2017年江苏常州中考数学解析版

2017年江苏常州中考数学解析版
2017年江苏省常州市中考数学试卷
⼀、选择题
1．（2017·常州，1题，3分）－2的相反数是（）
A ．1
2
-
B ．
12
C ．±2
D ．2
2．（2017·常州，2题，3分）下列运算正确的是（）
A ．2m m m ?=
B ．33()mn mn =
C ． 236()m m =
D ．623m m m ÷=
3．（2017·常州，3题，3分）右图是某个⼏何体的三视图，则该⼏何体是（）
A ．圆锥
B ．三棱柱
C ．圆柱
D ．三棱锥
4．（2017·常州，4题，3分）计算
11
x x x
-+的结果是（） A ．
2
x x
+ B ．
2x
C ．
12
D ．1
5．（2017·常州，5题，3分）若3x ＞－3y ，则下列不等式中⼀定成⽴的是（）
A ．x ＋y ＞0
B ．x －y ＞0
C ．x ＋y ＜0
D ．x －y ＜0
6．（2017·常州，6题，3分）如图，已知直线AB ，CD 被直线AE 所截，AB ∥BD ，∠1＝60°，则∠2的度数是（）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
6．（2017·常州，6题，3分）如图，已知直线AB ，CD 被直线AE 所截，AB ∥BD ，∠1＝60°，则∠2的度数是（）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
俯视图
左视图
主视图
B
8．（2017·常州，8题，3分）如图，已知□ABCD 的四个内⾓的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，连接AC ，若EF ＝2，FG ＝GC ＝5，则AC 的长是（）
A ．12
B ．13
C
．
D
．9．（2017·常州，9题，4分）计算：02+(2)-- ．
10．（2017·常州，10题，4
x 的取值范围是． 11．（2017·常州，11题，4分）肥皂泡的泡壁厚⼤约是0．0007mm ，则数据0．0007⽤科学计数法表⽰为．
12．（2017年常州，12题，4分）分解因式：22ax ay -= ．
13．（2017·常州，13题，4分）已知x ＝1是关于x 的⽅程2230ax x -+=的⼀个根，则a ＝．
14．（2017·常州，14题，4分）已知圆锥的底⾯半径是1，母线长是3，则圆锥的侧⾯积是．
15．（2017·常州，15题，4分）如图，已知在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂⾜为E ，交AC 于点D ，若AB ＝6，AC ＝9，则△ABD 的周长是．
16．（2017·常州，16题，4分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为弧BD 的中点．若∠DAB ＝40°，则∠ABC ＝ °．
B
17．（2017·常州，17题，4分）已知⼆次函数23y ax bx =+-⾃变量x 的部分取值和对应的函数值y 如下表：则在实数范围
的取值范围是．18．（2017·常州，18题，4分）如图，已知点A 是⼀次函数1
(0)2
y x x =
≥图象上的⼀点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上⼀点（B 在A 上⽅），在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直⾓三⾓形ABC ，反⽐例函数k
y x
=（x ＞0）的图象过点B 、C ，若△OAB 的⾯积为6，则△ABC 的⾯积是
．
19．（2017·常州，19题，6分）先化简，再求值：(2)(2)(1)x x x x +---，其中x ＝－2． 20．（2017·常州，20题，8分）解⽅程和不等式组： 2533
(1)
3;22
26(2)415x x x x x x --=----≤??
