四川成都七中2019届高三文科数学下学期入学考试试卷(解析版)

四川成都七中2019届高三文科数学下学期入学考试试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知i是虚数单位，若2+i=z（1-i），则z的共轭复数z−对应的点在复平面的（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.设集合A={y|y=3x，x∈R}，B={y|y=√4−x2，x∈R}，则A∩B=（）
A. [0,2]
B. (0,+∞)
C. (0,2]
D. [0,2)
3.函数f（x）=e|x|
的大致图象是（）
x2−3
A. B.
C. D.
4.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）
5.已知等边△ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD
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A. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗
+1
6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43BA ⃗⃗⃗⃗⃗
−1
6BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +5
6
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗
+1
3BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）
A. 8−2π
3 B. 8−2π C. 8−8
3π D. 8−8π
7. 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，1
2）内恒有f （x ）＞0，则
f （x ）的单调递增区间为（ ）
A. (−∞,1
4)
B. (−1
4,+∞)
C. (0,+∞)
D. (−∞,−1
2)
8. 如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，
这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A. 9−√3π
18 B. 9−4√3π18 C. 9−√3π
27 D. 9−4√3π27
9. 如图，点A 为双曲线x 2a
2-y 2
b
2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点，
P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B ，若A 为线
段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为（ ）
A. √2
B. √3
C. 2
D. √5
10. 已知cos （3π
2-α）=2sin （α+π
3），则tan （α+π
6）=（ ）
A. −√33
B. −√39
C. √33
D. √39
11.如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=√2，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直
AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，则x的取值范围是（）
A. (1,√2)
B. (√2
2,1) C. (1
2
,√2) D. (0,1)
12.设M，N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜
率之积为-1
2
，则（）
A. |OM|+|ON|≥4√2
B. MN为直径的圆的面积大于4π
C. 直线MN过抛物线y2=x的焦点
D. O到直线MN的距离不大于2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设x，y满足约束条件{x−2y+3≥0
x−y+1≥0
y≥1
，则z=-3x+4y的最大值为______．
14.在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相
切的所有圆中，半径最大的圆截y轴所得弦长为______．
15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的
一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即
S=√1
4[c2a2−(c2+a2−b2
2
)2]，已知△ABC满足（sin A-sin B）（sin A+sin B）=sin A sin C-sin2C，
且AB=2BC=2√2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为______．
16.已知函数f(x)={x−2lnx,x>e
−x2+6x+e2−5e−2,x≤e（其中e为自然对数的底数，且e≈2.718）若f （6-a2）＞f（a），则实数a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，数列{b n}的前n项
和为S n，b1=1，b n≠0，b n b n+1=4S n-1．
（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．
18.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳
入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级
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学生中抽取100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占5
6，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．
（Ⅰ）试完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴
趣与性别有关”？
有兴趣 没兴趣 合计
男生 女生 合计
（Ⅱ）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率． K 2
=
n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，
AB ⊥PC ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且PC =BC =2AD =2CD =2√2，PA =2． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得BM ∥平面
AMC ，求PM
PD 的值．
20. 已知椭圆Γ：x 2a
2+y 2
b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），上顶点为A ．过F 且垂
直于x 轴的直线l 交椭圆F 于B 、C 两点，若S △FOA S
△COB =√2
2
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线1和直线x =2于M 、N 两点，试求|MF|
|NF|的值
21. 已知a ∈R ，函数f （x ）=x -ae x +1有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）．
（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：e x 1+e x 2＞2．
