指数与指数函数Word版含答案

指数与指数函数【课前回顾】
1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念：
①正分数指数幂：
a m
n＝
n
a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
②负分数指数幂：
a－m
n＝
1
a
m
n
＝
1
n
a m
(a>0，m，n∈N*，且n>1)．
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质：
①a r a s＝a r＋s(a>0，r，s∈Q)；
②(a r)s＝a rs(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝a r b r(a>0，b>0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
在x轴上方，过定点(0,1)
【课前快练】
1．化简4
16x 8y 4(x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y
D ．－2x 2y
解析：选D 因为x <0，y <0，所以4
16x 8y 4＝(16x 8·y 4) 14
＝(16) 14
·(x 8) 14
·(y 4) 14
＝2x 2|y |＝－2x 2y .
2．函数f (x )＝a x －
2＋1(a >0，且a ≠1)的图象必经过点( )
A ．(0,1)
B ．(1,1)
C ．(2,0)
D ．(2,2)
解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图象必过点(2,2)． 3．函数y ＝a x －a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )
答案：C 4．函数y ＝
1－⎝⎛⎭⎫121
x
的定义域是________．
解析：要使该函数有意义，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≠0，1－⎝⎛⎭⎫121x ≥0，解得x >0，所以定义域为(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)
5．若指数函数f (x )＝(a －2)x 为减函数，则实数a 的取值范围为________． 解析：∵f (x )＝(a －2)x 为减函数，∴0<a －2<1，即2<a <3. 答案：(2,3)
考点一 指数幂的化简与求值
1．指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
2．易错提醒
(1)分数指数幂中的指数不能随便约分，例如要将a 24写成a 1
2时必须认真考查a 的取值才
能决定，如(－1)24＝4(－1)2＝1，而(－1)1
2
＝－1无意义．
(2)结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂，形式力求统一．
【典型例题】
1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－
2＝4
B ．2a －
3＝
1
2a 3
C ．(－2)0
＝－1
D ．(a
-
14)4
＝1a
解析：选D 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B ，2a －
3＝2a 3，故B 错误；对于C ，
(－2)0
＝1，故C 错误；对于D ，(a
-
14)4
＝1
a ，故D 正确．
2．化简：
(a 23
·b －1
)
-
12
·a
-
1
2
·b
1
3
6a ·b 5
＝________.
解析：原式＝a
3
-1·b 12
·a -12
·b
1
3
a 1
6
·b
56
＝a
---11136
2·b
+-115
236
＝1a .
答案：1
a
3．化简：⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫214-1
2－(0.01)0.5＝________.
解析：原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫491
2－⎝⎛⎭⎫11001
2＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝16
15. 答案：1615
考点二 指数函数的图象及应用 1．常考题型及技法
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合
求解．
(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．
2．常用的结论与性质
(1)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数
的两个指数函数的图象关于y轴对称．
(2)当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数
的图象呈下降趋势．
(3)指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．【典型例题】
1.函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正
确的是()
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
解析：选D由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.
2．已知函数y＝2|x＋a|的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．
解析：法一：由于函数图象关于y轴对称，所以函数为偶函数，所以2|x＋a|＝2|－x＋a|.根据指数函数的单调性可知，|x＋a|＝|－x＋a|，只有当a＝0时，等式恒成立．故a＝0.
法二：根据函数图象的变化规律可知，函数y＝2|x＋a|由函数y＝2x进行变换得到，先将函数y＝2x关于y轴进行翻折，得到函数y＝2|x|，此时函数关于y轴对称，再将图象向左平移a个单位得到y＝2|x＋a|，此时函数关于x＝－a对称，根据题目条件可知对称轴为y轴，故x＝－a＝0，即a＝0.
答案：0
【针对训练】
1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()
解析：选A因为函数f(x)＝1－e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有A满足上述两
个性质．故选A.
2．若函数y ＝|3x －1|在(－∞，k ]上单调递减，则k 的取值范围为________． 解析：函数y ＝|3x －1|的图象是由函数y ＝3x 的图象向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k 的取值范围是(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
考点三 指数函数的性质及应用
角度(一) 比较指数式的大小
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝243
，b ＝425
，c ＝2513
，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a
D ．c <a <b
解析：选A 因为a ＝24
3
，b ＝425＝245
，由函数y ＝2x 在R 上为增函数知，b <a ；又因为a ＝24
3
＝423
，c ＝2513
＝523
，由函数y ＝x 23
在(0，＋∞)上为增函数知，a <c .综上得b <a <c .故选A.