+
21．（2017·常州，21题，8分）为了了解某校学⽣的课余兴趣爱好情况，某调查⼩组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其它”四个选项，⽤随机抽样的⽅法调查了该校部分学⽣的课余兴趣爱好情况（每个学⽣必须选⼀项且只能选⼀项），并根据调查结果⼋进制了如下统计图：某校学⽣课余兴趣爱好抽样调查条形统计图
某校学⽣课余兴趣爱好抽样调查扇形统计图
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次抽样调查中的样本容量是；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学⽣2000名，请根据统计结果估计该校课余爱好为“打球”的学⽣⼈数．22．（2017·常州，22题，8分）⼀只不透明的袋⼦中装有4个⼤⼩、质地都相同的乒乓球，球⾯上分别标有数字1、2、3、4．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球⾯数字为1的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，求两次摸出的乒乓球球⾯上数字之和为偶数的
23．（2017·常州，23题，8分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD ＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD;
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．
24．（2017·常州，24题，8分）某校计划购买⼀批篮球和⾜球，已知购买2个篮球和1个⾜球共需320元，购买3个篮球和2个⾜球共需540元．
（1）求每个篮球和每个⾜球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费⽤不超过5500元，那么最多可购买多少个⾜球？
25．（2017·常州，25题，8分）如图，已知⼀次函数y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反⽐例函数m
y x
=
（x ＜0）的图象交于点B （－2，n ），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D （3－3n ，1）是该反⽐例函数图象上⼀点．
（1）求m 的值；
（2）若∠DBC ＝∠ABC ，求⼀次函数y kx b =+的表达式．
26．（2017·常州，26题，10分）如图1，在四边形ABCD 中，如果对⾓线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等⾓线四边形．
（1）①在“平⾏四边形、矩形、菱形”中，⼀定是等⾓线四边形（填写图形名称）；②若M 、N 、P 、Q 分别是等⾓线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当对⾓线AC 和BD 还需要满⾜时，四边形MNPQ 是正⽅形；
（2）如图2，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平⾯内⼀点．①若四边形ABCD 是等⾓线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的⾯积是；
②设点E 是以C 为圆⼼，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等⾓线四边形，写出四边形ABCD ⾯积的最⼤值，并说明理由．
2017年江苏省常州市中考数学试卷
⼀、选择题
1．（2017·常州，1题，3分）－2的相反数是（）
A ．1
2
-
C ．±2
D ．2
D ，点拨：本题考查了实数的相反数，掌握相反数的概念是解题的关键. 由相反数的意义－2的相反数是2，故选D ．2．（2017·常州，2题，3分）下列运算正确的是（）
A ．2m m m ?=
B ．33()mn mn =
C ． 236()m m =
D ．623m m m ÷=
C ，点拨：本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键.
2m m m ?=故A 错误；333()mn m n =故B 错误；C 正确；624m m m ÷=故D 错误．
【易错警⽰】同底数幂相乘，同数幂相除，幂的乘⽅，应该把它们的的指数分别相加，相减，相乘，积的乘⽅需要把积⾥的每个因式都乘⽅，不能混淆这些运算.
3．（2017·常州，3题，3分）右图是某个⼏何体的三视图，则该⼏何体是（）
A ．圆锥
B ．三棱柱
C ．圆柱
D ．三棱锥
B ，点拨：本题考查了⼏何体的三视图，掌握常见⼏何体的三视图是解题的关键. 由俯视图知是三棱柱或三棱锥，再由主视图排除三棱锥，故本题选B ． 4．（2017·常州，4题，3分）计算
11
x x x
-+的结果是（） A ．
2
x x
+ B ．
2x
C ．
D ，点拨：
1111
1x x x x x
--++==．【易错警⽰】同分母的分数相加减，分线不变，把分⼦进⾏相加减，⽽不是把分母去掉. 5．（2017·常州，5题，3分）若3x ＞－3y ，则下列不等式中⼀定成⽴的是（）
A ．x ＋y ＞0
B ．x －y ＞0
C ．x ＋y ＜0
D ．x －y ＜0
A ，点拨：本题考查了不等式的变形，掌握不等式的性质是解题的关键. 由3＞－3，得3＋3＞0，故选A .
6．（2017·常州，6题，3分）如图，已知直线AB ，CD 被直线AE 所截，AB ∥BD ，∠1＝60°，则∠2的度数是（）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
俯视图
左视图
主视图
C ，点拨：本题考查了与平⾏线有关的⾓的计算，掌握平⾏线的性质是解题的关键. ∵AB ∥B
D ，∠1＝60°，∴∠3＝∠2＝60°，∴∠2＝180°－∠3120°，故选C .
