初三数学毕业考试试卷含答案

初三数学毕业考试试卷含答案
一、压轴题
1．如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC 上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，BP= cm，CQ= cm．（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（4）若点Q以（3）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次相遇？
2．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC是等边三角形，点D 是BC的中点，且满足∠ADE＝60°，DE交等边三角形外角平分线于点E．试探究AD与DE 的数量关系．
操作发现：（1）小明同学过点D作DF∥AC交AB于F，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD与DE的数量关系，并进行证明．
类比探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点(除B、C外)，其他条件不变，试猜想AD与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
拓展应用：（3）当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC，在图3中补全图形，直
接判断△ADE 的形状(不要求证明)．
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标(3,2)-，过A 点作AB x ⊥轴，垂足为点B ，过点(2,0)C 作直线l x ⊥轴，点P 从点B 出发在x 轴上沿着轴的正方向运动．
（1）当点P 运动到点O 处，过点P 作AP 的垂线交直线l 于点D ，证明AP DP =，并求此时点D 的坐标；
（2）点Q 是直线l 上的动点，问是否存在点P ，使得以P C Q 、、为顶点的三角形和ABP ∆全等，若存在求点P 的坐标以及此时对应的点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．
4．在等腰ABC ∆中，AB AC =,AE 为BC 边上的高，点D 在ABC ∆的外部且60CAD ∠=，AD AC =,连接BD 交直线AE 于点F ，连接FC ．
(1)如图①，当120BAC ∠<时，求证：BF CF =；
(2)如图②，当40BAC ∠=时，求AFD ∠的度数；
(3)如图③，当120BAC ∠>时,求证：CF AF DF =+．
5．在△ABC 中，已知∠A ＝α．
（1）如图1，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点D ．
①当α＝70°时，∠BDC 度数＝ 度（直接写出结果）；
②∠BDC 的度数为 （用含α的代数式表示）；
（2）如图2，若∠ABC 的平分线与∠ACE 角平分线交于点F ，求∠BFC 的度数（用含α的代数式表示）．
（3）在（2）的条件下，将△FBC 以直线BC 为对称轴翻折得到△GBC ，∠GBC 的角平分线与∠GCB 的角平分线交于点M （如图3），求∠BMC 的度数（用含α的代数式表示）．
6．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．
（1）求CAM ∠的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；
（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．
7．已知：ABC 中，过B 点作BE ⊥AD ，=90=，∠︒ACB AC BC ．
(1)如图1，点D 在BC 的延长线上，连AD ，作BE AD ⊥于E ，交AC 于点F ．求证：=AD BF ；
(2)如图2，点D 在线段BC 上，连AD ，过A 作AE AD ⊥，且=AE AD ，连BE 交AC 于F ，连DE ，问BD 与CF 有何数量关系，并加以证明；
(3)如图3，点D 在CB 延长线上，=AE AD 且AE AD ⊥，连接BE 、AC 的延长线交BE 于点M ，若=3AC MC ，请直接写出DB BC
的值．
8．（1）问题发现．
如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．
①求证：ADC BEC ∆∆≌．
②求AEB ∠的度数．
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．
（2）拓展探究．
如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．
①请判断AEB ∠的度数为____________．
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）
9．如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，60BAC ∠=︒，()0,43A ，8AB =，点B 、C 在x 轴上且关于y 轴对称．
（1）求点C的坐标；
（2）动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿x轴正方向向终点C运动，设运动时间为t秒，点P到直线AC的距离PD的长为d，求d与t的关系式；
的平分（3）在（2）的条件下，当点P到AC的距离PD为33时，连接AP，作ACB
线分别交PD、PA于点M、N，求MN的长．
10．在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每分钟1米的速度由A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处，请问：
（1）如图1，在爬行过程中，CD和BE始终相等吗，请证明？
（2）如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”，改为“沿着AB和CA的延长线爬行”，EB与CD交于点Q，其他条件不变，蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变，请利用图2说明：∠CQE=60°；
（3）如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F”，其他条件不变，如图3，则爬行过程中，证明：DF=EF
11．（1）探索发现：如图1，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，
过点A作AD⊥l，过点B作BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：AD＝CE，CD＝BE．
（2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点M的坐标为（1，3），求点N的坐标．
（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线y＝﹣3x+3与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线PQ绕P点沿逆时针方向旋转45°后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标．
12．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且∠α=60°，则∠1+∠2= ；
