广东省韶关市田家炳中学2012届高三第二次阶段检测数学文试卷

韶关市田家炳中学2011—2012学年 第一学期高三年级文科数学第二次阶段考试卷 考试时间：2011年10月27日 命题人：文科备课组
本试卷共20小题,满分150分.考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小
题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项．
1．全集U={-3-2-10123456}，，，
，，，，，，， 集合{10123}A =-，，，，，{-23456}B =，，，，,则()U
C A B =
A ．{3}-
B ．{32}--，
C ．{-3-2-1012456}，，，，，，，，
D ．{3} 2．
600sin 的值是
A ．21
B ．
2
3
C ．21-
D ．2
3-
3．函数()1x
x f x a
a -=++，()x x g x a a -=-,其中01a a >≠，,则
A ．()()f x g x 、均为偶函数
B ．()()f x g x 、均为奇函数
C ．()f x 为偶函数 ，()g x 为奇函数
D ．()f x 为奇函数 ，()g x 为偶
函数
4. 函数()()02)1ln(>-+=x x
x x f 的零点所在的大致区间是
A ．()1,0
B ．()2,1
C ．()e ,2
D ．()4,3
5．若不等式x a -<1成立的充分条件为04<<x ，则实数a 的取值范围为
A 。

)3[∞+，
B 。

[)1，+∞ C.(]-∞，3 D 。

]1(，-∞ 6。

实数2
3.0=a ，3.0log
2
=b ，3
.02
=c 的大小关系正确的是
A ．c b a <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
7．若2cos sin 2cos sin =-+α
ααα，则=αtan
A ．1
B ． －1
C ．4
3 D ．3
4-
8．设函数
x x f x x x x x f 则实数成立若,1)(,1
,221,)1()(2>⎩⎨⎧->+-≤+=的取值范围是
A ．)2,(--∞
B ．),2
1(+∞-
C ．)21,2(--
D ．),2
1()2,(+∞---∞
9。

已知函数1
()x
f x a =，2
()a
f x x =，3
()log a
f x x =(其中0a >且1a ≠)，在同一坐标
系中画出其中两个函数在x ≥0且y ≥0的范围内的大致图象，其中正确的是
A
B
C
D
10．已知)(x f 为偶函数,且)2()2(x f x f -=+，当02≤≤-x 时，x
x f 2)(=；若
)(,*n f a N n n =∈，则=2009a
乡
村爱情
A 。

2009
B 。

—2009 C.2
1 D 。

41
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答题卡．．．的．相应位置上．．．．．.
11．函数)12
(log 2
-=x
y 的定义域是
12．函数x x y cos 3sin +
=在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最小值是
13．质量为10kg 的物体按2
()34
s t t
t =++m 的规律作直线运动 ，则物体在
运动4s 时的瞬时速度是 14．定义运算b *a 为:
⎩⎨
⎧>≤=)
b a (b )b a (a b *a ,例如1＊2=1，2*1=1,设函数
x cos *x sin )x (f =
则函数()x f 的最小正周期为_______,使()0>x f 成立的集合为_________________．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15。

（本小题满分12分）
如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限。

C 是圆与x 轴正
半轴的交点，A 点的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
△AOB 为正三角
形。

（Ⅰ）求sin COA ∠； （Ⅱ）求cos COB ∠。

16．（本小题满分12分）
已知集合{}2113x A x x -=≥+，{}ππsin ,
,,6
2B y y a a θθ⎡⎤==∈-∈⎢⎥⎣⎦
R。

(Ⅰ）求集合A 和B ； (Ⅱ）若A
B =∅
,且0>a 时，求a 的取值范围.
第15
17．(本小题满分14分）
已知二次函数()x f 满足(1)()2,f x f x x +-=且()10=f . （Ⅰ）求()x f 的解析式.
（Ⅱ)在区间[]1,1-上, ()x f 的图象恒在m x y +=2的图象上方 试确定实数
m 的范围.
18．（本小题满分14分） 已知函数3
2()3f x kx
kx b =-+,在[22]-，
上最小值为17-，最大值为3,求k b 、的值．
19。

（本小题满分14分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元,同时奖金不超过投资收益的20％。

（Ⅰ)若建立函数()x f 模型制定奖励方案,试用数学语言．．．．表述公司对奖励函数()x f 模型 的基本要求;
（Ⅱ)现有两个奖励函数模型：（1)2150
+=
x y ；
（2)3lg 4-=x y 。

