(整理)课时跟踪检测(七十五)参数方程

课时跟踪检测(七十五) 参 数 方 程
1．设直线l 1的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋t ，
y ＝a ＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x －4，若直线
l 1与l 2间的距离为10，则实数a 的值为________．
2．已知椭圆C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ∈R )，经过点⎝⎛⎭⎫m ，1
2，则m ＝________，椭圆的离心率e ＝________.
3．已知点P (x ，y )在曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[π，2π))上，则y
x 的取值范围
为________．
4．(2012·江西盟校联考)在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为
l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋s ，y ＝1－s ，(s 为参数)和C ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝t ＋2，y ＝t 2
(t 为参数)，若l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.
5．(2012·北京高考)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝3cos α，y ＝3sin α
(α为参数)的交点个数为________．
6．(2013·惠州模拟)已知曲线C 的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3t ，
y ＝2t 2
＋1(t 为参数)，则点M 1(0,1)，M 2(5,4)与曲线C 的位置关系________(填点是否在曲线上)．
7．(2012·西安模拟)若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝s ，
y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.
8．(2012·上海奉贤区模拟)已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4t 2
，
y ＝4t (t 为参数)
上，则|PF |＝________.
9．曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是________．
10．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，
B 分别在曲线
C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋cos θ，
y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求|AB |的最小值为________． 11．若直线l ：y ＝kx 与曲线C ：⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(参数θ∈R )有唯一的公共点，则实数k
＝________.
12．参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋3cos θ，
y ＝－3＋3sin θ(θ为参数)表示的图形上的点到直线y ＝x 的最短距离为
________．
13．(2012·山西大同)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝a cos θ(a >0)，直线l 的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝1＋22t ，
y ＝22t
(t 为参数)，且直线l 与曲线C 相切．则a ＝________.
14．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos φ，
y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，
y ＝3－t (t 为参数)平行的直线方程为________． 15．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α
(α为参数)，M 是C 1
上的动点，P 点满足OP ＝2OM ，P 点的轨迹为曲线C 2，则C 2的参数方程为____________________．
16．已知曲线C ：⎩⎨⎧
x ＝33cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12.设点P
在曲线C 上，则P 点到直线l 的距离的最小值为________．
17．已知定点A (1,0)，F 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝1＋cos 2θ(参数θ∈R )的焦点，则|AF |＝________.
18．已知曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，y ＝2sin θ(参数θ∈R )经过点⎝⎛⎭⎫m ，1
2，则m ＝________. 19．(2013·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5cos θ－1，
y ＝5sin θ＋2(θ为参数)
和直线l ：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4t ＋6，
y ＝－3t －2(t 为参数)，则圆C 的普通方程为________________，直线l 与圆C
的位置关系是________．
20．(2013·长沙模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 2的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，
在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 1的极坐标方程为ρ(2cos θ＋sin θ)＝2.若直线l 1与直线l 2垂直，则k ＝________.
21．(2013·山西模拟)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正
半轴重合，直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，α为直线l 的倾斜角)．圆C 的极坐
标方程为ρ2－8ρcos θ＋12＝0.若直线l 与圆C 相切，则α＝________.
22．直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋t ，y ＝1－t (t 为参数)被圆⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋5cos θ，
y ＝－1＋5sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))所截得的弦长为________．
答 案
课时跟踪检测(七十五)
1．解析：将直线l 1的方程化为普通方程得3x －y ＋a －3＝0，直线l 2的方程为3x －y －4＝0，由两平行线间的距离公式得|a －3＋4|
10
＝10，即|a ＋1|＝10，解得a ＝9或a ＝－11.
答案：9或－11
2．解析：依题意得，椭圆C 的普通方程为x 2
＋y 2
4
＝1，
因为椭圆C 经过点⎝⎛⎭⎫m ，1
2，于是有m 2＋⎝⎛⎭
⎫122
4
＝1，
所以m ＝±154，离心率等于32
. 答案：±
154 32
3．解析：将参数方程消去θ，得圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝1，其中x ∈[－3，－1)，y ∈[－1，0]．而y x 表示点P (x ，y )与原点O (0,0)连线的斜率，结合图象易得y x ∈⎣⎡⎦
⎤0，3
3.
答案：⎣
⎡⎦
⎤
0，
33 4．解析：将直线l 与曲线C 的参数方程化为直角坐标方程分别为x ＋y ＝2与y ＝(x －2)2，联立得交点为A (2,0)，B (1,1)，则|AB |＝
(2－1)2＋12＝ 2.