（2）若点P在线段AB上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2之间的关系为；（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由；
（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．
13．问题背景：（1）如图1，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：DE＝BD＋CE．
拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）
实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．
14．已知：如图1，直线//AB CD ，EF 分别交AB ，CD 于E ，F 两点，BEF ∠，DFE ∠的平分线相交于点K ．
（1）求K ∠的度数；
（2）如图2，BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，问1K ∠与K ∠的度数是否存在某种特定的等量关系？写出结论并证明；
（3）在图2中作1BEK ∠，1DFK ∠的平分线相交于点2K ，作2BEK ∠，2DFK ∠的平分线相交于点3K ，依此类推，作n BEK ∠，n DFK ∠的平分线相交于点1n K +，请用含的n 式子表示1n K ∠+的度数．（直接写出答案，不必写解答过程）
15．探索发现：
111111111;;12223233434
=-=-=-⨯⨯⨯……
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）145⨯＝ ，1(1)n n ⨯+＝ ； （2）利用你发现的规律计算：1111122334
(1)
n n ⋅++++⨯⨯⨯⨯+ （3）利用规律解方程：1111121(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)
x x x x x x x x x x x x x -++++=++++++++++ 16．（1）发现：如图1，ABC ∆的内角ABC ∠的平分线和外角ACD ∠的平分线相交于点O 。

①当50A ︒∠=时，则BOC ∠=
②当A α∠=时，求BOC ∠的度数（用含α的代数式表示）﹔
（2）应用：如图2，直线MN 与直线PQ 垂直相交于点O ，点A 在射线OP 上运动（点A 不与点O 重合），点B 在射线OB 上运动（点B 不与点O 重合），延长BA 至G ，已知BAO OAG ∠∠、的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于E F 、，在AEF ∆中，如果一个角是另一个角的3倍，请直接写出ABO ∠的度数.
17．已知AB //CD ，点E 是平面内一点，∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线交于点F ． （1）若点E 的位置如图1所示．
①若∠ABE =60°，∠CDE =80°，则∠F = °；
②探究∠F 与∠BED 的数量关系并证明你的结论；
（2）若点E 的位置如图2所示，∠F 与∠BED 满足的数量关系式是 ． （3）若点E 的位置如图3所示，∠CDE 为锐角，且1452
E F ∠≥∠+︒，设∠F =α，则α的取值范围为 ．
18．如图1，直角三角形DEF 与直角三角形ABC 的斜边在同一直线上，∠EDF ＝30°，∠ABC ＝40°，CD 平分∠ACB ，将△DEF 绕点D 按逆时针方向旋转，记∠ADF 为α（0°＜α＜180°），在旋转过程中； （1）如图2，当∠α＝ 时，//DE BC ，当∠α＝ 时，DE ⊥BC ；
（2）如图3，当顶点C 在△DEF 内部时，边DF 、DE 分别交BC 、AC 的延长线于点M 、N ， ①此时∠α的度数范围是 ；
②∠1与∠2度数的和是否变化？若不变求出∠1与∠2度数和；若变化，请说明理由； ③若使得∠2≥2∠1，求∠α的度数范围．
19．如图，在ABC ∆中，90,,8ACB AC BC AB cm ∠=︒==，过点C 做射线CD ，且//CD AB ，点P 从点C 出发，沿射线CD 方向均匀运动，速度为3/cm s ；同时，点Q 从点A 出发，沿AB 向点B 匀速运动，速度为1/cm s ，当点Q 停止运动时，点P 也停止运动．连接,PQ CQ ，设运动时间为()()08t s t <<．解答下列问题：
（1）用含有t 的代数式表示CP 和BQ 的长度；
（2）当2t =时，请说明//PQ BC ；
（3）设BCQ ∆的面积为()
2S cm ，求S 与t 之间的关系式．
20．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点 P 在线段 AB 上以
1/
cm s的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为t（s）．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；
（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x/
cm s，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、压轴题
1．（1）BP=3cm，CQ=3cm；（2）全等，理由详见解析；（3）15
4
；（4）经过
80
3
s点P
与点Q第一次相遇．
【解析】
【分析】
（1）速度和时间相乘可得BP、CQ的长；
（2）利用SAS可证三角形全等；
（3）三角形全等，则可得出BP=PC，CQ=BD，从而求出t的值；
（4）第一次相遇，即点Q第一次追上点P，即点Q的运动的路程比点P运动的路程多10+10=20cm的长度．
【详解】
解：（1）BP=3×1=3㎝，
CQ=3×1=3㎝
（2）∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等
∴BP=CQ=3×1=3cm，
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5cm ，
∴PC=BD
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠C ，
在△BPD 和△CQP 中，
PC BD B C BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△BPD ≌△CQP(SAS)
（3）∵点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，
∴BP 与CQ 不是对应边，
即BP≠CQ
∴若△BPD ≌△CPQ ，且∠B=∠C ，
则BP=PC=4cm ，CQ=BD=5cm ，
∴点P ，点Q 运动的时间t=
433BP =s ， ∴154
Q CQ V t ==cm/s ； （4）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇． 由题意，得
154x=3x+2×10， 解得80x=
3 ∴经过803
s 点P 与点Q 第一次相遇． 【点睛】
本题考查动点问题，解题关键还是全等的证明和利用，将动点问题视为定点问题来分析可简化思考过程．
2．（1）AD ＝DE ，见解析；（2）AD ＝DE ，见解析；（3）见解析，△ADE 是等边三角形，
【解析】
【分析】
（1）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明ADF EDC ∆∆≌即可得解； （2）根据题意，通过平行线的性质及等边三角形的性质证明AFD DCE ∆∆≌即可得解； （3）根据垂直平分线的性质及等边三角形的判定定理进行证明即可.
