山东省滨州市北镇中学高三数学上学期11月统练试卷(a卷)理(含解析)

2014-2015学年山东省滨州市北镇中学高三（上）11月统练数学试卷
（理科）（A卷）
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）
A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]
2．已知向量，，若向量⊥，则x=（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
3．下列命题，其中说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”
B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件
C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”
4．在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（）
A．10000 B．1000 C．100 D．10
5．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线
对称．则下列判断正确的是（）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真
6．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
7．若实数x，y满足不等式组则x+y的最小值是（）
A．6 B．4 C．3 D．
8．已知向量，向量，则的最大值和最小
值分别为（）
A．4，0 B．4，0 C．16.0 D．4，4
9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=的图象为（）
A．B．
C．D．
10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）
A．12 B．1 6 C．18 D．20
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题纸上.
11．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=6，c=4，cosB=，则b= ．12．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于．
14．函数f（x）=x2+x﹣2lnx+a在区间（0，2）上恰有一个零点，则实数a取值范围
是．
15．给出下列命题：
①函数y=在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2x﹣x2的零点有3个；
③不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立，则a≤4；
④已知a，b∈R+，2a+b=1，则≥8；
⑤φ=π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件．
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）．
三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6个小题，共75分．
16．函数的部分图象
如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．
17．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．
18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos （A+C）=﹣．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售
价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
20．设等差数列{a n}的前项n和为S n，已知a5+a6=24，S11=143．已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2b n﹣2
（n∈N*）
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和D n，求满足条件∀n∈N*，D n＜t的最小正整数．
21．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；
（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．
2014-2015学年山东省滨州市北镇中学高三（上）11月统练数学试卷（理科）（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合 M={x|x2+x﹣6＜0}，N={x|1≤x≤3}，则M∩N=（）
A．[1，2）B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3]
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果．
解答：解：∵M={x|x2+x﹣6＜0}={x|﹣3＜x＜2}=（﹣3，2），
N={x|1≤x≤3}=[1，3]，
∴M∩N=[1，2）
故选A
点评：本题考查的知识点是交集及其运算，求出集合M，N并画出区间的形式，是解答本题的关键．
2．已知向量，，若向量⊥，则x=（）
A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8
考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
专题：计算题．
分析：根据⇔，把两个向量的坐标代入求解．
解答：解：∵，，∴
即x+8=0，解得x=﹣8．
故选D．
点评：本题考查了据向量垂直时坐标表示的等价条件，即，把题意所给的向量的坐标代入求解．
3．下列命题，其中说法错误的是（）
A．命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”
B．“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件
C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题；函数的性质及应用．
分析：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．
解答：解：命题“若x2﹣3x﹣4=0，则x=4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；
∵“x=4”⇒“x2﹣3x﹣4=0”，
“x2﹣3x﹣4=0”⇒“x=4，或x=﹣1”，
∴“x=4”是“x2﹣3x﹣4=0”的充分条件，故B正确；
命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实根”的逆命题为：
∵若方程x2+x﹣m=0有实根，则△=1+4m≥0，解得m，
∴“若方程x2+x﹣m=0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；
命题“若m2+n2=0，则m=0且n=0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选C．
点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．在正项等比数列{a n}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（）
