课件4：2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示~2.3.3 平面向量的坐标运算

课堂检测 1．向量正交分解中，两基底的夹角等于( ) A．45° B．90° C．180° D．不确定 【答案】B
2．向量O→A＝(x，y)，(O 为原点)的终点 A 位于第二象限，则有( )
A．x>0，y>0
B．x>0，y<0
C．x<0，y>0
D．x<0，y<0
【解析】∵O→A＝(x，y)，∴A(x，y)．
_差____
数乘
实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量 的__相__应__坐__标____
λa＝_(_λ_x_1，__λ_y_1_) _
向量 坐标公式
一个向量的坐标
等于表示此向量 的有向线段的终 点的坐标减去起
已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A→B＝_(x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1)_
3．向量与坐标的关系 设O→A＝xi＋yi，则向量O→A的坐标_(_x_，__y_) _就是终点 A 的坐标；反 过来，终点 A 的__坐__标___就是向量O→A的坐标(x，y)．因此，在平 面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一 表示．即以原点为起点的向量与实数对是___一__一__对__应_____的．
例 2.设向量 a、b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求 a＋b， a－b,3a,2a＋3b 的坐标． 解:a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)； a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)； 3a＝3(－1,2)＝(－3,6)； 2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5) ＝(－2,4)＋(9，－15) ＝(－2＋9,4－15) ＝(7，－11)．
例 3.已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且C→M＝3C→A，C→N＝ 2C→B，求 M、N 的坐标和M→N的坐标．
解:因为 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，所以C→A＝(1,8)，C→B ＝(6,3)．设 M(x，y)，则C→M＝(x＋3，y＋4)． 由C→M＝3C→A得(x＋3，y＋4)＝3(1,8)， 即xy＋＋34＝＝324 ，解得xy＝＝020 ，即 M(0,20)． 同理可得 N(9,2)．所以M→N＝(9，－18)．
4．平面向量的坐标运算
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R)，则有下表：
文字描述
符号表示
两个向量和的坐
加法
标分别等于这两 a＋b＝_(_x1_＋__x_2_，__y1_＋__y_2_) _
个向量相应坐标
的和
减法
两个向量差的坐标分别等 a－b＝
于这两个向量相应坐标的 __(x_1_－__x_2_，__y1_－__y_2_) __
又点 A 在第二象限，∴x<0，y>0.
【答案】C
3．如图所示，向量M→N的坐标是( )
A．(1,1) C．(2,3)
B．(－1，－2) D．(－2，－3)
【解析】由图知，M(1,1)，N(－1，－2)， 则M→N＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)． 【答案】D
4．已知平面向量 a＝(0,1)，b＝(－1,2)，则向量 2a－13b 等于( )
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
知识梳理 1．平面向量的正交分解 把一个平面向量分解为两个互相__垂__直____的向量，叫做平面向 量的正交分解．
2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向_相__同____ 的两个_单__位__向量 i，j 作为_基__底___． (2)坐标：对于平面内的一个向量 a，_有__且__只__有__一___对实数 x，y， 使得 a＝xi＋yj，我们把有序实数对_(_x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标， 记作 a＝(x，y)，其中 x 叫做向量 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做向 量 a 在 y 轴上的坐标． (3)坐标表示：a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示． (4)特殊向量的坐标：i＝_(_1_,0_)_，j＝_(0_,_1_)，0＝_(_0_,0_)_．

点的坐标
例 1.如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量 i、j 作为基底， 分别用 i、j 表示O→A、O→B、A→B，并求出它们的坐标．
解:O→A＝6i＋2j，O→B＝2i＋4j，A→B＝－4i＋2j， 它们的坐标表示为：O→A＝(6,2)，O→B＝(2,4)，A→B＝(－4,2)．
规律总结 向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标表 示后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使 许多几何问题的证明转化为数量运算．
A．(－13，43)
B．(13，－43)
C．(－13，－43)
D．(13，43)
【解析】2a－13b＝2(0,1)－13(－1,2)＝(0,2)－(－13，23)＝(13，43)．
【答案】D
5．已知 A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若 a＝O→A，O 为原点， 求 x，y 的值． 解:∵a＝O→A＝(2,0)． ∴xx＋－33＝y－25＝0 ，解得xy＝＝－－12 ， ∴x＝－1，y＝－2.