7．（2017·常州，7题，3分）如图，已知矩形ABCD 的顶点A 、D 分别落在x 轴、y 轴上，OD ＝2OA ＝6，AD ∶AB ＝3∶1，则点C 的坐标是（）
A ．（2，7）
B ．（3，7）
C ．（3，8）
D ．（4，8）
A ，点拨：本题考查了与矩形有关的点的坐标，构造相似三⾓形是解题的关键. 如图，作CE ⊥y 轴，垂⾜为E ．
∵OD ＝2OA ＝6，∴OA ＝3．
∵∠ODA ＋∠CDE ＝∠CDE ＋∠DCE ＝90°，∴∠∠ODA ＝∠DCE ，∵∠DOA ＝∠CED ＝90°，∴Rt △CED ∽Rt △DOA ，∴CE DE CD DO AO AD ==，⼜∵CD ＝AB ，∴1
,633
CE DE ==∴CE ＝2，DE ＝1，∴
OE ＝7，∴C 点的坐标为（2，7）．
【举⼀反三】在直⾓坐标系中，碰到直⾓，我们经常通过作垂线，构造全等三⾓形或是相似三⾓形，然后利⽤全等三⾓形或是相似三⾓形的性质来进⾏计算.
8．（2017·常州，8题，3分）如图，已知□ABCD 的四个内⾓的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H ，连接AC ，若EF ＝2，FG ＝GC ＝5，则AC 的长是（）
B
A ．12
B ．13
C ．
D ．B ，点拨：本题考查了与特殊四边形有关的线段长度的计算，掌握好相似三⾓形的判定和勾股定理是解题的关键.
∵AE 、BE 分别是□ABCD 的内⾓∠BAD 和∠ABC 的平分线，∴∠AEB ＝90°，同理，∠AFD ＝∠BHC ＝∠DGC ＝90°，∴四边形EFGH 是矩形．∵EF ＝2，FG ＝GC ＝5，∴AE ＝GC ＝5，CH ＝CG ＋GH ＝CG ＋EF ＝7，EH ＝FG ＝5．∵EF ∥CH ，∴AE EL
CH HL
=
，即575-EL EL =，解得EL ＝2512，∴HL ＝5－2535
1212=
．∴
AL =
71312CL ?==，∴AC ＝513+713
=1312
．
【举⼀反三】求线段的长度的⼀般⽅法： 1.⽤线段的和差来计算；
2.⽤相似三⾓形的对应边成⽐较来求；
3.在直⾓坐标系中⽤两点间距离公式；
4.⽤勾股定理来求；
5.解直⾓三⾓形来求；
6.⽤⾯积法来求.
本题综合运⽤了相似三⾓形和勾股定理. ⼆、填空题
9．（2017·常州，9题，4分）计算：02+(2)-- ．
3 ，点拨：本题考查了实数的运算，掌握绝对值的概念和零指数幂的概念是解题的关键. 原式＝2＋1＝3．
【易错警⽰】0(2)-＝1，⽽不是0.
10．（2017·常州，10题，4x 的取值范围是． x ≥2．，点拨：本题考查了函数⾃变量的取值范围，掌握函数有意义的条件是解题的关键。

∵20x -≥，∴x ≥2．
【⽅法技巧】函数有意义的条件是⼆次根式的被开⽅数是⾮负数，分母不为零，零指数幂的底数不为零等. 11．（2017·常州，11题，4分）肥皂泡的泡壁厚⼤约是0．0007mm ，则数据0．0007⽤科学计数法表⽰为．
4710-? ，点拨：本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的⽅法是解题的关键。

0．0007＝4710-?，故填：4710-?。

【易错警⽰】⼩于1的数的科学记数法10上的指数应该是负数，第⼀个⾮零的数前⾯有⼏个零，指数就是负⼏. 12．（2017年常州，12题，4分）分解因式：22ax ay -= ．
()()a x y x y +- ，点拨：本题考查了因式分解，掌握因式分解的⽅法是解题的关键。

2222()()()ax ay a x y a x y x y -=-=+-．【⽅法技巧】因式分解⼀般是先提公因式，再运⽤公进⾏分解，注意因式分解⼀定要分解到不能再分解为⽌. 13．（2017·常州，13题，4分）已知x ＝1是关于x 的⽅程2230ax x -+=的⼀个根，则a ＝．
－1 ，点拨：本题考查了⽅程根的概念，掌握⽅程根的性质是解题的关键. 把x ＝1代⼊⽅程2230ax x -+=，得 1.a =-
【举⼀反三】⼀个数是⽅程的根，则这个数就满⾜⽅程，也就是说，只要是⽅程的根，我们就把这个数代⼊⽅程进⾏计算. 14．（2017·常州，14题，4分）已知圆锥的底⾯半径是1，母线长是3，则圆锥的侧⾯积是．
3π，点拨：本题考查了与圆锥有关的计算，掌握扇形的⾯积公式是解题的关键.
