问题2.2 函数中存在性与恒成立问题-突破170分之江苏2017届高三数学复习提升秘籍(原卷版)

突破170分之江苏高三数学复习提升秘籍
函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。

在新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数函数和对数函数等常见函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。

近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现存在性与恒成立问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分。

解决高中数学函数的存在性与恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②分离参数法；③主参换位法；④数形结合法等。

一、函数性质法
【例1】1）、已知函数12)(2+-=ax x x f ，x
a x g =)(，其中0>a ，0≠x ．对任意]2,1[∈x ，都有)()(x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；
2）、已知两函数2)(x x f =，m x g x
-⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，求实数m 的取值范围。

二、分离参数法
【例2】已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．
（1）求实数a 的值；
（2）若2
()f x kx ≤对任意0x >成立，求实数k 的取值范围。

利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（ D x ∈,λ为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤:
（1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式；
（2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；
（3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。

三、主参换位法
【例3】已知函数()ln()(x f x e a a =+为常数）是实数集R 上的奇函数，函数()()sin g x f x x λ=+是区间[]1,1-上的减
函数，(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若[]2()11,1g x t t x λ≤++∈-在上恒成立，求t 的取值范围。

四、数形结合法
【例4】已知函数()222f x x kx =-+，在1x ≥-恒有()f x k ≥，求实数k 的取值范围。

五、存在性之常用模型及方法
【例5】设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+
-，a R ∈且1a ≠.曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0.
（1）求b 的值；
（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1a f x a <
-，求a 的取值范围.
【迁移运用】
1. 【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()()2x a
f x x a -=+，若对于定义域内的任
意1x ，总存在2x 使得()()21f x f x <，则满足条件的实数a 的取值范围是____________．
2. 若关于x 的不等式x 2＋12x －12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
≥0对任意n ∈N *在x ∈（－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．
3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 ．
4．【2015-2016学年江苏省清江中学高一上期中】函数()()
2(2)2()(3)52x x f x a x a x ⎧--<⎪=⎨-+≥⎪⎩满足对任意12x x ≠都有1212
()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 ． 5．【2016届山东师大附中高三上学期二模】若对于任意的[]0,1x ∈，
不等式11ax bx -≤
≤-恒成立，则a 的最小值为______b 的最大值为________． 6．【2015-2016学年重庆市一中高一10月月考】已知函数2
()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若
存在一个实数，使得()f x 与()g x 均不是正数，则实数m 的取值范围是 ．
7．【2016届河北省衡水冀州中学高三上第二次月考】设0απ≤≤错误！未找到引用源。

，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥错误！未找到引用源。

对x R ∈错误！未找到引用源。

恒成立，则α错误！未找到引用源。

的取值范围________．
8.【2016-2017学年度江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()()33x x f x R λλ-=+∈．
（1）若()f x 为奇函数，求λ的值和此时不等式()1f x >的解集；
（2）若不等式()6f x ≤对[]0,2x ∈恒成立，求实数λ的取值范围．
9．【2016届山东师大附中高三上学期二模】已知函数()(),ln ln x
f x e
g x x a ==-（a 为常数， e=2．718…），且函数()0y f x x ==在处的切线和()y g x x a ==在处的切线互相平行．
（1）求常数a 的值；
（2）若存在x 使不等式()x m f x ->
成立，求实数m 的取值范围． 10．已知函数()2ln f x x x x =-+
（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）若对于任意的0x >，不等式()2112a f x x ax ⎛⎫≤-+- ⎪⎝⎭
的恒成立，求整数a 的最小值． 11．设常数a R ∈，函数()22x x a f x a
-=+． （1）当1a =-时，判断并证明函数()f x 在()0,+∞的单调性；
（2）若函数)(x f y =的是奇函数，求实数a 的值；
（3）当0a ≠时，若存在区间[](),m n m n <，使得函数()f x 在[],m n 的值域为2,2m n ⎡⎤⎣⎦，求实数a 的取
值范围．
12．已知函数1()(2)ln 2 f x a x ax x
=-++． （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 的极值；
（Ⅱ）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；
（Ⅲ）若对任意的[]12(3,2),,1,3a x x ∈--∈恒有12(ln 3)2ln 3()()m a f x f x +->-成立， 求实数m 的取值范围．
13．已知定义在R 上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，且)(x f 是R 上的增函数. (I) 求证：函数)(x f 是R 上的奇函数；
(II) 若不等式0)242()2(<--+⋅x x x f k f 对任意R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围.
14．【2016届西藏日喀则一中高三10月检测】函数()ln a x f x x
+=
，若曲线()f x 在点()(),e f e 处的切线与直线20e x y e -+=垂直（其中e 为自然对数的底数）．
（1）若()f x 在(),1m m +上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）求证：当1x >时，()()()1
2111x x f x e e x xe ->+++．。