【详解】
（1）如下图，数量关系：AD ＝DE .
证明：∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC ∠∠＝，∠BDF ＝∠BCA
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴DF ＝BD
∵点D 是BC 的中点
∴BD ＝CD
∴DF ＝CD
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝
＝ ∵ABC ∆是等边三角形，点D 是BC 的中点
∴AD ⊥BC
∴90ADC ∠︒＝
∵60BDF ADE ∠∠︒＝＝
∴30ADF EDC ∠∠︒＝＝
在ADF ∆与EDC ∆中
AFD ECD DF CD
ADF EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴()ADF EDC ASA ∆∆≌
∴AD ＝DE ；
（2）结论：AD ＝DE .
证明：如下图，过点D 作DF ∥AC ，交AB 于F
∵ABC ∆是等边三角形
∴AB ＝BC ，60B BAC BCA ∠∠∠︒＝＝＝
∵DF ∥AC
∴BFD BAC BDF BCA ∠∠∠∠＝，＝
∴60B BFD BDF ∠∠∠︒＝＝＝
∴BDF ∆是等边三角形，120AFD ∠︒＝
∴BF ＝BD
∴AF ＝DC
∵CE 是等边ABC ∆的外角平分线
∴120DCE AFD ∠︒∠＝
＝ ∵∠ADC 是ABD ∆的外角
∴60ADC B FAD FAD ∠∠∠︒∠＝＋＝＋
∵60ADC ADE CDE CDE ∠∠∠︒∠＝＋＝＋
∴∠FAD ＝∠CDE
在AFD ∆与DCE ∆中
AFD DCE AF CD
FAD EDC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴()AFD DCE ASA ∆∆≌
∴AD ＝DE ；
（3）如下图，ADE ∆是等边三角形.
证明：∵BC CD =
∴AC CD =
∵CE 平分ACD ∠
∴CE 垂直平分AD
∴AE =DE
∵60ADE ∠=︒
∴ADE ∆是等边三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质及判定，三角形全等的判定及性质，平行线的性质，垂直平分线的性质等相关内容，熟练掌握三角形综合解决方法是解决本题的关键.
3．（1）证明见解析；(2,3)D ；（2）存在，(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或
(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，
(2,2)Q -．
【解析】
【分析】
（1）通过全等三角形的判定定理ASA 证得△ABP ≌△PCD ，由全等三角形的对应边相等证得AP ＝DP ，DC ＝PB ＝3，易得点D 的坐标；
（2）设P （a ，0），Q （2，b ）．需要分类讨论：①AB ＝PC ，BP ＝CQ ；②AB ＝CQ ，BP ＝PC ．结合两点间的距离公式列出方程组，通过解方程组求得a 、b 的值，得解．
【详解】
（1）AP PD ⊥
90APB DPC ∴∠+∠=
AB x ⊥轴
90A APB ∴∠+∠=
A DPC ∴∠=∠
在ABP ∆和PCD ∆中
A DPC A
B PC
ABP PCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()ABP PCD ASA ∴∆≅∆
AP DP ∴=，3DC PB ==
(2,3)D ∴
（2）设(,0)P a ，(2,)Q b
①AB PC =，BP CQ =
223a a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得03a b =⎧⎨=±⎩或47a b =⎧⎨=±⎩ (0,0)P ∴，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q - ②AB CQ =，BP PC =，
322a a b +=-⎧⎨=⎩，解得122
a b ⎧=⎪⎨⎪=±⎩ 1(,0)2P ∴-，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 综上：(0,0)P ，(2,3)Q 或(0,0)P ，(2,3)Q -或(4,0)P ，(2,7)Q 或(4,0)P ，(2,7)Q -或1(,0)2P -，(2,2)Q -或1(,0)2
P -，(2,2)Q - 【点睛】
考查了三角形综合题．涉及到了全等三角形的判定与性质，两点间的距离公式，一元一次绝对值方程组的解法等知识点．解答（2）题时，由于没有指明全等三角形的对应边
（角），所以需要分类讨论，以防漏解．
4．（1）见解析；（2）60AFD ∠=；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形三线合一的性质，可得AE 垂直平分BC ，F 为垂直平分线AE 上点，即可得出结论；
（2）根据（1）的结论可得AE 平分∠BAC ，∠BAF=20°，由AB=AC=AD ，推出
40ABD ADB ∠=∠=，根据外角性质可得AFD BAF ABF ∠=∠+∠计算即可；
（3）在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，证明△ACM ≌△ADF （SAS ），进而证得△AFM 为等边三角形即可．
【详解】
（1）证明：∵AE 为等腰△ABC 底边BC 上的高线，AB=AC ，
AE BC ∴⊥，∠AEB=∠AEC=90°，BE=CE ，
∴AE 垂直平分BE ，F 在AE 上，
BF CF ∴=；
(2) ,AB AC AD AC ==，
AB AD ∴=，
100BAD BAC CAD ∠=∠+∠=，
