2015年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2文科数学

一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =U （ ） A ．()1,3- B ．()1,0- C ．()0,2 D ．()2,3 【答案】A 考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且
2i
3i 1i
a +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.
3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）
A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显着
B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
考点：柱形图
4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C. 考点：向量数量积.
5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】
试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()
15535552
a a S a +=
==.故选A. 考点：等差数列
6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
【解析】
试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的1
6
,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15
,故选D.
考点：三视图
7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C ,则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ） 【答案】B
考
点：直线与圆的方程.
8. 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ） 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图.
9．已知等比数列{}n a 满足114
a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）
【解析】
试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以3
4182a q q a ==⇒= ,故211
2a a q ==
,选C.
考点：等比数列.
10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥
ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）
A.π36
B. π64
C.π144
D. π256 【答案】C
考点：球与几
何体的切接.
11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记
BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B 考点：函数图像
12. 设函数2
1
()ln(1||)1f x x x =+-
+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1
,13⎛⎫ ⎪⎝
⎭
B ．()1
,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
U C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝
⎭
D ．11
,,33
⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭
U 【答案】A 【解析】
试题分析：由2
1
()ln(1||)1f x x x
=+-
+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()1
21212113
f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔
<< .故选A. 考点：函数性质
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分
13. 已知函数()32f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ． 【答案】-2 【解析】
试题分析：由()32f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=⇒=- . 考点：函数解析式
14. 若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪-+≤⎩
,则z =2x +y 的最大值为 ．
【答案】8
考
点：线性规划
15. 已知双曲线过点(3,且渐近线方程为12
y x =±,则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】2
214
x y -=
考点：双曲线几何性质
16. 已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则
a = ．
【答案】8 【解析】
试题分析：由11y x
'=+可得曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线斜率为2,故切线方程为
21y x =-,与
()221y ax a x =+++ 联立得220ax ax ++=,显然0a ≠,所以由 2808a a a ∆=-=⇒=.
考点：导数的几何意义. 三、解答题
17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .
（I ）求
sin sin B
C
∠∠ ；
（II ）若60BAC ∠=o ,求B ∠. 【答案】（I ）12
；30o . 考点：解三角形
试题解析：（I ）由正弦定理得
,,sin sin sin sin AD BD AD DC
B BAD
C CAD
==∠∠∠∠ 因为AD 平分
∠BAC ,BD =2DC ,所以
sin 1
.sin 2
B D
C C B
D ∠==∠.
（II ）因为()180,60,C BAC B BAC ∠=-∠+∠∠=o o
所以()1
sin sin sin .2
C BAC B B B ∠=∠+∠=
∠+∠ 由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,
所以tan 30.
B B ∠=
∠=o
考点：解三角形
18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A ,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.
A 地区用户满意度评分的频率分布直方图
（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.（不要求计算出具体值,给出结论即可）
B 地区用户满意度评分的频率分布直方图
（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级： 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
【答案】（I ）见试题解析（II ）A 地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.
考点：
1.频率分布直方图；
2.概率估计.
19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值. 【答案】（I ）见试题解析（II ）9
7
或
79
考点：1.几何体中的截面问题；2.几何体的体积
20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 2
,点(2在
C 上.
（I ）求C 的方程；
（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
【答案】（I ）22
22184
x y +=（II ）见试题解析
考点：直线与椭圆
21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-. （I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当()f x 有最大值,且最大值大于22a -时,求a 的取值范围.
【答案】（I ）0a ≤,()f x 在()0,+∞是单调递增；0a >,()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递增,在1,a
⎛⎫
+∞ ⎪
⎝⎭
单调递减；（II ）()0,1. 【解析】
考点：导数的应用.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图O是等腰三角形AB C内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
（I）证明EF BC
P；
（II）若AG等于圆O半径,且23
AE MN
==求四边形EBCF的面积.
【答案】（I ）见试题解析；（II ）1633
考点：1.几何
证明；2.四边形面积的计算.
23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩ （t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O
为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
【答案】（I ）()330,0,2⎫⎪⎪⎭；（II ）4. 【解析】
试题分析：（I ）把2C 与3C 的方程化为直角坐标方程分别为
2220x y y +-=,22230x y +-=,联立解
考点：参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.
24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲
设,,,
+=+.证明：
a b c d均为正数,且a b c d
（I）若ab cd
> ,a b c d
+>
（II a b c d
-<-的充要条件.
+>是a b c d
【答案】
【解析】
试题分析：（I）由a b c d
>,可证明22
+=+及ab cd
>,开方即得
a b c d
+>（II）本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性a b c d
来证明.
试题解析：
解：（I ）因为()()222,2,a b a b ab c d c d cd +=+++=++
考点：不等式证明.
2020-2-8。