A．10000 B．1000 C．100 D．10
考点：等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：正项等比数列{a n}可得：．由lga3+lga6+lga9=6，利用对数的运算法则可得lg（a3a6a9）=6，即，解得a6即可．
解答：解：由正项等比数列{a n}可得：．
∵lga3+lga6+lga9=6，∴lg（a3a6a9）=6，∴，解得．
∴a1a11==104．
故选：A．
点评：本题考查了等比数列的性质和对数的运算法则，属于基础题．
5．设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线
对称．则下列判断正确的是（）
A．p为真B．￢q为假C．p∧q为假D．p∨q为真
考点：复合命题的真假；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的对称性．
专题：三角函数的图像与性质；简易逻辑．
分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项．
解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为π，故命题p是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=kπ对称，k∈Z，故q是假命题．结合复合命题的判断规则知：￢q为真命题，p ∧q为假命题，p∨q为是假命题．
故选C．
点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大．
6．设a=log36，b=log510，c=log714，则（）
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c
考点：对数值大小的比较；不等关系与不等式．
专题：计算题．
分析：利用log a（xy）=log a x+log a y（x、y＞0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可．
解答：解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，
因为y=log2x是增函数，所以log27＞log25＞log23，
∵，，
所以log32＞log52＞log72，
所以a＞b＞c，
故选D．
点评：本题主要考查不等式与不等关系，对数函数的单调性的应用，不等式的基本性质的应用，属于基础题．
7．若实数x，y满足不等式组则x+y的最小值是（）
A．6 B．4 C．3 D．
考点：简单线性规划．
专题：计算题．
分析：由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最小值．
解答：解：画出可行域，表示的区域如图，要求x+y的最小值，就是x+y 在直线x+2y﹣4=0与直线x﹣y=0的交点N（，）处，
目标函数x+y的最小值是．
故选．
点评：本题考查线性规划问题，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，考查计算能力．
8．已知向量，向量，则的最大值和最小
值分别为（）
A．4，0 B．4，0 C．16.0 D．4，4
考点：向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：先求出向量的坐标，再表示其模，根据三角函数的运算性质化成一角一函数的形式求最值即可．
解答：解：由题意可得=（2cosθ﹣，2sinθ﹣1），
∴=
==，
当=﹣1时，上式取最大值4，
当=1时，上式取最小值0，
故选：B
点评：本题考查向量模的运算，涉及三角函数的运算化简即最值得求解，属基础题．9．已知函数f（x）=x﹣4+，x∈（0，4），当x=a时，f（x）取得最小值b，则在直角坐标系中函数g（x）=的图象为（）
A．B．C．
D．
考点：指数型复合函数的性质及应用；函数的图象．
专题：计算题；作图题．
分析：由f（x）=x﹣4+=x+1+，利用基本不等式可求f（x）的最小值及最小值时的条件，可求a，b，可得g（x）==，结合指数函
数的性质及函数的图象的平移可求
解答：解：∵x∈（0，4），
∴x+1＞1
∴f（x）=x﹣4+=x+1+=1
当且仅当x+1=即x=2时取等号，此时函数有最小值1
∴a=2，b=1，
此时g（x）==，
此函数可以看着函数y=的图象向左平移1个单位
结合指数函数的图象及选项可知B正确
故选B
点评：本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键
10．设定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），f′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1；当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0．则方程f（x）=lg|x|根的个数为（）
A．12 B．1 6 C．18 D．20
考点：导数的运算；抽象函数及其应用；根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：依据函数的周期性，画出函数y=f（x）的图象，再在同一坐标系下画出y=lg|x|的图象（注意此函数为偶函数），数形结合即可数出两图象交点的个数
解答：解：∵f（x+2）=f（x），∴函数y=f（x）的周期是2，
又∵当x∈（0，2）且x≠1时，x（x﹣1）f′（x）＜0，
∴当0＜x＜1时，x（x﹣1）＜0，则f′（x）＞0，函数在[0，1]上是增函数
又由当x∈[0，1]时，0≤f（x）≤1，
则f（0）=0，f（1）=1．
而y=lg|x|是偶函数，当x＞0时，其图象为y=lgx的图象，即函数为增函数，
由于x=10时，y=lg10=1，
∴其图象与f（x）的图象在[0，2]上有一个交点，在每个周期上各有两个交点，
∴在y轴右侧共有9个交点．
∵y=lg|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，
∴在y轴左侧也有9个交点
∴两函数图象共有18个交点．
故选：C．
点评：本体考查了函数的周期性，奇偶性及函数图象的画法，重点考查数形结合的思想方法，属基础题．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题纸上.
11．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=6，c=4，cosB=，则b= 6 ．
考点：余弦定理的应用．
专题：计算题；解三角形．
分析：依题意，利用余弦定理即可求得b．
解答：解：∵△ABC中，a=6，c=4，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB
=36+16﹣2×6×4×
=36．
∴b=6．
故答案为：6．
点评：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
12．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为．
考点：定积分．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：作出的图象，求出它们的交点分别为A（，1）和B（，1），由此可得所求面积为函数2sinx﹣1在区间[，]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
解答：解：令2sinx=1（0≤x≤π），即sinx=，可得x=或．
