题目 三次混合多项式曲线 和区间曲面的研究 杨勤民
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浙江大学硕士学位论文
概述
形状控制，弥补了一般三次参数曲线在曲线表示中的许多不足。Mazure M.-L.也 研究了此类曲线[14]。现在三次 C- 曲线已逐步发展为曲线和曲面造型中的有力工 具。本文以双曲函数和多项式函数为基，引入三次混合双曲多项式曲线并构造三 次 H-Bé zier 曲线，使得双曲函数曲线、双曲线和指数函数曲线也能利用控制多 边形作形状控制。 曲线的形状是曲线的重要几何特征，包括弯曲、奇点和拐点等。苏步青等首 次提出了计算几何中仿射不变量的概念[24]，采用经典代数几何的方法彻底的弄 清了平面三次参数曲线或曲线段上实奇点和实拐点的分布情况， 实现了对三次参 数曲线和三次 Bézier 曲线的形状控制，对于四次、五次以及 n 次的情况也作了 比较多的探讨，为研究参数曲线的几何特征开创了历史的先河。Wang[27], Kim[8] 和 Stone[23] 等相继进行了这方面的研究， Forrest[6]和 Sakai[19]研究了平面有理形式， Manocha[13] 和 Li[9-11]等对一般参数曲线的情况作了探讨，Monterde[16] 提出了控 制 n 次有理 Bé zier 曲线上奇点的方法。 本文第二章研究了三次 C- 曲线上拐点和奇点的分布情况。从广义摆线 (generalized cycloid)入手，分析其周期性，引入广义摆线的特征函数，从特征函 数出发分析了广义摆线上拐点和奇点存在的充要条件。接着分析了三次 C- 曲线 上拐点、尖点和重点存在的充要条件。在此基础上对三次 C-Bé zier 曲线的形状 进行了分类。 本文第三章引入平面三次混合双曲多项式曲线( 曲线段 )和三次 H-Bé zier 曲 线，采用与第二章中类似的方法分析了这些曲线上拐点和奇点存在的充要条件， 并以这些具有几何不变性的点为特征将曲线作了形状分类，取得了比较好的结 果。
II
浙江大学硕士学位论文
目录
目录
摘要 第一章 概述 ……………………………………………………………1
§1.1 计算机辅助几何设计及其主要研究内容 ………………………1 §1.2 CAGD 中的混合多项式曲线及其拐点和奇异点 ………………1 §1.3 CAGD 中的区间曲线曲面及其降阶逼近 ………………………2
This paper mainly deals with two problems in CAGD. One is hybrid polynomial curves, the other is interval curves and surfaces. We investigate the distribution of inflection points and singularities (cusps or loops) on planar cubic hybrid polynomial curves and present an efficient algorithm of bounding interval triangular Bernstein-Bé zier surfaces with lower degree interval triangular Bernstein- Bé zier surfaces. In chapter two, we obtain the conditions leading to inflection points and singularities on planar generalized cycloids (planar cubic hybrid triangular polynomial curves), cubic C-curves and cubic C-Bé zier curves according to an eigenfunction whose zeros correspond to the inflection points and cusps. In chapter three, the planar cubic hybrid hyperbolic polynomial curves and cubic H-Bé zier curves are introduced. We also investigate the conditions leading to points of inflexion or singularity for these curves. These results enable us to detect the interior inflection points and singularities on these curves and get an idea how to preserve the fair shape. In chapter four, an efficient algorithm of bounding interval triangular Bernstein-B é zier surfaces with lower degree interval triangular Bernstein- Bé zier surfaces is presented. The algorithm is based on linear programming techniques. An analytical method is also given for degree reduction of one order. The result of degree reduction approximation can be used for the purpose of data transmission among various CAD systems, as well as for the saving of computation time for some geometric operations.