答案： 2
5．解析：直线的普通方程为x ＋y －1＝0，圆的普通方程为x 2＋y 2＝32，圆心到直线的距离d ＝
2
2
＜3，故直线与圆的交点个数是2. 答案：2
6．解析：将M 1的坐标(0,1)代入方程组， 解得t ＝0.因此M 1在曲线C 上．
同理可知方程组⎩⎪⎨⎪⎧
5＝3t ，
4＝2t 2
＋1
无解，
故M 2点不在曲线C 上．
答案：点M 1在曲线C 上，点M 2不在曲线C 上
7．解析：直线l 1的方程为y ＝－k 2x ＋4＋k 2，斜率为－k
2；直线l 2的方程为y ＝－2x ＋1，
斜率为－2.∵l 1与l 2垂直，∴⎝⎛⎭
⎫－k
2×(－2)＝－1⇒k ＝－1. 答案：－1
8．解析：将抛物线的参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，则焦点F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又P (3，m )在抛物线上，由抛物线的定义知|PF |＝3－(－1)＝4.
答案：4
9．解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d ， ∴d ＝|x |＋|y |＝|cos θ|＋|sin θ|， 设θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π
2， ∴d ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π
4， ∴d max ＝ 2. 答案： 2
10．解析：消去参数θ，得到C 1的普通方程(x －3)2＋(y －4)2＝1，表示以(3,4)为圆心，以1为半径的圆；C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1表示的是单位圆，|AB |的最小值为32＋42
－1－1＝3.
答案：3
11．解析：曲线C 化为普通方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r ＝1.由已知l 与圆相切，
则r ＝
|2k |
1＋k 2
＝1⇒k ＝±3
3
.
答案：±3
3
12．解析：参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3＋3cos θ，
y ＝－3＋3sin θ，化为普通方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝9，圆心坐
标为(3，－3)，半径r ＝3，则圆心到直线y ＝x 的距离d ＝|3－(－3)|
2＝32，则圆上点到直线
y ＝x 的最短距离为
d －r ＝32－3＝3(2－1)． 答案：3(2－1)
13．解析：将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝ax . 将直线l 的参数方程化成普通方程为y ＝x －1，
联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2＝ax ，
y ＝x －1，
消去y 可得2x 2－(2＋a )x ＋1＝0. ∵直线l 与曲线C 相切， ∴Δ＝(2＋a )2－8＝0. 又a >0，∴a ＝2(2－1)． 答案：2(2－1)
14．解析：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，
所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.
故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1
2(x －4)，
即x －2y －4＝0. 答案：x －2y －4＝0
15．解析：设P (x ，y )，则由条件知M ⎝⎛⎭⎫
x 2，y 2.
由于点M 在曲线C 1
上，所以⎩⎨⎧
x
2＝2cos α，y
2＝2＋2sin α，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α
(α为参数)．
答案：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝4cos α
y ＝4＋4sin α(α为参数)
16．解析：依题意可得直线l 的直角坐标方程为x －3y －12＝0. 设P (33cos θ，3sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|33cos θ－3sin θ－12|2
＝
⎪⎪⎪
⎪6cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－122
，
故当cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π
6＝1时，d min ＝3. 答案：3
17．解析：曲线⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝1＋cos 2θ(参数θ∈R)的普通方程为x 2＝2y ，所以焦点F ⎝⎛⎭
⎫0，1
2，又A (1,0)，
所以|AF |＝ (0－1)2＋⎝⎛⎭⎫12－02＝5
2
. 答案：5
2
18．解析：将曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θ，y ＝2sin θ
(参数θ∈R)化为普通方程为x 2＋y 24
＝1，将点⎝⎛⎭⎫m ，12代入该椭圆方程，得m 2＋144＝1，即m 2＝1516，所以m ＝±15
4
.
答案：±154
19．解析：圆C 的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，直线l 的普通方程是3x ＋4y －10＝0，圆心到直线的距离为d ＝|－3＋8－10|
5
＝1<r ＝5，故直线与圆相交．
答案：(x ＋1)2＋(y －2)2＝25 相交
20．解析：将直线l 1的极坐标方程化为直角坐标方程为2x ＋y －2＝0，其斜率k 1＝－2，而直线l 2的斜率k 2＝y －2x －1
＝－kt 2t ＝－k 2，由题意知－k
2×(－2)＝－1，解得k ＝－1.
答案：－1
21．解析：将直线l 的参数方程化为普通方程，得
y ＝x tan α.
将圆C 的极坐标方程ρ2－8ρcos θ＋12＝0化为直角坐标方程得(x －4)2＋y 2＝4.
因为直线l 与圆C 切于点M ，则sin α＝CM OC ＝24＝1
2，
所以α＝π6或α＝5π
6.
答案：π6或5π
6
22．解析：把直线的参数方程和圆的参数方程分别化为普通方程为x ＋y ＋1＝0和(x －3)2＋(y ＋1)2＝25，于是弦心距d ＝32
2
，弦长l ＝2
25－9
2
＝82.
答案：82。