∴曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），
因此，围成的封闭图形的面积为
S=（2sinx﹣1）dx=（﹣2cosx﹣x）
=（﹣2cos﹣）﹣（﹣2cos﹣）=2﹣．
故答案为：2﹣．
点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．
13．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则等于．
考点：等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：根据题意设S8=3k、S4=k，再由等差数列的前n项和性质分别求出S12、S16，再求出它们的比值．
解答：解：由设S8=3k、S4=k，
因为S n是等差数列{a n}的前n项和，
所以S4、S8﹣S4、S12﹣S8、S16﹣S12、成等差数列，
即k、2k、3k、4k成等差数列，
解得S12=6k，S16=10k，
所以=，
故答案为：．
点评：本题考查等差数列的前n项和性质，属于基础题．
14．（5分）（2014春•沈北新区校级期中）函数f（x）=x2+x﹣2lnx+a在区间（0，2）上恰有一个零点，则实数a取值范围是{a|a=﹣，或a≤2ln2﹣4} ．
考点：利用导数研究函数的极值；函数的零点．
专题：综合题；导数的概念及应用．
分析：由题设条件利用导数性质推导出f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，要使f（x）在（0，2）上恰有一个零点，需要f（1）=0或f（2）＜0，由此能求出实数a 取值范围．
解答：解：∵函数f（x）=x2+x﹣2lnx+a，
∴函数f（x）的定义域为（0，+∞），+1=，
f（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
要使f（x）在（0，2）上恰有一个零点，
结合其图象和性质，需要f（1）==0或f（2）=+2﹣2ln2+a＜0，
解得a=﹣，或a≤2ln2﹣4．
故答案为：{a|a=﹣，或a≤2ln2﹣4}．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
15．给出下列命题：
①函数y=在区间[1，3]上是增函数；
②函数f（x）=2x﹣x2的零点有3个；
③不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立，则a≤4；
④已知a，b∈R+，2a+b=1，则≥8；
⑤φ=π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件．
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）②③④⑤．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．
分析：①化简函数y==，从而判断函数的单调性；
②作y2x与y=x2的图象，图象交点个数即为函数f（x）=2x﹣x2的零点个数；
③|x+1|+|x﹣3|几何意义是点x到点﹣1与点3的距离之和，从而得解；
④由基本不等式可判断出≥9，≥8当然也成立；
⑤当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函数，当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）也是偶函数；故是充分不必要条件．
解答：解：①函数y==在区间[1，2]上是增函数，[2，3]上是减函数，故错误；
②作y2x与y=x2的图象如右图，则函数f（x）=2x﹣x2有3个零点，故正确；
③∵|x+1|+|x﹣3|几何意义是点x到点﹣1与点3的距离之和，
且点﹣1与点3的距离为4；
故若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立，则a≤4，故正确；
④已知a，b∈R+，2a+b=1，
则=+
=5+2（+）≥9（当且仅当a=b=时，等号成立），故正确；
⑤当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函数，
当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）也是偶函数；
故φ=π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件，故正确．
故答案为：②③④⑤．
点评：本题借命题真假性的判断同时考查了三角函数，基本不等式，不等式，绝对值不等式，函数的单调性及函数的图象的应用等，综合性很强，属于难题．
三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6个小题，共75分．
16．函数的部分图象
如图所示．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设，求函数g（x）在上的最大值，并确定此时x的值．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．
专题：计算题；数形结合．
分析：（Ⅰ）由图读出A，最高点到时左边第一个零点的横坐标的差的绝对值为四分之一周期，求出周期T，进而求出ω，代入点的坐标求出φ，得f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）的解析式，把x﹣代入求f（x﹣），进而求出g（x），利用降幂公式得一个角一个三角函数值，由x的范围，求出3x+的范围，借助余弦函数的图象，求出cos（3x+）的范围，进一步求出最大值．
解答：解：（Ⅰ）由图知A=2，，则∴
∴f（x）=2sin（x+φ），∴2sin（×+φ）=2，
∴sin（+φ）=1，∴+φ=，∴φ=，
∴f（x）的解析式为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
∴
∵∴
∴当即时，g（x）max=4
点评：给出条件求y=Asin（ωx+φ）的解析式，条件不管以何种方式给出，一般先求A，再求ω，最后求φ；求三角函数最值时，一般要把式子化为y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos （ωx+φ）+B的形式，从x的范围由里向外扩，一直扩到Asin（ωx+φ）+B或Acos（ωx+φ）+B的范围，即函数f（x）的值域，数形结合，看ωx+φ为多少时，取得最值．用到转化化归的思想．
17．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和为T n．
考点：数列的求和；等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）直接利用已知条件列出方程，求出数列的首项，然后求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）利用{a n}的通项公式，化简b n=（n∈N*），通过裂项法即可求数列{b n}的前n
项和为T n．
解答：解：（Ⅰ）数列{a n}是公差为2的等差数列，a1+1，a3+1，a7+1成等比数列，a3=a1+5，a7=a1+13
所以由=（a1+1）•（a7+1）…（3分）
得=（a1+1）•（a1+13）
解之得a1=3，所以a n=3+2（n﹣1），即a n=2n+1…（6分）
（Ⅱ）由（1）得a n=2n+1，
…（9分）
=…（12分）
点评：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的方法裂项法的应用，考查计算能力．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos （A+C）=﹣．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．
