) i ( i 重根数 ) ，
1 i
ˆ b 1ik ˆ ˆ b 2 ik , B ik 1 ( rik p ) ˆ i b rik
n1
统的能控性判别阵。 证明： c n ==>系统完全能控 “<==” ，已知 RankQ 反证法：设系统不完全能控，
1 Gram 阵 c 0 即存在 0 向量，使
T t1 T At
W 0, t e BB e
t1 At
T AT t
T AT t
dt ， t1 0 为奇异，
由定理3 3，先对s 1判断，令s 1
ˆ b 111 ˆ b211 ˆ b r11 ˆ b 112 ˆ b r12 ˆ b 121 ˆ br 21
ˆ ：存在 ， 且 。 有两个约旦块， A 2 有一个约旦块。 1 2 1 2 1
0
是能控的，否则，称系统（１）是不能控的。
能控性的几个特点： ① 能控性表明输入作用和状态变量间的性质，只取决于 A(t)，B(t)，与输出无关。 ② 能控性只要求从任意初始值 给定值，对运动轨迹无要 求，u 的大小方向无限制。 ③ 要求 x 能控，指 x 中的每个元素，即系统中的每个状态 变量均能控，若有一个状态变量不能控，则系统不能控。 若 x1,x2 是能控的， 则 1 x1 2 x2 也能控， 若 x1 , x2 , xn 全部能 控，其线性组合也是能控的。若 n 个状态中有一个不能控， 则线性组合不能控。 即：对系统的状态作线性变换，不改变系统的能控性。 ④
对上式进行一系列列和行变换：
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 r 11 0 ˆ b r 12 0 0 0 0 ˆ b
1 2
0
1
1 2
ˆ b r11 ˆ 上式表明，1 I A, B 为行满秩的充分必要条件是： br12

c

==> A B 0, i 0,1,n 1 由凯莱-哈密顿定理,An,An+1…. 均可为 I, A, A2,… An-1 表 示==> T i ==> A B 0, i 0,1,（变为无限项） 从而，可得到对任意 t1>0 有， i i A t T B 0, t 0, t1 , i 0,1,2... i i
第三章 系统的能控性和能观性
§１ 能控性的定义 对于下式描述的线性系统：

A(t ) x B(t )u x y C (t ) x D(t )u
x R , y R ,u Rn r m源自x(t 0 ) x0（１）
定义３－１：对于系统（１）若在有限的时间 t1 t 0 ，存 在输入 u(t 0 , t1 ) ， 可使系统 （１） 的状态由任意的 x(t 0 ) x0 ， 在 t 1 时刻转移到任意给定的 x1 (t1 ) ，则称系统（１）在 t 时