40ABD ADB ∴∠=∠=，
由（1）知，AE 平分∠BAC ，
20BAF CAF ∴∠=∠=，
60AFD BAF ABF ∴∠=∠+∠=，
故答案为：60°；
(3) 在CF 上截取CM=DF ，连接AM ，
由（1）可知，∠ABC=∠ACB ，∠FBC =∠FCB ，
ABF ACF ∴∠=∠，
AB AC AD ==，
ABF D ∴∠=∠，
ACF D ∴∠=∠，
在△ACM 和△ADF 中，
AC AD ACM ADF CM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACM ≌△ADF （SAS ），
,AF AM FAD MAC ∴=∠=∠，
60FAM DAC ∴∠=∠=，
∴△AFM 为等边三角形，
FM AF
∴=，
CF FM MC AF DF
∴=+=+．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
5．（1）（1）①125°；②
1
90
2
α
︒+，（2）
1
BFC
2
α
∠=；（3）
1
BMC90
4
α
︒
∠=+
【解析】
【分析】
（1）①由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=110°，然后根据角平分线的定义，结合三角形内角和定理可求∠BDC；
②由三角形内角和定理易得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，采用①的推导方法即可求解；（2）由三角形外角性质得BFC FCE FBC
∠=∠-∠，然后结合角平分线的定义求解；（3）由折叠的对称性得BGC BFC
∠=∠，结合（1）②的结论可得答案．
【详解】
解：（1）①∵
1
2
DBC
∠=∠ABC，∠DCB＝
1
2
∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣1
2
（180°﹣70°）
＝125°
②∵
1
2
DBC
∠=∠ABC，∠DCB＝
1
2
∠ACB，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣1
2
（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣1
2
（180°﹣∠A）
＝90°+
12∠A ＝90°+12
α． 故答案分别为125°，90°+12
α． （2）∵BF 和CF 分别平分∠ABC 和∠ACE ∴1FBC ABC 2∠=∠，1FCE ACE 2
∠=∠， ∴BFC FCE FBC ∠=∠-∠＝
11(ACE ABC)A 22∠-∠=∠ 即1BFC 2
α∠=． （3）由轴对称性质知：1BGC BFC 2α∠=∠=
， 由（1）②可得1BMC 90BGC 2∠=︒+
∠， ∴1BMC 904
α∠=︒+
． 【点睛】 本题考查三角形中与角平分线有关的角度计算，熟练掌握三角形内角和定理，以及三角形的外角性质是解题的关键．
6．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，
60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．
【详解】
（1）ABC ∆是等边三角形，
60BAC ∴∠=︒．
线段AM 为BC 边上的中线，
12
CAM BAC ∴∠=∠，
30CAM ∴∠=︒．
（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=．
在ADC ∆和BEC ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；
（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，
理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，
由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，
又60ABC ∠=︒，
603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，
ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线
AM ∴平分BAC ∠，即11603022
BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
30CBE CAD ∴∠=∠=︒，
同理可得：30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
③当点D 在线段MA 的延长线上时，
ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，
AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，
60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=︒，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD ∆和BCE ∆中
AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，
CBE CAD ∴∠=∠，
同理可得：30CAM ∠=︒
150CBE CAD ∴∠=∠=︒
30CBO ∴∠=︒，
∵30BAM ∠=︒，
903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．
综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.