第二章 三次 C-曲线上拐点和奇点的分布及其应用 ………………… 4
§2.1 广义摆线的特征函数 ……………………………………………4 §2.2 广义摆线的形状分类 ……………………………………………6 §2.3 三次 C- 曲线的形状分类 …………………………………………8 §2.4 三次 C-Bé zier 曲线的形状分类…………………………………10
第三章 平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类 ………………14
§3.1 三次混合双曲多项式曲线及其形状分类………………………14 §3.2 一段三次混合双曲多项式曲线的形状分类……………………17 §3.3 三次 H-Bézier 曲线的形状分类…… 曲面的降阶逼近…………………………… 22
§ 1.2 CAGD 中的混合多项式曲线及其拐点和奇异点
曲线和曲面是 CAGD 中的两项重要内容。曲线是曲面的基础，在 CAGD 中 最基本的曲线有 Bé zier 曲线、 B 样条曲线及其相应的有理形式曲线。1991 年张 纪文引入一种新型曲线——三次 C- 曲线[28-30] ，是以三角函数和幂函数组成的混 合基{sint ,cost ,t ,1|0≤t ≤α}代替三次参数曲线的幂基{t 3 ,t 2 ,t ,1}产生的混合多项式 参数曲线，其中 0<α≤π既是区间长度又是形状参数。张纪文在三次 C- 曲线的 基础上构造了三次 C-Ferguson 曲线、三次 C-Bé zier 曲线、三次 C-B-spline 曲线 等。这些曲线具有一般三次参数曲线的许多性质，并使得一些特殊曲线有了更简 单更直观的表示，如椭圆曲线、正弦曲线、余弦曲线等也能采用控制多边形来作 三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
III
浙江大学硕士学位论文
概述
第一章
概述
§ 1.1 计算机辅助几何设计及其主要研究内容
计算机辅助几何设计，简称为 CAGD (Computer Aided Geometric Design)。 Forrest 将其定义为研究几何外形信息 (点、线、面和体 )的计算机表示、分析与综 合。更完善一点的定义为对几何外形信息的表示、设计、显示、绘制、分析和规 格处理(包括数据结构、数据库、图形的信息方式与调整方式)。早期它是由数学 放样和外形设计的实际需要， 作为样条函数及函数逼近论等在飞机及船舶制造中 的实际应用而发展起来的。现在，它已与微分几何、代数几何、函数逼近论、拓 扑学、抽象代数、矩阵论、微分方程、最优化、数值分析等数学分支以及计算机 辅助设计 /加工 (CAD/CAM)、数据结构、数控(NC)、软件方法、计算机图形等 有了紧密联系，成了一个新兴的交叉学科与边缘学科。其应用范围包括航空、造 船、汽车、CAD/CAM、建筑设计、生物工程、医疗诊断、航天材料、电子工程、 机器人、服装鞋帽模型设计等技术领域。随着计算机图形学的发展，还广泛应用 于计算机视觉、地形地貌、军事作战模拟、动画制作、多媒体技术等领域。
§4.1 区间三角 Bézier 曲面……………………………………………22 §4.2 区间三角 Bézier 曲面的降阶……………………………………22 §4.3 分析法求解………………………………………………………26 §4.4 实例………………………………………………………………28
第五章 结论 ……………………………………………………………31 参考文献…………………………………………………………………32 致谢………………………………………………………………………39
关键词
计算机辅助几何设计、形状分类、拐点、奇点、重点、广义摆线、三次
C- 曲线、 三次 C-Bé zier 曲线、 三次混合双曲多项式曲线、 三次 H-Bézier 曲线、 区 间三角 Bézier 曲面、降阶逼近
三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
I
浙江大学硕士学位论文
Abstract
Abstract
硕 士 学 位 论 文
题目:三次混合多项式曲线
和区间曲面的研究
姓
名
杨勤民
学科、专业计算机图形学与计算机辅助几何设计 指导教师
汪国昭
教授
提交日期
2002.5
浙江大学硕士学位论文
摘要
摘要
混合多项式曲线和区间曲线曲面是近几年 CAGD 中研究的热点问题。本文 围绕这两方面作了一些探讨。一、给出了平面三次混合多项式曲线上奇点和拐点 存在的充分必要条件；二、设计了一种区间三角 Bézier 曲面的降阶逼近算法。 第二章给出了平面上广义摆线(平面三次混合三角多项式曲线)、三次C- 曲线 和三次C-Bé zier 曲线上拐点和奇点(包括尖点和重点) 存在的充分必要条件。第三 章引入平面三次混合双曲多项式曲线 (曲线段 )和三次 H-Bézier曲线，详细的讨论 了这些曲线上拐点和奇点(包括尖点和重点)存在的充分必要条件。采用的主要方 法是根据曲线的相对曲率定义了曲线的特征函数，它是一个二次多项式函数，其 零点对应于曲线上的拐点和奇点， 根据特征函数的零点分布规律很容易得到曲线 上拐点和奇点的分布规律。这些结果可用于检测拐点和奇点，也可用在曲线的光 顺插值中避免或排除多余拐点和奇点。 第四章给出了高次区间三角 Bézier 曲面的降阶逼近算法。主要采用了线性 规划方法，对降一阶情况还给出了分析求解方法。在工程中以低次的区间三角 Bézier 曲面逼近高次的区间三角 Bézier 曲面，可满足不同 CAD 系统间数据转换 的需要，也可使计算得到简化。
Key words ： computer aided geometric design, shape classification, inflection point, singularity, loop, generalized cycloid, cubic C-curve, cubic C-Bé zier curve, cubic hybrid hyperbolic polynomial curve, cubic H-Bé zier curve, interval triangular Bézier surface, approximate degree reduction 三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