圆锥的侧⾯积为133.rl πππ=??=
【⽅法技巧】圆锥的侧⾯积是扇形，圆⾯圆的周长是扇形的弧长，这是计算圆锥侧⾯积要弄清楚的问题.
15．（2017·常州，15题，4分）如图，已知在△ABC 中，DE 是BC 的垂直平分线，垂⾜为E ，交AC 于点D ，若AB ＝6，AC ＝9，则△ABD 的周长是．
15 ，点拨：本题考查了与线段垂直平分线有关的三⾓形周长的计算，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.
∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝D C．∴△ABD的周长是AB＋DB＋DA＝AB＋DC＋DA＝AB＋AC＝6＋9＝15．
【⽅法技巧】本题利⽤线段平直平分线的性质把△ABD的周长⽤AB和AC两条线段来表⽰，从⽽得到结果. 16．（2017·常州，16题，4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点．若∠DAB＝40°，则∠ABC＝°．
70°，点拨：本题考查了与圆的内接四边形有关的⾓的计算，掌握圆的基本性质是解题的关键. 【⽅法技巧】看到圆的直径，就想到它所对的圆周⾓是直⾓，看到弧的中点就想到等弧对相等的圆周⾓.
连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵点C为弧BD的中点，∴∠CAB＝1
2
∠DAB＝
20°，∴∠ABC＝70°．
17．（2017·常州，17题，4分）已知⼆次函数23
y ax bx
=+-⾃变量x的部分取值和对应的函数值y如下表：则在实数范围
的取值范围是．
x ＜－2或x ＞4 ，点拨：本题考查了⼆次函数的函数值⼤⼩的判定，掌握⼆次函数的对称性是解题的关键.
由表中⾃变量与函数值的对应可以知道，⼆次函数23y ax bx =+-的顶点坐标为（1，－4），抛物线开⼝向上，当x ＝4时，y ＝5，∴y －5＞0成⽴的x 的取值范围是x ＜－2或x ＞4．
【⽅法技巧】本题也可以先求出⼆次函数的解析式，然后再解不等式，但充分利⽤表格数据的对称性来直接求解⽐较简单.
18．（2017·常州，18题，4分）如图，已知点A 是⼀次函数1
(0)2
y x x =
≥图象上的⼀点，过点A 作x 轴的垂线l ，B 是l 上⼀点（B 在A 上⽅），在AB 的右侧以AB 为斜边作等腰直⾓三⾓形ABC ，反⽐例函数k
y x
=（x ＞0）的图象过点B 、C ，若△OAB 的⾯积为6，则△ABC 的⾯积是．
3 ，点拨：本题考查了与反⽐例函数有关折三⾓形⾯积的计算，⽤参数来表⽰关键点的坐标是解题的关键.∵点A 是⼀次函数
1(0)2y x x =
≥图象上，设点A （,2
m
m ），
∴
162AB m ?=，∴12
AB m
=．∵△ABC 是等腰直⾓三⾓形，作CD ⊥AB ，垂⾜为D ，∴CD ＝162AB m =，∴B 12(,)2m m m +，C 66(,)2m m m m ++，∵反⽐例函数k
y x =（x ＞0）的图象过点B 、C ，∴1266()()()22m m m m m m m +=++，整理得2363m =．∴21112636
3.22ABC S AB CD m m m
====
【⽅法技巧】点在函数的图象上，设它的横坐标为m ，然后⽤函数的代数式表⽰出它的纵坐标，再利⽤图象的性质或是图形的性质表⽰出其它关键点的坐标，这是解这类题常⽤的⽅法. 三、解答题
19．（2017·常州，19题，6分）先化简，再求值：(2)(2)(1)x x x x +---，其中x ＝－2．解：原式＝2244x x x x --+=-．
把x ＝－2代⼊，得原式＝－2－4＝－6．
20．（2017·常州，20题，8分）解⽅程和不等式组： 2533
(1)
3;22
26(2)415x x x x x x --=----≤??