7．（1）见详解，（2）2BD CF =，证明见详解，（3）
23． 【解析】
【分析】
（1）欲证明BF AD =，只要证明BCF ACD ∆≅∆即可；
（2）结论：2BD CF =．如图2中，作EH AC ⊥于H ．只要证明ACD EHA ∆≅∆，推出CD AH =，EH AC BC ==，由EHF BCF ∆≅∆，推出CH CF =即可解决问题； （3）利用（2）中结论即可解决问题；
【详解】
（1）证明：如图1中，
BE AD ⊥于E ，
90AEF BCF ∴∠=∠=︒，
AFE CFB ∠=∠，
DAC CBF ∴∠=∠，
BC AC =，
BCF ACD ∴∆≅∆(AAS )，
BF AD ∴=．
（2）结论：2BD CF =．
理由：如图2中，作EH AC ⊥于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，
90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒， ADC EAH ∴∠=∠，
AD AE =，
ACD EHA ∴∆≅∆， CD AH ∴=，EH AC BC ==，
CB CA =，
BD CH ∴=，
90EHF BCF ∠=∠=︒，EFH BFC ∠=∠，EH BC =， EHF BCF ∴∆≅∆，
FH FC ∴=，
2BD CH CF ∴==．
（3）如图3中，作EH AC ⊥于交AC 延长线于H ． 90AHE ACD DAE ∠=∠=∠=︒，
90DAC ADC ∴∠+∠=︒，90DAC EAH ∠+∠=︒， ADC EAH ∴∠=∠，
AD AE =，
ACD EHA ∴∆≅∆，
CD AH ∴=，EH AC BC ==，
CB CA =，
BD CH ∴=，
90EHM BCM ∠=∠=︒，EMH BMC ∠=∠，EH BC =，
EHM BCM ∴∆≅∆，
MH MC ∴=，
2BD CH CM ∴==．
3AC CM =，设CM a =，则3AC CB a ==，2BD a =， ∴2233
DB a BC a ==．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．另外对于类似连续几步的综合题，一般前一步为后一步提供解题的条件或方法．
8．（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+
【解析】
【分析】
（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；
（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．
【详解】
解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACD ECB ∠=∠，
∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．
②∵CDE ∆为等边三角形，
∴60CDE ∠=︒．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，
又∵ADC BEC ∆∆≌，
∴120ADC BEC ∠=∠=︒，
∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．
③AD BE =
ADC BEC ∆∆≌，
∴AD BE =．
故填：AD BE =；
（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，
∴AC CB =，CD CE =，
又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，
∴ACD ECB ∠=∠，
在ACD ∆和BCE ∆中，
AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴E ACD BC ∆∆≌，
∴ADC BEC ∠∠=．
∵点A 、D 、E 在同一直线上，
∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．
②∵CDA CEB ∆∆≌，
∴BE AD =．
∵CD CE =，CM DE ⊥，
∴DM ME =．
又∵90DCE ∠=︒，
∴2DE CM =，
∴2AE AD DE BE CM =+=+．
故填：①90°；②2AE BE CM =+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．
9．（1）C （4，0）；（2
）d =；（3
）MN =
【解析】
【分析】
（1）根据对称的性质知ABC ∆为等边三角形，利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案；
（2）利用面积法可求得AC PD PC OA ⋅=⋅，再利用坐标系中点的特征即可求得答案； （3）利用(2)的结论求得2BP =，利用角平分线的性质证得ABO CBQ ∆∆≌，求得
43CQ AO ==，利用面积法求得43QN =
，再利用直角三角形中30度角的性质即可求得答案．
【详解】
（1）∵点B 、C 关于y 轴对称，
∴12
OB OC BC ==， ∴AB AC =，
∵60BAC ∠=︒，
∴ABC ∆为等边三角形，
∴8AB BC AC ===，
∴142
OC BC ==， ∴点C 的坐标为：()4,0C ； （2）连接AP ，
∵1122
APC S AC PD PC OA ∆=⋅=⋅， ∴AC PD PC OA ⋅=⋅，
∵(0,43A ，
∴43OA =
∵2BP t =，
∴82PC t =-，
∵8AC =，
∴433PC OA PD t AC
⋅==，
即：433d t =-；
（3）∵点P 到AC 的距离为33， ∴43333d t =-=，
∴1t =，
∴2BP =，
延长CN 交AB 于点Q ，过点N 作NE x ⊥轴于点E ，连接PQ 、BN ，