浙江大学硕士学位论文
概述
形状控制，弥补了一般三次参数曲线在曲线表示中的许多不足。Mazure M.-L.也 研究了此类曲线[14]。现在三次 C- 曲线已逐步发展为曲线和曲面造型中的有力工 具。本文以双曲函数和多项式函数为基，引入三次混合双曲多项式曲线并构造三 次 H-Bé zier 曲线，使得双曲函数曲线、双曲线和指数函数曲线也能利用控制多 边形作形状控制。 曲线的形状是曲线的重要几何特征，包括弯曲、奇点和拐点等。苏步青等首 次提出了计算几何中仿射不变量的概念[24]，采用经典代数几何的方法彻底的弄 清了平面三次参数曲线或曲线段上实奇点和实拐点的分布情况， 实现了对三次参 数曲线和三次 Bézier 曲线的形状控制，对于四次、五次以及 n 次的情况也作了 比较多的探讨，为研究参数曲线的几何特征开创了历史的先河。Wang[27], Kim[8] 和 Stone[23] 等相继进行了这方面的研究， Forrest[6]和 Sakai[19]研究了平面有理形式， Manocha[13] 和 Li[9-11]等对一般参数曲线的情况作了探讨，Monterde[16] 提出了控 制 n 次有理 Bé zier 曲线上奇点的方法。 本文第二章研究了三次 C- 曲线上拐点和奇点的分布情况。从广义摆线 (generalized cycloid)入手，分析其周期性，引入广义摆线的特征函数，从特征函 数出发分析了广义摆线上拐点和奇点存在的充要条件。接着分析了三次 C- 曲线 上拐点、尖点和重点存在的充要条件。在此基础上对三次 C-Bé zier 曲线的形状 进行了分类。 本文第三章引入平面三次混合双曲多项式曲线( 曲线段 )和三次 H-Bé zier 曲 线，采用与第二章中类似的方法分析了这些曲线上拐点和奇点存在的充要条件， 并以这些具有几何不变性的点为特征将曲线作了形状分类，取得了比较好的结 果。
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浙江大学硕士学位论文
目录
目录
摘要 第一章 概述 ……………………………………………………………1
§1.1 计算机辅助几何设计及其主要研究内容 ………………………1 §1.2 CAGD 中的混合多项式曲线及其拐点和奇异点 ………………1 §1.3 CAGD 中的区间曲线曲面及其降阶逼近 ………………………2
This paper mainly deals with two problems in CAGD. One is hybrid polynomial curves, the other is interval curves and surfaces. We investigate the distribution of inflection points and singularities (cusps or loops) on planar cubic hybrid polynomial curves and present an efficient algorithm of bounding interval triangular Bernstein-Bé zier surfaces with lower degree interval triangular Bernstein- Bé zier surfaces. In chapter two, we obtain the conditions leading to inflection points and singularities on planar generalized cycloids (planar cubic hybrid triangular polynomial curves), cubic C-curves and cubic C-Bé zier curves according to an eigenfunction whose zeros correspond to the inflection points and cusps. In chapter three, the planar cubic hybrid hyperbolic polynomial curves and cubic H-Bé zier curves are introduced. We also investigate the conditions leading to points of inflexion or singularity for these curves. These results enable us to detect the interior inflection points and singularities on these curves and get an idea how to preserve the fair shape. In chapter four, an efficient algorithm of bounding interval triangular Bernstein-B é zier surfaces with lower degree interval triangular Bernstein- Bé zier surfaces is presented. The algorithm is based on linear programming techniques. An analytical method is also given for degree reduction of one order. The result of degree reduction approximation can be used for the purpose of data transmission among various CAD systems, as well as for the saving of computation time for some geometric operations.