试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
20．(本小题满分l4分） 已知函数()x bx ax
x f 323
-+=，在1±=x 处取得极值.
(Ⅰ）求函数()x f 的解析式；
(Ⅱ）求证：对于区间［－1，1]上任意两个自变量的值2
1
,x x ，都有
()()421≤-x f x f ;
（Ⅲ）若过点()()2,1-≠m m A 可作曲线()x f y -的三条切线，求实数m 的取值范围。

月考参考解答
一、
选择题：ADCBA CADBC
二、填空题：11、()+∞,0 12、1 13、25 m/s 14、π2 ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+22,2πππk k
三、解答题：
15。

如图A 、B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象
A 点的坐标为34,55⎛⎫
⎪⎝⎭
，
限. C 是圆与x
△AOB 为正三角形.
（Ⅰ）求sin COA ∠； (Ⅱ）求cos COB ∠.
解：（Ⅰ)因为A 点的坐标为34,55⎛⎫
⎪
⎝⎭
,根据三角函数定义可知4sin 5
COA ∠=—--4分
(Ⅱ）因为三角形AOB 为正三角形，所以0
60AOB ∠=，
4
sin 5COA ∠=
，3cos 5
COA ∠=， -———-——--—-——--—————
—-————---6分
所以cos COB ∠=0
cos(60)COA ∠+
00cos cos60sin sin 60COA COA =∠-∠ ———-——-—-———-—-————
---———10分 =314334352
5210
-⋅-⋅
=. --—--——--——-—-——-—----——-----———
--—--—12分
16． 已知集合{}2113x A x x -=≥+，{}ππsin ,
,,6
2B y y a a θθ⎡⎤==∈-∈⎢⎥
⎣⎦
R .
(Ⅰ)求集合A 和B ； （Ⅱ)若A
B =∅
，且0>a 时，求a 的取值范围。

解：(Ⅰ）由13
12≥+-x x ，得03
)3(12≥++--x x x ,解得3-<x 或4≥x ,
于是),4[)3,(+∞--∞= A 。

…………4分
由ππ,
6
2θ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
得1
sin 12
θ-≤≤，所以 B =ππ{|sin ,,
,}
6
2y y a a θθ⎡⎤=∈-∈⎢⎥⎣⎦
R ,,0,2{0},0,
,,0.2a a a B a a a a ⎧⎡⎤->⎪⎢⎥⎣⎦⎪==⎨⎪
⎡⎤-<⎪⎢⎥⎣
⎦⎩ …………8分
(Ⅱ）因为A
B =∅
，当0>a 时，有
第15
13,2044
a a a ⎧-≤-⎪
⇒<<⎨
⎪<⎩; …………12分
17．已知二次函数()x f 满足(1)()2,f x f x x +-=且()10=f 。

（Ⅰ）求()x f 的解析式。

（Ⅱ）在区间[]1,1-上， ()x f 的图象恒在m x y +=2的图象上方 试确定实数m 的范围。

解： （Ⅰ)设f （x)=ax 2+bx+c ，由f(0）=1得c=1，故f(x ）=ax 2+bx+1。

∵f(x+1)—f （x)=2x ，∴a （x+1）2+b(x+1）+1—（ax 2+bx+1)=2x 。

即2ax+a+b=2x,所以22
1
,01
a a a
b b ==⎧⎧∴⎨
⎨
+==-⎩⎩,∴f(x）=x 2-x+1。

(Ⅱ）由题意得x 2-x+1>2x+m 在［-1，1］上恒成立。

即x 2-3x+1—m 〉0在［-1,1］上恒成立.
设g （x ）= x 2
—3x+1-m ，其图象的对称轴为直线x=3
2
,所以g(x ） 在
[-1,1]上递减。

故只需g （1）〉0,即12-3×1+1—m>0，解得m<—1。

18．已知函数3
2()3f x kx
kx b =-+,在[22]-，
上最小值为17-,最大值为3，求k b 、的值．
解
:
由
题
设
知
k ≠且
'()3(2)f x kx x =- (1)
分
02x <<时，(2)0x x -<;0x <或2x >时，(2)0x x ->； 0x =和2x =时，'()0f x =
由题设知22x -≤≤,(2)20f k b -=-+，(0)f b =，(2)4f k b =-+…………3分 ①0k <时,20x -<<时，
'()0f x <；02x <<时，'()0f x >,
∴
()
f x 在
(20)
-，上单减，在
(22)
-，和上单
增，…………………………………4分
0x =为()f x 的极小值点，也是最小值点；
(2)(2)f f ->
∴()f x 的最大值是(2)f - (6)
分
解203
17
k b b -+=⎧⎨
=-⎩解得1k =-，17b =-………………………………8分 ②0k >时，20x -<<时，
'()0f x >;02x <<时，'()0f x <，
∴
()
f x 在
(20)
-，上单增，在
(22)
-，和上单
减，………………………………10分
0x =为()f x 的极大值点，也是最大值点;
(2)(2)f f -<
∴
()
f x 的最小值是
(2)f - ………………………………………………12分
解2017
3k b b -+=-⎧⎨
=⎩
解得
1
k =，
3b = (13)
分
综上，1k =-，17b =-或1k =，3b =．………………………………………14分
19.(本小题满分13分）
某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元～1000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y （单位:万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖
金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20％。