∵CQ 为ACB ∠的角平分线，ABC ∆为等边三角形，
∴1302
BCQ ACB ∠=∠=︒，CQ AB ⊥， ∵1302BAO BAC ∠=
∠=︒，AB BC =， ∴ABO CBQ ∆∆≌，
∴43CQ AO ==
设2QN a =，
在Rt CNE ∆中，30QCB ∠=︒，
∴11(432)2322
NE CN a a ===， ∵ABP ABN BPN S S S ∆∆∆=+，
∴111222
BP OA AB QN BP NE ⋅=⋅+⋅， ∴
111243822(23)222a a ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，
∴a =
∴7QN =
， ∵60ACB ∠=︒，90PDC ∠=︒，
∴30DPC ∠=︒，
∵30BCQ ∠=︒，
∴PM CM =，
在Rt CDM ∆中，90MDC ∠=︒，30MCD ∠=︒， ∴12
MD MC =，
∴12MD PM =，PD =
∴PM CM ==
∴MN CQ QN CM =--== 【点睛】
本题是三角形综合题，涉及的知识有：含30度直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，外角性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质及定理、灵活运用面积法求线段的长是解本题的关键．
10．（1)相等，证明见解析；（2)证明见解析；（3)证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）先证明△ACD ≌△CBE ，再由全等三角形的性质即可证得CD=BE ；
（2）先证明△BCD ≌△ABE ，得到∠BCD=∠ABE ，求出
∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC ，∠CQE=180°-∠DQB ，即可解答； （3）如图3，过点D 作DG ∥BC 交AC 于点G ，根据等边三角形的三边相等，可以证得AD=DG=CE ；进而证明△DGF 和△ECF 全等，最后根据全等三角形的性质即可证明．
【详解】
（1）解：CD 和BE 始终相等，理由如下：
如图1，AB=BC=CA ，两只蜗牛速度相同，且同时出发，
∴CE=AD ，∠A=∠BCE=60°
在△ACD 与△CBE 中，
AC=CB ，∠A=∠BCE ，AD=CE
∴△ACD ≌△CBE （SAS ），
∴CD=BE，即CD和BE始终相等；
（2）证明：根据题意得：CE=AD，
∵AB=AC，
∴AE=BD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠BAC=∠ACB=60°，
∵∠EAB+∠ABC=180°，∠DBC+∠ABC=180°，
∴∠EAB=∠DBC，
在△BCD和△ABE中，
BC=AB，∠DBC=∠EAB，BD=AE
∴△BCD≌△ABE（SAS），
∴∠BCD=∠ABE
∴∠DQB=∠BCQ+∠CBQ=∠ABE+∠CBQ=180°-∠ABC=180°-60°=120°，
∴∠CQE=180°-∠DQB=60°，即CQE=60°；
（3）解：爬行过程中，DF始终等于EF是正确的，理由如下：
如图，过点D作DG∥BC交AC于点G，
∴∠ADG=∠B=∠AGD=60°，∠GDF=∠E，
∴△ADG为等边三角形，
∴AD=DG=CE，
在△DGF和△ECF中，
∠GFD=∠CFE，∠GDF=∠E，DG=EC
∴△DGF≌△EDF（AAS），
∴DF=EF.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质；题弄懂题中所给的信息，再根据所提供的思路寻找证明条件是解答本题的关键．
11．（1）见解析（2）（4，2）（3）（6，0）
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠ACB=∠ADC，再判断出∠CAD=∠BCE，进而判断出△ACD≌△CBE，即可得出结论；
（2）先判断出MF=NG，OF=MG，进而得出MF=1，OF=3，即可求出FG=MF+MG=1+3=4，即可得出结论；
（3）先求出OP=3，由y=0得x=1，进而得出Q（1，0），OQ=1，再判断出PQ=SQ，即可
判断出OH=4，SH=0Q=1，进而求出直线PR的解析式，即可得出结论.
【详解】
证明：∵∠ACB＝90°，AD⊥l
∴∠ACB＝∠ADC
∵∠ACE＝∠ADC+∠CAD，∠ACE＝∠ACB+∠BCE
∴∠CAD＝∠BCE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC
∴△ACD≌△CBE，
∴AD＝CE，CD＝BE，
（2）解：如图2，过点M作MF⊥y轴，垂足为F，过点N作NG⊥MF，交FM的延长线于G，
由已知得OM＝ON，且∠OMN＝90°
∴由（1）得MF＝NG，OF＝MG，
∵M（1，3）
∴MF＝1，OF＝3
∴MG＝3，NG＝1
∴FG＝MF+MG＝1+3＝4，
∴OF﹣NG＝3﹣1＝2，
∴点N的坐标为（4，2），
（3）如图3，过点Q作QS⊥PQ，交PR于S，过点S作SH⊥x轴于H，
对于直线y＝﹣3x+3，由x＝0得y＝3
∴P（0，3），
∴OP＝3
由y＝0得x＝1，
∴Q（1，0），OQ＝1，
∵∠QPR＝45°
∴∠PSQ＝45°＝∠QPS
∴PQ＝SQ
∴由（1）得SH＝OQ，QH＝OP
∴OH＝OQ+QH＝OQ+OP＝3+1＝4，SH＝OQ＝1∴S（4，1），
设直线PR为y＝kx+b，则
3
41
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
k
2
b3
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
∴直线PR为y＝﹣1
2
x+3
由y＝0得，x＝6
∴R（6，0）．
【点睛】
本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键.