22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−1
2
t
y =2+√3
2t
（t 为参数），以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点M （0，2），曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|MA |•|MB |的值．
23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|x -2|．
（1）画出函数f （x ）的图象；
（2）若关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，求实数m 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：由2+i=z（1-i），得z=，
∴，
则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．
故选：D．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：由y=3x，x∈R，
得y＞0，即A=（0，+∞），
由y=，x∈R，
得：0≤y≤2，即B=[0，2]，
即A∩B=（0，2]，
故选：C．
分别求y=3x，x∈R，y=，x∈R的值域，得：A=（0，+∞），B=[0，2]，再求交集即可．
本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题．
3.【答案】A
【解析】
解：f（-x）===f（x），
则函数f（x）为偶函数，故排除CD，
当x=1时，f（1）=＜0，故排除B，
故选：A．
先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断
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本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题
4.【答案】C
【解析】
解：由题意，模拟执行程序框图，可得
S=0，k=1
满足条件S＞-1，S=lg，k=3
满足条件S＞-1，S=lg+lg，k=5
满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg，k=7
满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg，k=9
满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg+lg=lg（××××）=lg
=-lg11，k=11
不满足条件S＞-1，退出循环，输出k的值为11．
故选：C．
由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
5.【答案】A
【解析】
解：如图所示
设BC中点为E，则
=+=+=+（+）=-
+•=+．
故选：A．
根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、
的表达式即可．
本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．
6.【答案】A
【解析】
解：根据几何体的三视图：
该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．
所以：v=，
=．
故选：A．
直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．
本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
7.【答案】D
【解析】
解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），
∴0＜a＜1，
∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．
t=2x2+x＞0的单调递减区间为（-∞，-），
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-），
故选：D．
先求出2x2+x，（0，）的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．
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本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．
8.【答案】C
【解析】
解：如图所示，边长为a的正六边形，则OA=OB=AB=a，
设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，
∴OC=a，
∴O'C=a，OO'=a，
∴OD=a，
∴S阴影=12[×a•a-π•（a）2]=（-）a2，
S正六边形=a2，
∴点恰好取自阴影部分的概率P===，
故选：C．
分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．
本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．
9.【答案】A
【解析】
解：由题意可得A（a，0），
A为线段OB的中点，可得B（2a，0），
令x=2a，代入双曲线的方程可得y=±b，
可设P（2a，-b），
由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（-a，0），
即|AP|=2a，即有2a=，
可得a=b，e===，
故选：A．
设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x=2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a=b，进而得到双曲线的离心率．
本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
10.【答案】B
【解析】
解：∵cos （-α）=2sin（α+），∴-sinα=2sinαcos +2cosαsin，则即-2sinα= cosα，
∴tanα=-，∴tan（α+）===-，
故选：B．
由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得tanα，再利用两角和正切公式求得结果．
本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题．
11.【答案】B
【解析】
解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB=，D
为直角边BC上的一点，
∴AC=BC=1，∠ACB=90°，
将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，
使得点C1在平面ABD外，
且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，
∴AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，
CH⊥平面ABC，
∴AH＜AC1=1，故排除选项A和选项C；
当CD=1时，B与D重合，AH=，
当CD＜1时，AH ＞=，
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∵D为直角边BC上的一点，
∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．
故选：B．
