高斯小学奥数五年级上册含答案_比较与估算

第二十六讲比较与估算
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
在前面的章节中，同学们已经对分数的计算有了一定的认识，也学习了很多比较分数大小的方法．今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例题1．
现有7个数，其中5个是3.14&&、137、11637、3.15&&、373273
．如果按照从小到大排列的第三个数是
11637
，那么位于最中间的数是多少？ 「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题，虽然其中有着两个数未知，但是我们还应该先比较已知数之间的大小关系，再利用其他条件来推理出题目的结果．
练习1． 有8个数，0.51&&、23、59、0.51&、2447、1325
是其中的6个．如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51&．那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数？
例题2． 在不等式
25334
<<□的方框中填入一个自然数，使得不等式成立． 「分析」分子相同，分母大的分数小．但分子不一样怎么比较大小呢？
练习2 在不等式257<□
的方框中填入一个自然数，使得不等式成立．那么方框中最大可以填多少？
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
- - - - - - - - - - - - - -
在算式的估算中，有一种方法比较常用，就是用非常接近的数来替换原来的数，这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值，但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符合题意．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例题3．
算式33.33333.333
⨯计算结果的整数部分是多少？
「分析」本题需要计算两个较复杂的数相乘，但是不要求计算出最后结果，只要求出结果的整数部分就可以了．我们可以从以下两个方面考虑：
（1）估算结果的大致情况，推出整数部分．
（2）计算出准确结果，确定整数部分．
那大家想一想应该怎么办？
练习3．
算式66.66666.666
⨯计算结果的整数部分是多少？
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
算式的缩放是估算问题中经常用到的方法．缩放的方法有很多．在放缩的时候要注意不可将范围放缩得过大，这样将无法起到放缩本来应该有的作用．
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
例题4．
算式2222
11121320
++++
L计算结果的整数部分是多少？
「分析」本题显然不能硬算，不然太麻烦．如果能将该算式稍加变形，使它不仅变得好算，还能确定大小范围，那就可以求出它的整数部分是多少了．
练习4．
算式3333
20212229
++++
L计算结果的整数部分是多少？
例题5．
求出
9999999999999999 10100100010000000000
++++
L的计算结果的整数部分．
「分析」同例题4，需要对算式稍作变形，加以放缩来确定大小范围，进而求出整数部分．
例题6．
（1）两个小数的整数部分分别是4和5，那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值？
（2）将两个小数四舍五入到个位后，所得到的数值分别是7和9．将这两个小数的乘积四舍五入到个位后共有多少种可能的取值？
「分析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围，那么乘积也一定有一个连续的取值范围．
等号与不等号的历史
一、等号，不等号
为了表示等量关系，用“＝”表示“相等”，这是大家最熟悉的一个符号了．
说来话长，在15、16世纪的数学书中，还用单词代表两个量的相等关系．例如在当时一些公式里，常常写着aequ或aequaliter这种单词，其含义是“相等”的意思．1557年，英国数学家列科尔德，在其论文《智慧的磨刀石》中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto（等于）这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段，意义更相同了．”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“＝”表示“相等”，“＝”叫做等号．
用“＝”替换了单词表示相等是数学上的一个进步．由于受当时历史条件的限制，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用．历史上也有人用其它符号表示过相等．例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中，曾用“∞”表示过“相等”．直到17世纪，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“＝”，由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认．
顺便提一下，“≠”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号．“≠”和“=”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a＋1≠a＋5．