（1）若建立函数()x f 模型制定奖励方案,试用数学语言．．．．表述公司对奖励函数()x f 模型 的基本要求；
（2）现有两个奖励函数模型：（1)2150
+=
x
y ；(2)3lg 4-=x y 。

试分析这两个函数模型
是否符合公司要求？
解：（Ⅰ）设奖励函数模型为y ＝f （x ），则公司对函数模型的基本要求是： 当x ∈［10，1000］时，①f （x)是增函数;②f （x ）≤9恒成立；③()5
x
f x ≤恒成立。

（Ⅱ）（1）对于函数模型()2150
x
f x =
+： 当x ∈［10，1000］时，f (x)是增函数,则max
100020
()
(1000)2291503
f x f ==
+=+<。

所以f (x)≤9恒成立。

因为函数()12150f x x x
=+在[10,1000]上是减函数，所以max
()111[]15055
f x x
=+>。

从而
()1211505f x x x =+≤，即()5
x
f x ≤不恒成立。

故该函数模型不符合公司要求。

（2）对于函数模型f （x)＝4lg x －3:
当x ∈［10,1000]时，f (x)是增函数，则max
()(1000)4lg100039f x f ==-=。

所以f （x ）≤9恒成立. 设g (x)＝4lg x －3－5
x ,则4lg 1()5
e g x x
'=-。

当x ≥10
时,2
4lg 12lg 1lg 1()0555
e e e g x x --'=-≤=<,所以g （x)在［10，1000］上
是减函数,从而g （x)≤g （10)＝－1＜0。

所以4lg x －3－5
x ＜0，即4lg x
－3＜5
x ，所以()5
x f x <恒成立。

故该函数模型符合公司要求。

20．（本小题满分l4分) 已知函数()x bx ax
x f 323
-+=,在1±=x 处取得极值.
（Ⅰ）求函数()x f 的解析式；
（Ⅱ）求证:对于区间［－1，1］上任意两个自变量的值2
1
,x x ，都
有()()42
1
≤-x f x f ;
（Ⅲ）若过点()()2,1-≠m m A 可作曲线()x f y -的三条切线,求实数m 的取值范围.
20解： (I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3,依题意，f ′(1）=f ′(－1)=0，
即,0
3230323⎩⎨
⎧=--=-+b a b a 解得a=1，b=0。

∴f （x)=x 3－3x.
（II ）∵f （x ）=x 3－3x,∴f ′(x ）=3x 2－3=3(x+1)（x －1）,
当－1<x 〈1时,f ′（x)<0，故f(x ）在区间[－1，1］上为减
函数，
f max (x ）=f(－1）=2,f min （x)=f （1)=－2
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2, 都有｜f(x 1)－f （x 2)|≤｜f max (x ） －f min （x)｜ ｜f(x 1)－f(x 2)｜≤|f max (x)－f min (x)|=2－（－2)=4
（III ）f ′（x)=3x 2－3=3（x+1)（x －1)，
学必求其心得，业必贵于专精
∵曲线方程为y=x 3－3x,∴点A （1，m)不在曲线上。

设切点为M （x 0,y 0），则点M 的坐标满足.30300x x y
-= 因)1(3)(200-='x x
f ,故切线的斜率为 1
3)1(300302
0---=-x m x x x ， 整理得0332203
0=++-m x x .
∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，
∴关于x 0方程3322030++-m x x
=0有三个实根。

设g （x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=602
06x x -，
由g ′（x 0）=0,得x 0=0或x 0=1。

∴g （x 0）在（－∞，0)，(1,+∞）上单调递增，在(0，1）
上单调递减。

∴函数g(x 0)= 3322030++-m x x 的极值点为
x 0=0，x 0=1 ∴关于x 0方程332203
0++-m x x =0有三个实根的充要条件是
⎩
⎨⎧<>0)1(0)0(g g ,解得－3<m<－2。

故所求的实数a 的取值范围是－3〈m<－2.。