北师版数学高二北师大版必修5课件基本不等式

D.21
解析 由 a＋b＝1，b>a>0，得 1>b>12，0<a<12，
∵b－(a2＋b2)＝b(1－b)－a2＝ab－a2＝a(b－a)>0，
∴b>a2＋b2≥2ab，即b最大.
当堂测·查疑缺
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1.已知 a>0，b>0，则1a＋1b＋2 ab的最小值是( C )
A.2
B.2 2
C.4
D.5
§
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.理解基本不等式的内容及证明. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小. 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.
填要点·记疑点
1.重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2 ≥ 2ab(当且仅当a＝b时取“＝”).
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2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是( )
a＋b A.a> 2 > ab>b
a＋b B.b> ab> 2 >a
a＋b C.b> 2 > ab>a
a＋b D.b>a> 2 > ab
解析 ∵0<a<b，∴2b>a＋b， a＋b
∴b> 2 . ∵b>a>0，∴ab>a2，∴ ab>a.
a＋b 故 b> 2 > ab>a. 答案 C
由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立. ∴a＋b＋c> ab＋ bc＋ ca.
例2 已知x、y都是正数. 求证：(1)xy＋xy≥2； 证明 ∵x，y 都是正数，∴xy>0，yx>0， ∴xy＋yx≥2 xy·xy＝2，即xy＋yx≥2.
当且仅当x＝y时，等号成立.
(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 证明 ∵x，y 都是正数，∴x＋y≥2 xy>0， x2＋y2≥2 x2y2>0，x3＋y3≥2 x3y3>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2 xy·2 x2y2·2 x3y3＝8x3y3. 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 当且仅当x＝y时，等号成立.
3.基本不等式的常用推论 (1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)； (2)ba＋ab≥ 2 (a，b 同号)； (3)当 ab>0 时，ba＋ab≥ 2 ；当 ab<0 时，ab＋ba≤－2 ； (4)a2＋b2＋c2 ≥ ab＋bc＋ca(a，b，c∈R).
探要点·究所然
探究点一 基本不等式的证明 x2＋y2
思考 1 如何证明 2 ≥xy，“＝”成立的条件是什么？ 答 对于任意实数 x，y，(x－y)2≥0 总是成立的，即 x2－2xy
x2＋y2 ＋y2≥0，所以 2 ≥xy，当且仅当 x＝y 时，“＝”成立.
思考2 在思考1中，如果x＝ a，y＝ b，则由这个不等式可 得出怎样的结论？如何用语言表述？分别代替a2＋b2≥2ab 中的a，b会得到怎样的不等式？
成立的条件是 a，b 均为正实数.
a＋b 小结 如果 a，b 都是非负数，那么 2 ≥ ab，当且仅 当 a＝b 时，等号成立.我们称这些不等式为基本不等式.
a＋b 探究点二 基本不等式 2 ≥ ab的几何解释 问题 如下图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ
＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能
a＋b (2) ab≤ 2 ≤
a2＋b2 2 (a，b 均为正实数)；
(3)ba＋ab≥2(a，b 同号)；(4)(a＋b)a1＋1b≥4(a，b 均为正实数)；
(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
明目标、知重点
反思与感悟 使用基本不等式证明问题时，要注意条 件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现 “1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式， 要注意等;0，且a＋b＝1，则此四个数 12，2ab， a2＋b2，b中最大的是( A )
A.b
B.a2＋b2
C.2ab
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解析 由于 a2＋1－a＝a－212＋43>0，故①恒成立； 由于 a＋1a≥2，b＋1b≥2. ∴a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立； 由于 a＋b≥2 ab，1a＋1b≥2 a1b，
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故(a＋b)a1＋1b≥4，故③恒成立； 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立. 答案 ①②③
反思与感悟 在(1)的证明中把 y，x 分别看作基本不 xy
等式中的a，b从而能够应用基本不等式；在(2)中三 次利用了基本不等式，由于每次应用不等式等号成 立的条件相同，所以最终能取到等号.
跟踪训练2 已知a、b、c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c ＋a)≥8abc. 证明 ∵a，b，c都是正实数， ∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2 ab·2 bc·2 ca＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.
呈重点、现规律
a＋b 1.两个不等式 a2＋b2≥2ab 与 2 ≥ ab都是带有等号的不
等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要 a＋b
有正确的理解.一方面：当 a＝b 时， 2 ＝ ab；另一方面： a＋b
当 2 ＝ ab时，也有 a＝b.
2.由基本不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2；
2.基本不等式 a＋b
(1)如果 a，b 都是非负数，那么 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立.
a＋b
a＋b
(2)我们称 2 ≥ ab为基本不等式，其中 2 称为 a，b 的
算术平均数， ab 称为 a，b 的几何平均数.
因此基本不等式可叙述为：两个非负数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数.
a＋b 答 得到 2 ≥ ab，语言表述为：如果 a，b 都是非负数，
a＋b 那么 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
a＋b 思考3 不等式a2＋b2≥2ab与 ab≤ 2 成立的条件相同吗？ 如果不同各是什么？
a＋b 答 不同，a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R； ab≤ 2
也即 ab≥1a＋2 b1，当且仅当 a＝b 时，等号成立.
反思与感悟 在利用基本不等式证明的过程中，常需 要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑 成适当的数、式，以便于利用基本不等式.
跟踪训练 1 已知 a，b，c 为不全相等的正数，求证：a＋b
＋c> ab＋ bc＋ ca. 证明 ∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab>0，b＋c≥2 bc>0，c＋a≥2 ca>0. ∴2(a＋b＋c)≥2( ab＋ bc＋ ca)， 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca.
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3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( B )
A.6 B.4 2
C.2 6 D.8
解析 ∵a＋b＝3，
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a＋b＝2 8＝4 2.
4.设a>0，b>0，给出下列不等式： ①a2＋1>a；②a＋1ab＋1b≥4； ③(a＋b)a1＋1b≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________.(填序号)
利用这个图形得出基本不等式
a＋b ≥ 2
ab 的几何解释吗？
思考1 如何用a，b表示PQ、OP的长度？ 答 由射影定理可知 PQ＝ ab.而 OP＝21AB＝a＋2 b.
思考2 通过线段OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不
等式？
a＋b
a＋b
答 半径 OP＝ 2 ，显然，它大于或等于 PQ，即 2 ≥ ab，
例 3 已知 a，b，c 都是正实数，且 a＋b＋c＝1，
求证：1a＋1b＋1c≥9. 证明 ∵a＋b＋c＝1， ∴1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c ＝3＋ba＋ac＋ab＋bc＋ac＋bc
＝3＋ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号.
其中当且仅当点 Q 与圆心 O 重合，即 a＝b 时，等号成立.
a＋b 小结 基本不等式 2 ≥ ab的几何意义是“半径不小于
a＋b 半弦”.在数学中，我们称 2 为 a，b 的算术平均数，称 ab 为 a，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正 数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究点三 基本不等式的应用 例 1 设 a，b 均为正数，证明不等式： ab≥1a＋2 b1. 证明 因 a，b 均为正数，由基本不等式，可知1a＋2 1b≥ 1ab，