+
解：（1）⽅程两边同乘以x －2，得25333(2)x x x -=---，解得，x ＝4．
当x ＝4时，x －2≠0，所以x ＝4是原分式⽅程的解．
（2）解各个不等式，得3
,1x x ≥-??
所以不等式组的解是－3≤x ＜1．，点拨：（1）先把分式⽅程转化为整式⽅程，解整式⽅程，验根，得⽅程的解；（2）先分别解两个不等式，然后再求它们的公共解.
【易错警⽰】解分式⽅程容易忽视验根的步骤，解不等式容易⽤错不等式的性质三.
21．（2017·常州，21题，8分）为了了解某校学⽣的课余兴趣爱好情况，某调查⼩组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其它”四个选项，⽤随机抽样的⽅法调查了该校部分学⽣的课余兴趣爱好情况（每个学⽣必须选⼀项且只能选⼀项），并根据调查结果⼋进制了如下统计图：某校学⽣课余兴趣爱好抽样调查条形统计图
某校学⽣课余兴趣爱好抽样调查扇形统计图
根据统计图所提供的信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中的样本容量是；（2）补全条形统计图；
（3）该校共有学⽣2000名，请根据统计结果估计该校课余爱好为“打球”的学⽣⼈数．解：（1）由30÷30%＝100（⼈），填空：100；
（2）“其它”的⼈数：100×10%＝10（⼈），故“打球”⼈数为100－30－20－10＝40（⼈）．
补全条形统计图：
（3）“打球”占抽查⼈数的⽐是40%，估计2000名学⽣中课余爱好为“打球”的学⽣⼈数为2000×40%＝800（⼈）．
，点拨：（1）由阅读的⼈数为30，占的百分⽐为30%，可得样本容量；
（2）其它⼈数⽤样本容量乘以它的百分数，⽤样本容量减去阅读的⼈数，书法的⼈数和其它的⼈数可得打球的⼈数；（3）⽤样本估计总体.
【举⼀反三】统计图中相关量的计算⽅法
（1）条形统计图：⼀般涉及补图，也就是求未知组的频数，⽅法如下：①未知组频数＝样本总量－已知组频数之和；②未知组频数＝样本容量×该组所占样本百分⽐；
（2）扇形统计图：⼀般涉及求未知组的百分⽐或其所占圆⼼⾓的度数，⽅法如下：①未知组百分⽐＝1－已知组百分⽐之和；
②未知组百分⽐＝
样本容量
未知数组的频数
；
③若求未知组在条形统计图中圆⼼⾓的度数，利⽤360o×其所占样本百分⽐即可。

22．（2017·常州，22题，8分）⼀只不透明的袋⼦中装有4个⼤⼩、质地都相同的乒乓球，球⾯上分别标有数字1、2、3、4．
（1）搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球⾯数字为1的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，求两次摸出的乒乓球球⾯上数字之和为偶数的概率．解：（1）1
4
P
①；（2）画树状图如下：
总结果数为9，两次球⾯数字之和为偶数的共有4次，
所以，
4
9
P=
球⾯上数字之和为偶数
．
，点拨：（1）从袋⼦⾥任意摸出1个球，是⼀步事件，直接利⽤公式进⾏计算；
（2）本⼩题是⼆步事件，⽤树状图画出所有的等可能事件，再找出两数数字之和为偶数情形，最后代⼊公式计算.
