高中数学必修五1.1.2余弦定理(共2个课时)

C.无实数根
D.有两个相等的实数根
(b2 c2 a2 )2 4b2c2
(2bccos A)2 4b2c2 4b2c2 (cos2 A 1)
cos A(1,1),cos2 A 1, 0.
余弦定理进行边角互化 判断三角形的形状
(3)P10B 2.若a cos A bcos B,判断ABC的形状. (4)若c a cos B (2a b)cos A,判断ABC的形状.
即a2 c2 b2 2bccos A
同理可证b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2abcosC
余弦定理P6
三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去 这两边与它们的夹角余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
运用： 知两边及其夹角，求第三边。
推论：cos A b2 c2 a2 cos B a2 c2 b2
2bc
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
运用： 知三边(或其比例)，求三个角。
勾股定理指出了直角三角形三边的平方关系，余弦 定理指出了一般三角形三边的关系，两者之间有联 系吗？
(3)若a cos B a cosC b c,判断ABC的形状. 正弦定理进行边角互化判断三角形的形状
[例3]ABC的三边长分别为4,6,8, 判断其形状.
解析: 设a 4,b 6,c 8.
则cosC a2 b2 c2 16 36 64 0
2ab
48
C是钝角,ABC是钝角三角形.
10
25 10
由正弦定理得 a 5 , 解得a 4或5. sin A sin B
解 :由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC,
即5 a2 25 9a, 即a2 9a 20 0, 解得a 4或5.
Fighting
1.1.2余弦定理2
2018.9
余弦定理P6
a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accosB c2 a2 b2 2abcosC
2
B 60
∴ C 180 A B 180 60 45 75
[变式]ABC中,a : b : c 2 : 6 : ( 3 1), 求其各角度数..
解 : 设a 2k,b 6k, c ( 3 1)k, 注：利用余弦定
理推论求角时，
cosA ,a .;cosB ,b 只需. 知道三边的
方法总结: 求最长边所对角的余弦值,与0比较.
设c为最长边(C为最大角), 则cosC a2 b2 c2 2ab
①a2 b2 c2时, cosC 0,C为锐角
②a2 b2 c2时, cosC 0,C为直角
③a2 b2 c2时, cosC 0,C为钝角
[变式1]锐角三角形的三边长分别为2,4, x,求x的范围.
即a2 9 12 12 3 3 3, a 3.
2
cos B a2 c2 b2 1 , B 60, C 90.
2ac
2
或 由正弦定理得sin B bsin A 3 ,B 60或120.
a
2
①当B 60时,C 90,符合b c.
②当B 120时,C 30,不符合b c.
用思余考弦：定在理解求三角角时形，的运过算程量中较，大求，某但一角个与角余有弦时值既是可一以一用对余应弦的定， 无理须，讨也论可；以而用用正正弦弦定定理理，求两角种时方，案运有算什量么较利小弊，呢但？由于在(0，π) 上角与正弦值不是一一对应的，一般情况下一个正弦值可对应 两个角，往往要依据角的范围讨论解的情况．
c
2bc
c
即b2 a2 c2.ABC是直角三角形.
课后思考题
(1)ABC中,若a2 b2 mc 2 0(m为常数), 且
cosA cosB cosC ,则m ____. sin A sin B sinC (2)等腰三角形ABC中, BD是腰AC上的中线,且BD 2,
则ABC的面积的最大值是________.
余弦定理
知a,b,c (余)cos A,cos B A, B (内)C 知两边和其中一边的对角 正弦定理或余弦定理
知a,b, A (正)sin B B (内)C (正)c (余)c
知a,b, A (余)关于c的方程求c (余)cosB B (内)C
Fighting!
2bc
3a2 3a2 a2 44 2 3a 3a
1 3
22
[练习2]ABC中,若b 5,c 5,cosC 9 ,求a.
10
解 : cosC 9 , sin C 19 ,
10
10
由正弦定理得 5 sin B
5 sin C
,
解得sin
B
95 . 10
cos B 5 . sin A sin(B C) 2 95 或 95
运用： 知两边及其夹角，求第三边。
推论：cos A b2 c2 a2 cos B a2 c2 b2
2bc
2ac
cos C a2 b2 c2 2ab
运用： 知三边，求三个角。
[例1]ABC中,b 3,c 2 3, A 30,解三角形.
解 :由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos A
C 180 A B
比例关系即可，
不需知道具体边
[练习1]ABC中,若B C,2b 3a,求cos A.
解 :由题意得b c,a 2 b.
3
由余弦定理得cos A b2 c2 a2 2bc
b2 b2 4 b2
3 2b2
1 3
解 :由题意得b c 3 a.
2 由余弦定理得cos A b2 c2 a2
(法二)由余弦定理得a 2b a2 b2 c2 , 2ab
化简得b2 c2 0,b c.
[变式]若cos2 A b c , 判断ABC的形状.
2 2c
依题意得1 cosA b c , cosA b .
2
2c
2 2c
cos A b , 由余弦定理得b2 c2 a2 b .
[例4]若ABC满足a 2b cosC,则此三角形一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等腰或直角三角形
(法一)由正弦定理得sin A 2sin B cosC, 即sin(B C) 2sin B cosC, 化简得sin C cos B sin B cosC, 即sin(B C) 0, B C.
(3)ABC中,BAC 30, AB 3 3, AC 3,点D
在BC边上,且理和余弦定理的运用
知两角一边
正弦定理
知a, B,C (内) A (正)b,c
知两边和夹角
正弦定理和余弦定理
知a,b,C (余)c (正)小边所对的角 (内)另一角
知三边
[例2]ABC中,a 2,b 6,c 3 1,解三角形.
解：由余弦定理得
cosA b2 c2 a2
2
6 (
3 1)2 22
2 A 45
2bc
2 6 ( 3 1)
2
cosB a2 c2 b2 22 ( 3 1)2
2
6 1
2ac
2 2 ( 3 1)
在直角三角形中,有c2 a2 b2 (c为斜边长)
C 90 在任意三角形中有c2 a2 b2 2abcosC
余弦定理是勾股定理的推广； 勾股定理是余弦定理的特例。
[练习1]ABC中,a,b是方程x2 5x 2 0的两根,
C 60,求c. 解 : 依题意的a b 5,ab 2. 由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC
a2 b2 ab (a b)2 3ab 25 6 19 c 19
a,b 5 17 代入c2 a2 b2 2abcosC 2
[练习2]a,b,c是ABC的内角A, B,C的对边,则关于x
的方程b2 x2 (b2 c2 a2 )x c2 0( )
A.有两个正数根 B.有两个负数根
1.1.2余弦定理1
C b
A
C b
A
c
c
已知两角一边 已知两边及其中一边的对角
正弦定理求其他 B 已知两边及其夹角
B
已知边长b,c和角A,如何求第三边a ?
C
a b
A
c
证明: 设 AC c, AB b,
则a BC AC AB c b,
2
a
(c
b)2
B
2
2
c b 2b c
解析: 设a 2,b 4,c x ,且x 0. 最长边为4或x.
由cos B 22 x2 42 x2 12 0得x 2 3.
4x
4x
由cosC 22 42 x2 20 x2 0得0 x 2 5.
16
16
又∵三边满足2 x 6. 综上,2 3 x 2 5.
[变式2]钝角三角形的三边a k,b k 2, c k 4, 求k的范围. 答案: 2 k 6