二、大于号，小于号
现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系．我们知道，相等关系可以用“＝”表示，不等关系用什么符号来表示呢？
为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号，数学家们绞尽了脑汁．1629年，法国数学家日腊尔，在他的《代数教程》中，用象征的符号“ff”表示“大于”，用符号“§”表示“小于”．例如，A大于B记作：“A ff B”，A小于B记作“A§B”．1631年，英国数学家哈里奥特，首先创用符号“＞”表示“大于”，“＜”表示“小于”，这就是现在通用的大于号和小于号．例如5＞3，－2＜0，a＞b，m＜n．
与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号．例如，1631年，数学家奥乌列德曾采用“”代表“大于”；用“”代表“小于”．1634年，法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里，引用了很不简便的符号，表示不等关系，例如：a ＞b用符号“a3|2b”表示；b＜a用符号“b2|3a”表示．因为这些不等号书写起来十分繁琐，很快就被淘汰了．只有哈里奥特创用的“＞”和“＜”一直广为使用．
作业1. 下面的分数中，最大的是哪个？
311，29，625
作业2. 下面三个算式的结果中，最大的是哪个？最小的是哪个？
111129A =+，111327B =+，111426
C =+．
作业3. 算式22221351113151723
++++L 的整数部分是多少？
作业4. 6.66669.9999⨯的整数部分是多少？
作业5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8972⨯=，那么原算式结果的整数部分
有多少种可能？
第二十六讲 比较与估算
例题1. 答案：373273
详解：我们把所有的数化为小数后比较：3.14 3.1414=&&L ，13 3.14287=L ，116 3.135137
=L ，3.15 3.1515=&&L ，373 3.1355273=L ．经比较，有1163713 3.143 3.15372737<<<<&&&&．注意到11637是7个数中从小到大排列的第3个，说明另两个没有写出的数比11637小，为最小的两个数．那么可知7个数中位于中间的数是373
273．
例题2. 答案：7 详解：通分子，
30303045640<<⨯，所以45640>⨯>，只能填7．
例题3. 答案：1111 详解：我们发现33.33333比较接近33.3&，而133.3333
=&．因此我们可以尝试利用33.3&估算结果，再把小数化成分数计算：
1110010010000133.3333333.3333333331111333399
⨯≈⨯=⨯==．因此33.3333333.33333⨯计算结果的整数部分是1111．
例题4. 答案：1 详解：122221101051112132010
⨯>++++>⨯L ，结果介于1~2之间，所以整数部分是1．
例题5. 答案：9
详解：通过放缩可得：99999999999999999110101010010001000000000010
⨯>
++++>⨯L ，所以结果介于9到10之间，整数部分是9．
例题6. 答案：（1）10；（2）17
详解：（1）设两个小数分别为a 和b ，由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是4和5，所以考虑到小数点的情况，可得45a ≤<，56b ≤<．因此，我们得到
4520a b ⨯≥⨯=，5630a b ⨯<⨯=．
所以两个小数乘积的整数可取20到29之间的任何整数值，一共有10种可能的取值．
（2）设两个小数分别为a 和b ，由于两个小数四舍五入到个位后所得到的数值分别是7和9，所以考虑到小数点的情况，可得6.57.5a ≤<，8.59.5b ≤<．因此，我们得到6.58.555.25a b ⨯≥⨯=，9.57.571.25a b ⨯<⨯=．所以两个小数乘积的整数可取55到71之间的任何整数值，一共有17种可能的取值．
练习1.答案：0.51&
&
简答：已知的六个数从小到大的顺序是24
47
、0.51&、0.51&
&、13
25
、
5
9
、
2
3
．说明另外两个
不知道的数一定是最小的和第二小的，由此可知第四大的数是0.51&
&．练习2.答案：17
简答：通分子，得1010
352
<
⨯
，方框中最大可填17．
练习3.答案：4444
简答：
200
66.66666.66666.6664444.4
3
⨯≈⨯=，所以整数部分是4444．
练习4.答案：1
简答：30333333
1010 1.5
29292021222920
=⨯<++++<⨯=
L．可知整数部分是1．
作业1.答案：
3 11
简答：把分子都变成6．作业2.答案：A，C
简答：
40
1129
A=
⨯
，
40
1327
B=
⨯
，
40
1426
C=
⨯
．分子都是40，根据和同近积大，可知A
的分母最小，C的分母最大．作业3.答案：36
简答：1351136
++++=
L，22222
66 2313152313
⨯<+++<⨯
L，
即1222212
1
2313152313
<+++<<
L．可知原式的整数部分是36．
作业4.答案：66
简答：原式
20
9.999966.666
3
≈⨯=．整数部分是66．
作业5.答案：18
简答：设两个乘数分别为A和B，那么A在7.5与8.5之间，B在8.5与9.5之间．那么它们的乘积在63.75与80.75之间．整数部分可能是63~80，有18种可能．。