沪教版高三C专题(二轮复习-数形结合思想3星)

专题：数形结合思想(★★★)
教学目标
认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题
【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】
知识梳理7 min.
1、数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。

2、数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？
答：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
5．构建立体几何模型研究代数问题；
6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
7．构建方程模型，求根的个数；
8．研究图形的形状、位置关系、性质等。

【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】
典例精讲 30 min. 例1. （★★★） 已知函数()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时()f x 的图像如下图所示，那
么不等式()cos 0f x x ⋅<的解集是（ ）
.(3,)(0,1)(,3)22A ππ
-- .(,1)(0,1)(,3)22B ππ
-- .(3,1)(0,1)(1,3)C -- .(3,)(0,1)(1,3)2
D π-- 分析：函数()f x 定义在(3,3)-上，并且是奇函数，根据奇函数图像性质可知()f x 在(3,0)-上的图像如图所示，若使()cos 0f x x ⋅<，只需()f x 与cos x 异号，即图像应分别分布在x 轴上下两侧，由图可知，有三个部分符合条件，即(,1)(0,1)(,3)22ππ
--
【这个问题充分考察了函数的性质与数形结合思想的完美结合，注意作图的正确性】
例2. （★★）已知01a <<，则方程log x
a a x =的实根个数为（ ） .1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个
分析：判断方程的根的个数就是判断函数图像x
y a =与log a y x =的交点个数，画出两个函数的图像，易知两图像只有两个交点，故方程有两个实数根，选B
【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】
例3. （★★）如果实数,x y 满足22(2)3,x y -+=则y x 的最大值为（ ） 1.2A 3.B 3.C .3D 分析：等式22
(2)3,x y -+=有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为(2,0)，半径为3r =（如图），而00
y y x x -=-则表示圆上的点(,)x y 与坐标原点(0,0)的连线的斜率。

如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A 在以(2,0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA 的斜率的最大值，由图可见，当A ∠在第一象限，且与圆相切时，OA 的斜率最大，经简单计算，得最大值为tan 603=
【此题是一个典型的数形结合思想在解析几何问题中的应用，如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常用的有：
(1)(,),(,)b n a b m n a m
-↔-两点连线的斜率； 22(2)()()(,),(,)a m b n a b m n -+-↔两点之间的距离；
222(3),,a b c a b c +=↔为直角三角形的三边
对于这类问题一定要帮助学生回顾这些公式，并掌握如何使用】
例4. （★★）已知直线y x k =+与曲线2
1x y =-恰有一个公共点，求k 的取值范围。

分析：曲线21x y =-是单位圆221x y +=的右半圆(0)x ≥，k 是直线y x k =+在y 轴上的截距。

（如图）由数形结合易知：直线与曲线相切时，2k =-，由图形并结合题意可得：2k =-或11k -<≤
【求参数的取值范围问题一直是考试常考的题型，此类问题一定要注意图像画的要准确，同时要考虑的全面，注意极端位置的取舍】
例5. （★★★）方程223,log 3x x x x +=+=的实根分别为12,x x ，则12x x += 分析：本题直接求解不好求，
观察题目，联想原函数和反函数的图像性质进行数形结合，令12232,log ,3x y y x y x ===-
12,y y 互为反函数，其图像关于y x =对称，设
1122(,3),(,3)A x x B x x --
123x x ∴=-即123x x +=
【本题利用了原函数与反函数的图像和性质，在讲解过程中要帮助学生复习与之相关的一些性质】
例6. （★★★★）设12125,2,13z z z z ==-=，求12
z z 的值。

分析：设12,z OA z OD ==如图所示，则1252
z z =且 ()2
22521343cos ,sin ,25255
AOD AOD +-∠==∠=±⨯⨯ 所以125433()2255
2z i i z =±=±，即12322z i z =±
【本题把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义都表现了出来，讲解本题时一定要先和学生回顾复数的有关性质及几何意义】
课堂检测
1. （★★★）已知方程245x x m -+=有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围。

解：作出2()45f x x x =-+的图像，画直线y m =，由图像知当15m <<时，方程有4个不相等的实数根
2. （★★）方程lg sin x x =的根的个数（ ） .1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个
分析：分别作出两个函数图像，易知有3个交点
3. （★★）求函数sin 2cos 2
x y x +=-的值域。

分析：利用斜率公式转化成(2,2),(cos ,sin )x x -两点的斜率问题，作出图像易知：
474733k ⎡--+∈⎢⎣⎦
这就是函数的值域
4. （★★）函数y a x =与y x a =+的图像恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）
.(1,)A +∞ .(1,1)B - .(,1][1,)C -∞-⋃+∞ .(,1)(1,)D -∞-⋃+∞
分析： 画出||y a x y x a ==+与的图象
情形1：011
a a a >⎧⇒>⎨>⎩
情形2：011a a a <⎧⇒<-⎨<-⎩
5. （★★★）若复数2z =，则1z i +-的最大值为 分析：2z =表示以原点为圆心，以2为半径的圆，即满足2z =的复数Z 对应的点在圆O 上移动，（如下图）而1(1)z i z i +-=--+表示复数Z 与1i -+对应的两点的距离
22
6. （★★★）若直线y x m =-与曲线21y x =-有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是
分析：y x m =-表示倾斜角为45，纵截距为m -的直线方程，而21y x =-则表示以(0,0)为圆心，以1为半径的圆在x 轴上方的部分（包括圆与x 轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同的交点，只需直线的纵截距[1,2)m -∈，即(2,1]m ∈--
回顾总结
3 min.
(1)常见的应用数形结合思想的题目类型有哪些？
(2)在运用数形结合思想时我们需要注意的地方是？ 【答案：(1)函数图像的交点问题、方程的实数根的个数问题、求特定函数的值域的问题、一元二次方程根的分布问题、复数相关的求值问题等。

(2)准确画出满足题目条件的函数的图像是重中之中，同时还要注意特殊位置的取舍问题】。