角度(二) 简单指数方程或不等式的应用
2．(2018·福州模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4x ，x ≥0，
2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a
的值为________．
解析：当a <1时，41－
a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.
答案：1
2
3．若偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则不等式f (x －2)>0的解集为________． 解析：∵f (x )为偶函数，
当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－
x －4.
∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －4， x ≥0，
2－x －4，x ＜0，
当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＜0，
2
－x ＋2－4＞0，
解得x ＞4或x ＜0.
∴不等式的解集为{x |x >4或x <0}． 答案：{x |x >4或x <0}
角度(三) 探究指数型函数的性质 4．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13ax x 243
－＋. (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．
解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x x 243－－＋－，
令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t
在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．
(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13g (x )
， 由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，g ⎝⎛⎭⎫2a ＝3a －4a ＝－1，
解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.
【针对训练】
1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c
D ．b <c <a
解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，
所以b <a <c .
2．当0<x ≤1
2时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭
⎫0，
22 B.
⎝⎛⎭
⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)
解析：选B 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，1
2上的草图(图略)，可知，若g (x )经过点⎝⎛⎭⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭
⎫2
2，1. 3．函数y ＝2x 2－x 的值域为________．
解析：因为t ＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14≥－1
4
，又函数y ＝2x 在R 上为增函数，所以y ＝2t ≥2-1
4
，所以值域为[2-
14
，＋∞)．
答案：[2
-14
，＋∞)
【课后演练】
1．函数f (x )＝2|x
－1|
的图象是( )
解析：选B 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －1
，x ≥1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜1，结合图象知选B.
2．化简4a 2
3
·b -13
÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫－23a -13b 2
3的结果为( ) A ．－2a
3b B ．－8a b C ．－
6a b
D ．－6ab
解析：选C 原式＝4÷⎝⎛⎭
⎫－23a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
213
3b 1--233
＝－6ab －
1＝－6a b ，故选C.
3．已知f (x )＝3x －
b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域为( )
A ．[9,81]
B ．[3,9]
C ．[1,9]
D ．[1，＋∞)
解析：选C 由f (x )过定点(2,1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －
2在[2,4]上是增函数，所以f (x )min
＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.故f (x )的值域为[1,9]．
4．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞b
D ．b ＞c ＞a
解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .
5．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x x 221＋－的值域是( ) A ．(－∞，4) B ．(0，＋∞) C ．(0,4]
D ．[4，＋∞)
解析：选C 设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝⎝⎛⎭⎫12t . 因为0＜1
2＜1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t 为关于t 的减函数． 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2， 所以0＜y ＝⎝⎛⎭⎫12t ≤⎝⎛⎭⎫12－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1－2－
x
，x ≥0，
2x －1，x <0，则函数f (x )是( )
A ．偶函数，在[0，＋∞)单调递增
B ．偶函数，在[0，＋∞)单调递减
C ．奇函数，且单调递增
D ．奇函数，且单调递减
解析：选C 易知f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝1－2－
x ，－f (x )＝2－
x －1，此时－x <0，则
f (－x )＝2－
x －1＝－f (x )；当x <0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时－x >0，则f (－x )＝1
－2
－(－x )
＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.
7．若函数f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫2，1
3，则f (－1)＝________. 解析：依题意可知a 2＝13，解得a ＝3
3，
所以f (x )＝
⎝⎛⎭
⎫33x ，
所以f (－1)＝⎝⎛⎭
⎫33－1＝ 3. 答案： 3
8．若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________. 解析：当a ＞1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，则a 2－1＝2，所以a ＝±3.又因为a ＞1，所以a ＝ 3.
当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，又因为f (0)＝0≠2，所以0＜a ＜1不成立．
综上可知，a ＝ 3. 答案： 3 9．不等式2
x x
22－＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4的解集为________．
解析：不等式2x x
22－＋>⎝⎛⎭⎫12x ＋4可化为⎝⎛⎭⎫12x x 22－ >⎝⎛⎭
⎫12x ＋4，等价于x 2－2x <x ＋4，即x 2－3x －4<0，
解得－1<x <4.
答案：{x |－1<x <4} 10．已知函数f (x )＝a |x
＋1|
(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关
系是________．
解析：因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x
＋1|
(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.