12．(1)150°；(2)∠1＋∠2＝90°＋α；(3)∠1＝90°＋∠2＋α，理由详见解析；(4)∠2＝90°＋∠1－α，理由详见解析
【解析】
【分析】
(1)先用平角的得出，∠CDP=180°-∠1，∠CEP=180°-∠2，最后用四边形的内角和即可；
(2)同(1)方法即可；
(3)利用平角的定义和三角形的内角和即可得出结论；
(4)利用三角形的内角和和外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：(1) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α=90°+60°=150°，
故答案为：150；
(2) ∵∠1+∠CDP=180°，
∴∠CDP=180°-∠1，
同理：∠CEP=180°-∠2，
根据四边形的内角和定理得，∠CDP+∠DPE+∠CEP+∠C=360°，
∵∠C=90°，
∴180°-∠1+α+180°-∠2+90°=360°，
∴∠1+∠2=90°+α，
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
(3)∠1＝90°＋∠2＋∠α．理由如下：如图3，
设DP与BE的交点为F，
∵∠2＋∠α＝∠DFE，∠DFE＋∠C＝∠1，
∴∠1＝∠C＋∠2＋∠α＝90°＋∠2＋∠α．
(4)∠2＝90°＋∠1－∠α，理由如下：如图4，
设PE与AC的交点为G，
∵∠PGD＝∠EGC，
∴∠α＋180°－∠1＝∠C＋180°－∠2，
∴∠2＝90°＋∠1－∠α．
故答案为∠2＝90°＋∠1－∠α．
【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了四边形的内角和，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，解本题的关键是将∠1，∠2，α转化到一个三角形或四边形中，是一道比较简单的中考常考题．
13．（1）证明见解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）B(1，4)
【解析】
【分析】
（1）证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；
（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE，证明△ABD≌△CAE，根据全等三角形的性质得到AE=BD，AD=CE，结合图形解答即可；
（3）根据△AEC≌△CFB，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答．【详解】
（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°
∵∠BAC＝90°
∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°
∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°
∴∠CAE ＝∠ABD
∵在△ADB 和△CEA 中
ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CEA （AAS ）
∴AE ＝BD ，AD ＝CE
∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE
即：DE ＝BD ＋CE
（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE
理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ，
∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）
∴AE=BD ，AD=CE ，
∴DE=AD+AE=BD+CE ；
（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ，
由（1）可知，△AEC ≌△CFB ，
∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，
∴OF=CF-OC=1，
∴点B 的坐标为B （1，4）．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
14．（1）90︒；（2）12K K ∠∠=，证明见解析；（3）111902n n K ∠++=⨯︒
【解析】
【分析】
（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，证出//AB CD ∥KG ，得到BEK EKG ∠∠=，GKF KFD ∠∠=，根据角平分线的性质及平行线的性质得到
()2180BEK DFK ∠∠+=，即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质得到1112BEK KEK KEB ∠∠∠==，111
2
KFK DFK DFK ∠∠∠==，根据90BEK KFD ∠∠+=求出1145KEK KFK ∠∠+=，根据
()()111180K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠=-+-+求出答案；
（3）根据（2）得到规律解答即可.
【详解】
（1） 过 K 作KG ∥AB ，交 EF 于 G ，
∵//AB CD ，
∴//AB CD ∥KG ，
BEK EKG ∠∠∴=，GKF KFD ∠∠=，
EK ，FK 分别为BEF ∠与EFD ∠的平分线， BEK FEK ∠∠∴=，EFK DFK ∠∠=，
∵//AB CD ，
180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠∴+++=，
()2180BEK DFK ∠∠∴+=，
90BEK DFK ∠∠∴+=，则 90EKF EKG GKF ∠∠∠=+=；
（2） 12K K ∠∠=，
理由为：
BEK ∠，DFK ∠的平分线相交于点1K ，
1112BEK KEK KEB ∠∠∠∴==，1112
KFK DFK DFK ∠∠∠==， 180BEK FEK EFK DFK ∠∠∠∠+++=，即 ()2180BEK KFD ∠∠+=， 90BEK KFD ∠∠∴+=，
1145KEK KFK ∠∠∴+=，
()()11118045K KEF EFK KEK KFK ∠∠∠∠∠∴=-+-+=，
12K K ∠∠∴=；
（3）由（2）知90K ∠=；
1119022K K ∠∠==⨯
同理可得2112K K ∠∠==14K ∠1904=⨯， ∴111902n n K ∠++=⨯. 【点睛】
此题考查平行线的性质：两直线平行，内错角相等；平行公理的推论：平行于同一直线的两直线平行；角平分线的性质；(3)是难点，注意总结前两问的做题思路得到规律进行解答.
15．（1）
1111,451n n --+；（2）n n 1+；（3）见解析． 【解析】
【分析】
（1）根据简单的分式可得，相邻两个数的积的倒数等于它们的倒数之差，即可得到145⨯和1(1)
n n ⨯+ （2）根据（1）规律将乘法写成减法的形式，可以观察出前一项的减数等于后一项的被减数，因此可得它们的和.
（3）首先利用（2）的和的结果将左边化简，再利用分式方程的解法求解即可.