考点：两角和与差的余弦函数；向量数乘的运算及其几何意义；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．
专题：计算题；三角函数的图像与性质；平面向量及应用．
分析：（Ⅰ）由已知条件利用三角形的内角和以及两角差的余弦函数，求出A的余弦值，然后求sinA的值；
（Ⅱ）利用，b=5，结合正弦定理，求出B的正弦函数，求出B的值，利用余弦定理求出c的大小．
解答：解：（Ⅰ）由
可得，
可得，
即，
即，
（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，
由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，
由余弦定理可知．
解得c=1，c=﹣7（舍去）．
向量在方向上的投影：=ccosB=．
点评：本题考查两角和的余弦函数，正弦定理以及余弦定理同角三角函数的基本关系式等基本知识，考查计算能力转化思想．
19．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售
价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
考点：函数模型的选择与应用；利用导数研究函数的单调性．
专题：应用题．
分析：（Ⅰ）由f（5）=11代入函数的解析式，解关于a的方程，可得a值；
（Ⅱ）商场每日销售该商品所获得的利润=每日的销售量×销售该商品的单利润，可得日销售量的利润函数为关于x的三次多项式函数，再用求导数的方法讨论函数的单调性，得出函数的极大值点，从而得出最大值对应的x值．
解答：解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以+10=11，故a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量y=
所以商场每日销售该商品所获得的利润为
从而，f′（x）=10[（x﹣6）2+2（x﹣3）（x﹣6）]=30（x﹣6）（x﹣4）
于是，当x变化时，f（x）、f′（x）的变化情况如下表：
x （3，4） 4 （4，6）
f'（x） + 0 ﹣
f（x）单调递增极大值42 单调递减
由上表可得，x=4是函数f（x）在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点．
所以，当x=4时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
点评：本题函数解析式的建立比较容易，考查的重点是利用导数解决生活中的优化问题，属于中档题．
20．设等差数列{a n}的前项n和为S n，已知a5+a6=24，S11=143．已知数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2b n﹣2
（n∈N*）
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设数列{}的前n项和D n，求满足条件∀n∈N*，D n＜t的最小正整数．
考点：等差数列与等比数列的综合；数列的函数特性；数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用已知条件通过等差数列求数列{a n}，利用等比数列求解{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和D n，直接利用错位相减法求出D n，然后通过满足条件∀n∈N*，
D n＜t数列的单调性，求解最小正整数t．
解答：解：（1）设数列{a n}的公差为d，由S11=11a6=143，∴a6=13．又a5+a6=24，
解得a5=11，d=2，…（2分）
因此{a n}的通项公式是：a n=a5+（n﹣5）×2=2n+1，（n=1，2，3，…）．…（3分）
又当n=1，b1=2，
当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1=2b n﹣2b n﹣1…（5分）
∴b n=2b n﹣1（n≥2），由于b1=2≠0∴b n≠0，，
故{b n}是公比为2的等比数列，首项b1=2，∴…（6分）
（2）∴…（7分），
∴①
②
①﹣②得…（8分）
=
所以…（11分）
因为，所以数列{D n}为单调递增数列．
又，所以常数t的最小正整数为5．…（13分）
点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，错位相减法的应用，函数的特征，考查分析问题解决问题的能力．
21．已知函数f（x）=e x﹣x2﹣ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；
（Ⅲ）如果函数g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有两个不同的极值点x1，x2，证明：a＞．
考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；
（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜e x﹣x在R上恒成立，
利用导数求h（x）=e x﹣x的最小值，即可求得实数a的取值范围；
（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，
将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e x﹣x2﹣ax，
∴f′（x）=e x﹣x﹣a，
∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，
∵切线方程为y=2x+b，则k=2，
∴1﹣a=2，解得a=﹣1，
∴f（x）=e x﹣x2+x，
∴f（0）=1，即切点（0，1），
∴1=2×0+b，解得b=1；
（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即e x﹣x﹣a≥0恒成立，
∴a≤e x﹣x恒成立．
设h（x）=e x﹣x，则h′（x）=e x﹣1．
当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：
x （﹣∞，0） 0 （0，+∞）
h′（x）﹣ 0 +
h（x）减函数极小值增函数
∴h（x）min=h（0）=1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，
∴g（x）=e x﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=e x﹣ax2﹣ax，
∴g′（x）=e x﹣2ax﹣a，
∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），
∴e x﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2
当时，方程（*）不成立
则，令，则
由p′（x）=0得：
当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：
x
p（x）﹣﹣ 0 +
p′（x）单调递减单调递减极小值单调递增
∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；
当时，方程（*）若有两个解，则
所以，．
点评：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性．同时考查了不等式的证明，证明过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题．属于难题．。