【命题探讨】2021年中考数学 抢分训练之“小题狂做”二次函数的应用（含解析） (1)

二次函数的应用
一、选择题(共6分)
1．从地面竖直向上抛出一个小球，小球运动的高度h (单位：m )与小球运动时刻t (单位：s )之间的关系式为h ＝24t －4t 2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时刻是( )
A ．6 s
B ．4 s
C ．3 s
D ．2 s
二、填空题(共8分)
2．体育课上，教师用绳索围成一个周长为30 m 的长方形场地，
围成的场地是如下图的矩形ABCD .设边AB 长为x (单位：m )，矩形ABCD 的面积为S (单位：m 2)，S 与x 之间的函数关系式为________(不要求写出自变量x 的取值范围)；假设矩形ABCD 的面积为50 m 2，且AB ＜AD ，现在AB 的长________．
三、解答题(本大题共3小题，共46分)
3．(14分)小磊要制作一个三角形的钢架模型，在那个三角形中，长度为x (单位：cm )的边与这条边上的高之和为40 cm ，那个三角形的面积S (单位：cm 2)随x (单位：cm )的转变而转变．
(1)请直接写出S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；
(2)当x 是多少时，那个三角形面积S 最大？最大面积是多少？
[参考公式：当x ＝－b 2a 时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)有最小(大)值4ac －b 2
4a
] 4．(14分)某跳水运动员进行10 m 跳台跳水训练时，躯体(看成一点)在空中的运动线路是如下图坐标系下，通过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情形下，该运动员在空中的
最高处距水面1023
m ，入水处距池边的距离为4 m ，运动员在距水面高度为5 m 以前，必需完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，不然就会显现失误．
(1)求这条抛物线的解析式；
(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动线路是(1)中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并
调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335
m ，问这次跳水会可不能失误？并通过计算说明理由． 5．(18分)综合与探讨：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的极点．
(1)求直线AC 的解析式及B 、D 两点的坐标； (2)点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q .试探讨：随着P 点的运动，在抛物线上是不是存在点Q ，使以点A 、P 、Q 、C 为极点的四边形是平行四边形，假设存在，请直接写出．．．．
符合条件的点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由；
(3)请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．
参考答案
1. A 解析：由题意可知落回到地面时h ＝0，因此可依照解一元二次方程解得t 的值为6，也可将四个选项别离代入计算，假设得h ＝0那么为该选项，应选A.
2. S ＝－x 2＋15x 5 m 解析：∵AB ＝x ，∴BC ＝15－x ，
∴S ＝(15－x )·x ＝－x 2＋15x ，当S ＝50时，
代入计算得x 1＝5，x 2＝10，由于AB ＜AD ，因此AB ＝5 m.
3. 解：(1)S ＝－12x 2＋20x .(6分) (2)∵a ＝－12＜0，∴S 有最大值．(8分) ∴当x ＝－b 2a ＝－202×（－12
）＝20时， S 有最大值4ac －b 24a ＝4×（－12
）×0－2024×（－12）＝200.
∴当x 为20 cm 时，三角形面积S 最大，最大面积是200 cm 2.(14分)
4. 解：(1)在给定的平面直角坐标中，设最高点为A ，入水点为B .
∵A 点距水平1023
m ，跳台支柱高10 m ， ∴A 点纵坐标为23
，由题意可得O (0，0)，B (2，－10)．(2分) 设该抛物线的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)
抛物线过点O (0，0)，B (2，－10)，且函数的最大值为23
，
那么有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－10，4ac －b 24a ＝23 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－256，b ＝103，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32
，b ＝－2，c ＝0(6分) 由题图知a ＜0，－b
2a
＞0，∴b ＞0，舍去第二组解． ∴所求抛物线的关系式为y ＝－256x 2＋103
x .(10分) (2)试跳会显现失误．(11分)
∵当x ＝335－2＝85时，y ＝－163
. 现在，运动员距水面的高为10－163＝143
＜5， ∴试跳会显现失误．(14分)
5. 解：(1)当y ＝0时，－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. ∵点A 在点B 的左侧，∴A 、B 的坐标别离是(－1，0)、(3，0)．(2分) 当x ＝0时，y ＝3，∴C 点的坐标为(0，3)． 设直线AC 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，那么⎩
⎪⎨⎪⎧b 1＝3，－k 1＋b 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝3，b 1＝3，
∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3，(4分) ∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，
∴极点D 的坐标为(1，4)．(6分)
(2)抛物线上有三个如此的点Q ，别离为Q 1(2，3)，Q 2(1＋
7，－3)，Q 3(1－7，－
3)．(9分)
(3)过点B 作BB ′⊥AC 于点F ，使B ′F ＝BF ，那么B 为点B 关于直线AC 的对称点，连接BD 交直线于AC 于点M ，那么点M 为所求．
过点B ′作B ′E ⊥x 轴于点E .(10分)
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1＝∠2.
Rt△AOC ∽Rt△AFB ， ∴CO BF ＝CA AB ， 由A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)得
OA ＝1，OB ＝3，
∴AC ＝
10，AB ＝4， ∴3BF ＝104，∴BF ＝1210
， ∴BB ′＝2BF ＝2410.由∠1＝∠2可得Rt△AOC ∽R t△B ′EB ， ∴AO B ′E ＝CO BE ＝CA
BB ′，∴1B ′E ＝3BE ＝102410
，即1B ′E ＝3BE ＝512
. ∴B ′E ＝125，BE ＝365，∴OE ＝BE －OB ＝365－3＝215. ∴B ′点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－215，125.(15分) 设直线B ′D 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)
∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋b 2＝4，－215k 2＋b 2＝125， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4
13，b 2＝4813，∴y ＝413x ＋4813. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋3，y ＝413x ＋4813， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝935，y ＝13235，∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫935，13235.(18分)。