【详解】
解：（1）1114545
=-⨯， 111(1)1n n n n =-++ ； 故答案为1111,451
n n --+ （2）原式＝111111111+122334111n n n n n --+-++-=-=+++ ; （3）已知等式整理得： 1111112111245(5)
x x x x x x x x x --+-++-=++++++ 所以，原方程即： 11215(5)
x x x x x --=++ ， 方程的两边同乘x （x +5），得：x +5﹣x ＝2x ﹣1，
解得：x ＝3，
检验：把x ＝3代入x （x +5）＝24≠0，
∴原方程的解为：x ＝3．
【点睛】
本题主要考查学生的归纳总结能力，关键在于根据简单的数的运算寻找规律,是考试的热点.
16．（1）①25°；②12α ；（2）6045︒︒或．
【解析】
【分析】
（1）①利用外角和性质∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠OCD ＝∠BOC ＋∠OBC ，再利用角平分线的定义进行等量代换即可；
②与①同理可得；
（2）根据题意分情况进行讨论，用到（1）的结论计算即可
【详解】
（1）①∠ACD ＝∠ABC ＋∠A ，∠OCD ＝∠BOC ＋∠OBC ，
∵OB 、OC 分别平分∠ABC 、∠ACD ，
∴∠ACD ＝2∠OCD ，∠ABC ＝2∠OBC ，
∴2∠OCD ＝2∠OBC ＋∠A ，
∴∠A ＝2∠BOC ，
∵∠A ＝50°，
∴∠BOC ＝12
∠A ＝25°， 故填：25°；
②A ABC ACD ∠+∠=∠，且A α∠=
ACD ABC A α∴∠-∠=∠=
BO 平分,ABC CO ∠平分ACD ∠
11,22
OBC ABC OCD ACD ∴∠=∠∠=∠ BOC OBC OCD ∠+∠=∠
()111222
ACD ABC ACD ABC ∴∠-∠=∠-∠ 1122
A α=∠=
（2）,BAO OAG ∠∠的角平分线与BOQ ∠的角平分线所在的直线相交于,E F ， EAF EAO FAO ∴∠=∠+∠ ()1902
BAO GAO ︒=∠+∠= 符合题意的情况有两种：
①130,3
E EA
F ︒∠=∠= 根据（1）可知：260ABO E ︒∠=∠= ②13E F ∠=
∠ 22.5E ︒∴∠=
根据（1）可知：245ABO E ︒∴∠=∠=
【点睛】
本题考查三角形外角和的性质、角平分线的定义，利用分类讨论的数学思想是关键．
17．（1）①70；②∠F =
12
∠BED ，证明见解析；（2）2∠F+∠BED =360°；（3）3045α︒≤<︒ 【解析】
【分析】
（1）①过F 作FG//AB ，利用平行线的判定和性质定理得到
∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，利用角平分线的定义得到
∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ），求得∠ABF+∠CDF=70︒，即可求解； ②分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，利用平行线的判定和性质得到∠BED=∠ABE+∠CDE ，利用角平分线的定义得到∠BED=2（∠ABF+∠CDF ），同理得到∠F=∠ABF+∠CDF ，即可求解；
（2）根据∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线相交于点F ，过点E 作EG ∥AB ，则
∠BEG+∠ABE=180°，因为AB ∥CD ，EG ∥AB ，所以CD ∥EG ，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合①的结论即可说明∠BED 与∠BFD 之间的数量关系；
（3）通过对1452
E F ∠≥∠+︒的计算求得30α≥︒，利用角平分线的定义以及三角形外角的性质求得45α<︒，即可求得3045α︒≤<︒．
【详解】
（1）①过F 作FG//AB ，如图：
∵AB ∥CD ，FG ∥AB ，
∴CD ∥FG ，
∴∠ABF=∠BFG ，∠CDF=∠DFG ，
∴∠DFB=∠DFG+∠BFG=∠CDF+∠ABF ，
∵BF 平分∠ABE ，
∴∠ABE=2∠ABF ，
∵DF 平分∠CDE ，
∴∠CDE=2∠CDF ，
∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF ）=60︒+80︒=140︒，
∴∠ABF+∠CDF=70︒，
∴∠DFB=∠ABF+∠CDF=70︒，
故答案为：70；
②∠F=12
∠BED ， 理由是：分别过E 、F 作EN//AB ，FM//AB ，
∵EN//AB ，∴∠BEN=∠ABE ，∠DEN=∠CDE ，
∴∠BED=∠ABE+∠CDE ，
∵DF 、BF 分别是∠CDE 的角平分线与∠ABE 的角平分线，
∴∠ABE=2∠ABF ，∠CDE=2∠CDF ，
即∠BED=2（∠ABF+∠CDF ）；
同理，由FM//AB ，可得∠F=∠ABF+∠CDF ，
∴∠F=12
∠BED ； （3）2∠F+∠BED=360°．。