推导出AC=BC=1，∠ACB=90°，AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1=1，当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD ＜1时，AH＞=，由此能求出x的取值范围．
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】D
【解析】
解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，-y0），
由斜率之积为，可得，即，
∴MN的直线方程为x=2；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，
联立，可得ky2-y+m=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴，即m=-2k．
∴直线方程为y=kx-2k=k（x-2）．
则直线MN过定点（2，0）．
则O到直线MN的距离不大于2．
故选：D．
由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题．
13.【答案】5
【解析】
解：作出x，y满足约束条件
，所示的平面区域，如图：
作直线-3x+4y=0，然后把直线L向可行
域平移，结合图形可知，平移到点A时z
最大，
由可得A（1，2），此时z=5．
故答案为：5．
先画出约束条件的可行域，利用目标函数z=-3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．
本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何
意义．
14.【答案】2
【解析】
解：圆心到直线的距离d==
∴m=1时，圆的半径最大为，
∴所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2．
∴此时截y轴所得弦长为2
故答案为：2．
求出圆心到直线的距离d的最大值，求出所求圆的标准方程，即可求出半径
最大的圆截y轴所得弦长．
本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．
15.【答案】√3
【解析】
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解：∵AB=2BC=2，
∴由题意可得：c=2a=2，a=，
∵（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinAsinC-sin2C，
∴由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=ac-c2，可得：a2+c2-b2=ac，
∴S===ac==．
故答案为：．
由题意可得：c=2a=2，a=，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】-3＜a＜2
【解析】
解：∵
∴当x≤e时y=-（x-3）2+e2-5e+7∴x≤e时函数单调递增当x＞e时y'=1-＞0恒成立，故x＞e时函数单调递增，
∵f（e）=e-2=e-2lne∴函数在R上为增函数．
∴由f（6-a2）＞f（a）得6-a2＞a，
解得-3＜a＜2
故答案为-3＜a＜2
利用二次函数的单调性，及导数工具，先探讨函数的单调性，然后利用条件
列出不等式，即可解得a的范围．
本题考查了函数单调性的性质及利用导数研究函数的单调性，在探讨分段函数的性质时注意分段研究．本题是个中档题．
17.【答案】解：（1）设公比为q等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，首项为a1，则：a1q4⋅a1⋅q4=a1⋅q9，
解得：a1=q，
2（a n+a n+2）=5a n+1，
所以：2q2-5q+2=0，
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解得：q =2或1
2，
由于数列为单调递增数列， 故：q =2，
所以：a n =a 1⋅q n−1=2n ，
数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1=1，b n ≠0，b n b n +1=4S n -1①． 当n ≥2时，b n -1b n =4S n -1-1②， 整理得：b n -b n -1=2（常数），
对n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：b n =2n -1
故：c n =a n b n =（2n -1）•2n ，
则：T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n ①， 2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n+1②， ①-②得：-T n =2⋅
2(2n −1)2−1
−(2n −1)⋅2n+1−2，
解得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6． 【解析】
（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
18.【答案】解：（1）2×2列联表如下，依题意，男生60人，故女生有100-60=40人， 对游泳感兴趣的男生有60×5
6=50人，则对游泳不感兴趣的男生有60-50=10人， 对游泳不感兴趣的女生有15人，故对游泳感兴趣的女生有40-15=25人，
K 2=n(ad−bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=
100(50×15−25×10)2
75×25×40×60
≈5.556＜6.635，
故没有99%的把握认为对游泳是否有兴趣与性别有关
（Ⅱ）设A ={6人抽取3人，至少有2人对游泳感兴趣}，
则P （A ）=13C 32C
+C 33
C 63=1020=1
2．
【解析】
（Ⅰ）分别求出男女生感兴趣和不感兴趣的人数，填入表中即可．
（Ⅱ）6人中有3人对游泳感兴趣，三人不感兴趣，用计数原理算出所有的抽取
方法，计算出至少2人对游泳感兴趣的概率p 即可． 本题考查了独立性检验，古典概型的概率求法，属基础题．
19.
【答案】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，
且BC =2AD =2CD =2√2， ∴AB =AC =2，BC =2√2， ∴AB ⊥AC ，
又∵AB ⊥PC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，
∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，
∵PA =AC =2，PC =2√2， ∴PA ⊥AC ，
又∵PA ⊥AB ，AB ∩AC =A ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．
解：（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （-1，1，0），
设M （a ，b ，c ），PM
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0，1]， 则（a ，b ，c -2）=（-λ，λ，-2λ），∴M （-λ，λ，2-2λ），
BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ-2，λ，2-2λ），AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，λ，2-2λ），AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0）， 设平面AMC 的法向量n
⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λx +λy +(2−2λ)z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =（1，0，λ
2−2λ）， ∵BM ∥平面AMC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =-λ-2+（2-2λ）•
λ2−2λ
=0，方程无解，
∴在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ．
【解析】
（Ⅰ）推导出AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，从而AB ⊥平面PAC ，进而AB ⊥PA ，再求出PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．
（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ． 本题考查面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：（1）易知，|BC|=2b 2
a ，S △FOA
S △COB
=b
2b 2
a
=a
2b =
√2
2，
∴a =√2b ，c =√a 2−b 2=b ，
所以，b =1，a =√2，
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因此，椭圆Γ的方程为
x 22
+y 2=1；
（2）设直线m 与椭圆Γ的切点为点P （x 0，y 0），则直线m 的方程为x 0x 2
+y 0y =1，且
有
x 0
22
+y 02=1，可得y 02=1−
x 0
22
，
直线m 与直线l ：x =1交于点M(1，2−x 02y 0
)，直线m 交直线x =2于点N(2，
1−x 0y 0
)．
所以，|MF|=|
2−x 02y 0
|，|NF|=√(2−
1)2+(1−x
0y 0
)2=√1+x 02−2x 0
+1y 0
2=√
x 02−2x 0
+1+1−x 0
22
y 0
2=
√
x 022
−2x 0+2
y 0
2=√
12(x 0
2
−4x 0+4)y 0
2=
√2
2
⋅|
2−x 0y 0
|，
因此，|MF|
|NF|=|
2−x 0
y 0|√22|2−x 0y 0
|=√2．
【解析】
（1）由通径公式得出
，结合已知条件得出
，再由c=1，可求出
a 、
b 的值，从而得出椭圆的方程；
（2）设切点为（x 0，y 0），从而可写出切线m 的方程为
，进而求出点
M 、N 的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x 0与y 0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．
本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 21.【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=1-ae x ，
①a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上递增，不合题意，舍去，
②当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜-ln a ；令f ′（x ）＜0，解得x ＞-ln a ； 故f （x ）在（-∞，-ln a ）单调递增，在（-ln a ，+∞）上单调递减，
由函数y =f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），其必要条件为：a ＞0且f （-ln a ）=-ln a ＞0，即0＜a ＜1，
此时，-1＜-ln a ＜2-2ln a ，且f （-1）=-1-a
e +1=-a
e ＜0，
令F （a ）=f （2-2ln a ）=2-2ln a -e 2
a
+1=3-2ln a -e 2a
，（0＜a ＜1），
则F ′（a ）=-2a +e 2a
2=
e 2−2a
a 2
＞0，F （a ）在（0，1）上单调递增，
所以，F （a ）＜F （1）=3-e 2＜0，即f （2-2ln a ）＜0， 故a 的取值范围是（0，1）． （Ⅱ）令f （x ）=0⇒a =x+1
e x ，
令g （x ）=x+1
e x ，g ′（x ）=-xe -x ，则g （x ）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，
由（Ⅰ）知0＜a ＜1，故有-1＜x 1＜0＜x 2， 令h （x ）=g （-x ）-g （x ），（-1＜x ＜0），
h （x ）=（1-x ）e x -（1+x ）e -x ，（-1＜x ＜0），h ′（x ）=-xe x +xe -x =x （e -x -e x ）＜0， 所以，h （x ）在（-1，0）单调递减，故h （x ）＞h （0）=0， 故当-1＜x ＜0时，g （-x ）-g （x ）＞0，
所以g （-x 1）＞g （x 1），而g （x 1）=g （x 2）=a ，故g （-x 1）＞g （x 2）， 又g （x ）在（0，+∞）单调递减，-x 1＞0，x 2＞0， 所以-x 1＜x 2，即x 1+x 2＞0， 故e
x 1+e
x 2≥2
√e x 1+x 2=2e
x 1+x 22
＞2．
【解析】
（Ⅰ）利用导数研究单调性得f （x ） 的最大值为f （-lna ）＞0解得a 即可； （Ⅱ）先通过构造函数证明x 1+x 2＞0，在用基本不等式可证． 本题考查了函数零点的判定定理，属难题．
22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =−1
2t
y =2+√3
2t （t 为参数）， 由代入法消去参数t ，可得曲线C 1的普通方程为y =-√3x +2； 曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， 得ρ2=4
1+3sin 2θ，即为ρ2+3ρ2sin 2θ=4， 整理可得曲线C 2的直角坐标方程为x 2
4+y 2=1；
（Ⅱ）将{x =−1
2t
y =2+√3
2t （t 为参数）， 代入曲线C 2的直角坐标方程x 2
4+y 2=1得
13t 2+32√3t +48=0，
利用韦达定理可得t 1•t 2=48
13， 所以|MA |•|MB |=48
13． 【解析】
（Ⅰ）运用代入法，消去t ，可得曲线C 1的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；
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（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积．
本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题． 23.【答案】解：（1）f （x ）=|2x +1|-|x -2|
={
−x −3，x ≤−1
23x −1，−12＜x ＜2x +3，x ≥2，
画出y =f （x ）的图象，如右图：
（2）关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，
即为2m +1≥f （x ）-x ， 由x ≥2时，y =f （x ）-x =3；
当-1
2＜x ＜2时，y =f （x ）-x =2x -1∈（-2，3）；
当x ≤-12时，y =f （x ）-x =-2x -3∈[-2，+∞）， 可得y =f （x ）-x 的最小值为-2， 则2m +1≥-2， 解得m ≥-32． 【解析】
（1）写出f （x ）的分段函数式，画出图象；
（2）由题意可得2m+1≥f （x ）-x 的最小值，对x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。