由于函数f (x )＝a |x
＋1|
在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数
f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．
答案：f (－4)＞f (1)
11．若函数y ＝a x －b (a ＞0，且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则a b 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(0,1)
D ．无法确定
解析：选C 因为函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y 轴的交
点在y 轴负半轴上．令x ＝0，则y ＝a 0
－b ＝1－b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜a ＜1，1－b ＜0.解得⎩⎪⎨
⎪⎧
0＜a ＜1，
b ＞1.
故a b ∈(0,1)，故选C.
12．(2018·河南南阳、信阳等六市一模)已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( )
A ．0＜b ＜a ＜1
B ．0＜a ＜b ＜1
C ．1＜b ＜a
D ．1＜a ＜b
解析：选C ∵x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1. ∵x ＞0时，b x ＜a x ，∴x ＞0时，⎝⎛⎭⎫a b x
＞1.
∴a
b
＞1，∴a ＞b ，∴1＜b ＜a ，故选C. 13．函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]，当a 变动时，函数b ＝g (a )的图象可以是( )
解析：选B 作出y ＝2|x |的图象如图，结合选项知a ≤0， ∵当a 变动时，函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,16]， ∴－4≤a ≤0， ∴2|b |＝16. 即b ＝4，
∴－4≤a ≤0，且b ＝4，故选B.
14．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝(a －2)a x (a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
＞0，则a 的取值范围是________．
解析：由题意知f (x )在R 上是单调增函数，当0＜a ＜1时，a －2＜0，y ＝a x 单调递减，所以f (x )单调递增；当1＜a ＜2时，a －2＜0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递减；当a ＝2时，f (x )＝0；当a ＞2时，a －2＞0，y ＝a x 单调递增，所以f (x )单调递增．故a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．
答案：(0,1)∪(2，＋∞)
15．已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．
解析：①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(1)．若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x
－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <2
3
.
②当a >1时，作出函数y ＝|a x －2|的图象如图(2)，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x －2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解．
所以实数a 的取值范围是⎝⎛⎭
⎫0，23. 答案：⎝⎛⎭
⎫0，23 16．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23|x |－a .
(1)求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )的最大值是94
，求a 的值． 解：(1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，
＋∞)上单调递增，
又y ＝⎝⎛⎭⎫23t 是单调递减的，
所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，
单调递减区间是[0，＋∞)．
(2)由于f (x )的最大值是94
， 且94＝⎝⎛⎭
⎫23－2， 所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，
从而a ＝2.
17．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常数且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．
解：(1)∵f (x )＝b ·a x 的图象过点A (1,6)，B (3,24)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ② ②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，
∴a ＝2，b ＝3，
∴f (x )＝3·2x .
(2)由(1)知⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭
⎫13x 在(－∞，1]上恒成立．
令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，
则g (x )在(－∞，1]上单调递减，
∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56
， 故所求实数m 的取值范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，56.
18．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z ，则( )
A ．2x <3y <5z
B ．5z <2x <3y
C ．3y <5z <2x
D ．3y <2x <5z 解析：选D 设2x ＝3y ＝5z ＝k >1，
∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k .
∵2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝
2log k 2－3log k 3 ＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k
98log k 2·log k 3>0， ∴2x >3y ；
∵3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝
3log k 3－5log k 5 ＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k
125243log k 3·log k 5<0， ∴3y <5z ；
∵2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5
＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25
log k 2·log k 5＝log k 2532log k 2·log k 5<0， ∴5z >2x .∴5z >2x >3y .
19．若函数f (x )＝2|x ＋a |(a ∈R)满足f (1－x )＝f (1＋x )，f (x )在区间[m ，n ]上的最大值记为f (x )max ，最小值记为f (x )min ，若f (x )max －f (x )min ＝3，则n －m 的取值范围是________．
解析：因为函数f (x )＝2|x
＋a |(a ∈R)满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (x ) 的
图象关于直线x ＝1对称，
所以a ＝－1，
所以f (x )＝2|x －1|. 作出函数y ＝f (x )的图象如图所示．
当m ＜n ≤1或1≤m ＜n 时，离对称轴越远，m 与n 差越小，由y ＝2x －1与y ＝21－x 的性质知极限值为0.当m ＜1＜n 时，函数f (x )在区间[m ，n ]上的最大值与最小值的差为f (x )max －f (x )min ＝2|±2|－20＝3，则n －m 取得最大值是2－(－2)＝4，所以n －m 的取值范围是(0,4]．
答案：(0,4]。