第二章 三次 C-曲线上拐点和奇点的分布及其应用 ………………… 4
§2.1 广义摆线的特征函数 ……………………………………………4 §2.2 广义摆线的形状分类 ……………………………………………6 §2.3 三次 C- 曲线的形状分类 …………………………………………8 §2.4 三次 C-Bé zier 曲线的形状分类…………………………………10
第三章 平面三次混合双曲多项式曲线及其形状分类 ………………14
§3.1 三次混合双曲多项式曲线及其形状分类………………………14 §3.2 一段三次混合双曲多项式曲线的形状分类……………………17 §3.3 三次 H-Bézier 曲线的形状分类…… 曲面的降阶逼近…………………………… 22
§ 1.2 CAGD 中的混合多项式曲线及其拐点和奇异点
曲线和曲面是 CAGD 中的两项重要内容。曲线是曲面的基础，在 CAGD 中 最基本的曲线有 Bé zier 曲线、 B 样条曲线及其相应的有理形式曲线。1991 年张 纪文引入一种新型曲线——三次 C- 曲线[28-30] ，是以三角函数和幂函数组成的混 合基{sint ,cost ,t ,1|0≤t ≤α}代替三次参数曲线的幂基{t 3 ,t 2 ,t ,1}产生的混合多项式 参数曲线，其中 0<α≤π既是区间长度又是形状参数。张纪文在三次 C- 曲线的 基础上构造了三次 C-Ferguson 曲线、三次 C-Bé zier 曲线、三次 C-B-spline 曲线 等。这些曲线具有一般三次参数曲线的许多性质，并使得一些特殊曲线有了更简 单更直观的表示，如椭圆曲线、正弦曲线、余弦曲线等也能采用控制多边形来作 三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
III
浙江大学硕士学位论文
概述
第一章
概述
§ 1.1 计算机辅助几何设计及其主要研究内容
计算机辅助几何设计，简称为 CAGD (Computer Aided Geometric Design)。 Forrest 将其定义为研究几何外形信息 (点、线、面和体 )的计算机表示、分析与综 合。更完善一点的定义为对几何外形信息的表示、设计、显示、绘制、分析和规 格处理(包括数据结构、数据库、图形的信息方式与调整方式)。早期它是由数学 放样和外形设计的实际需要， 作为样条函数及函数逼近论等在飞机及船舶制造中 的实际应用而发展起来的。现在，它已与微分几何、代数几何、函数逼近论、拓 扑学、抽象代数、矩阵论、微分方程、最优化、数值分析等数学分支以及计算机 辅助设计 /加工 (CAD/CAM)、数据结构、数控(NC)、软件方法、计算机图形等 有了紧密联系，成了一个新兴的交叉学科与边缘学科。其应用范围包括航空、造 船、汽车、CAD/CAM、建筑设计、生物工程、医疗诊断、航天材料、电子工程、 机器人、服装鞋帽模型设计等技术领域。随着计算机图形学的发展，还广泛应用 于计算机视觉、地形地貌、军事作战模拟、动画制作、多媒体技术等领域。
§4.1 区间三角 Bézier 曲面……………………………………………22 §4.2 区间三角 Bézier 曲面的降阶……………………………………22 §4.3 分析法求解………………………………………………………26 §4.4 实例………………………………………………………………28
第五章 结论 ……………………………………………………………31 参考文献…………………………………………………………………32 致谢………………………………………………………………………39
关键词
计算机辅助几何设计、形状分类、拐点、奇点、重点、广义摆线、三次
C- 曲线、 三次 C-Bé zier 曲线、 三次混合双曲多项式曲线、 三次 H-Bézier 曲线、 区 间三角 Bézier 曲面、降阶逼近
三次混合多项式曲线和区间曲面的研究
I
浙江大学硕士学位论文
Abstract
Abstract
硕 士 学 位 论 文
题目:三次混合多项式曲线
和区间曲面的研究
姓
名
杨勤民
学科、专业计算机图形学与计算机辅助几何设计 指导教师
汪国昭
教授
提交日期
2002.5
浙江大学硕士学位论文
摘要
摘要
混合多项式曲线和区间曲线曲面是近几年 CAGD 中研究的热点问题。本文 围绕这两方面作了一些探讨。一、给出了平面三次混合多项式曲线上奇点和拐点 存在的充分必要条件；二、设计了一种区间三角 Bézier 曲面的降阶逼近算法。 第二章给出了平面上广义摆线(平面三次混合三角多项式曲线)、三次C- 曲线 和三次C-Bé zier 曲线上拐点和奇点(包括尖点和重点) 存在的充分必要条件。第三 章引入平面三次混合双曲多项式曲线 (曲线段 )和三次 H-Bézier曲线，详细的讨论 了这些曲线上拐点和奇点(包括尖点和重点)存在的充分必要条件。采用的主要方 法是根据曲线的相对曲率定义了曲线的特征函数，它是一个二次多项式函数，其 零点对应于曲线上的拐点和奇点， 根据特征函数的零点分布规律很容易得到曲线 上拐点和奇点的分布规律。这些结果可用于检测拐点和奇点，也可用在曲线的光 顺插值中避免或排除多余拐点和奇点。 第四章给出了高次区间三角 Bézier 曲面的降阶逼近算法。主要采用了线性 规划方法，对降一阶情况还给出了分析求解方法。在工程中以低次的区间三角 Bézier 曲面逼近高次的区间三角 Bézier 曲面，可满足不同 CAD 系统间数据转换 的需要，也可使计算得到简化。
Key words ： computer aided geometric design, shape classification, inflection point, singularity, loop, generalized cycloid, cubic C-curve, cubic C-Bé zier curve, cubic hybrid hyperbolic polynomial curve, cubic H-Bé zier curve, interval triangular Bézier surface, approximate degree reduction 三次混合多项式曲线和区间曲面的研究