【易错警⽰】本题需要注意的是摸出的球，不放回，如果忽略这个条件就错了. 23．（2017·常州，23题，8分）如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD ＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE．
（1）求证：AC＝CD;
（2）若AC＝AE，求∠DEC的度数．
解：（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°，∴∠BCA＝∠EC D．
在△BCA和△ECD中，
BCA ECD
BAC D
BC CE
∠=∠
∠=∠
=
，∴△BCA≌△ECD，
∴AC＝CD;
(2)∵AC＝AE，∴∠AEC＝∠ACE．
⼜∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴△ACD是等腰直⾓三⾓形，∴∠DAC＝45°，
∴∠AEC＝1
2
(180°－∠DAC)＝
1
2
(180°－45°)，
∴∠DEC＝180°－∠AEC＝180°－1
2
(180°－45°)＝112.5°．
，点拨：（1）利⽤⾓⾓边证明△BCA≌△ECD即要得AC＝CD；
（2）利⽤（1）的结论，得出△ACD是等腰直⾓三⾓形，然后利⽤等腰三⾓形的性质即可求出∠DEC的度数.
【⽅法技巧】本类题两⼩题，题⼲都⼀样，在解决第（2）问时，⼀定需要⽤到第（1）的结论。

24．（2017·常州，24题，8分）某校计划购买⼀批篮球和⾜球，已知购买2个篮球和1个⾜球共需320元，购买3个篮球和2个⾜球共需540元．
（1）求每个篮球和每个⾜球的售价；
（2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费⽤不超过5500元，那么最多可购买多少个⾜球？解：（1）设每个篮球和每个⾜球的售价分别是x、y元，则有：
232032540x y x y +=??+=?，解⽅程组，得100
120x y =??
=?
，即，每个篮球和每个⾜球的售价分别是100、120元；
（2）设学校购买篮球m 个，则需要购买⾜球50－m 个，则有： 100m ＋120（50－m ）≤5500，解得，m ≥25．所以，⾄少购买25个篮球，则最多购买25个⾜球．
，点拨：（1）设每个篮球和每个⾜球的售价分别是x 、y 元，根据两次购买花的钱可得⼆元⼀次⽅程组，解这个⽅程组即可；
（2）根据总费⽤不超过5500元，得不等式，解不等式可得答案.
【⽅法技巧】本题考查了⼆元⼀次⽅程组和⼀元⼀次不等的应⽤，解题的关键是读出题⽬中的相等关系和不等关系，然后⽤代数式把它们表⽰出来.
25．（2017·常州，25题，8分）如图，已知⼀次函数y kx b =+的图象与x 轴相交于点A ，与反⽐例函数m
y x
=
（x ＜0）的图象交于点B （－2，n ），过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，点D （3－3n ，1）是该反⽐例函数图象上⼀点．
（1）求m 的值；
（2）若∠DBC ＝∠ABC ，求⼀次函数y kx b =+的表达式．解:（1）∵点B （－2，n ）、点D （3－3n ，1）在反⽐例函数m
y x
=（x ＜0）图象上，∴233m n n =-=-，∴3, 6.n m ==-
（2）由（1）得，点B （－2，3），D （－6，1），
设直线BD 的表达式为y px q =+，则有3216p q p q =-+??=-+?，解得124
p q ?
=
=?，
∴直线BD 的表达式为1
42
y x =+．
令1
40,82
y x x =
+=∴=-，∴直线BD 与x 轴相交于点E （－8，0），即CE ＝8．
⼜∵BC ⊥x 轴于点C ，∠DBC ＝∠ABC ，∴AC ＝CE ＝8，∴AO ＝6，即点A (6，0)，则有：3206k b k b =-+??=+?，解得38
94
k b ?=-=
，
∴⼀次函数y kx b =+的表达式为39
84
y x =-+．
，点拨：（1）把点B （－2，n ）、点D （3－3n ，1）的坐标代⼊反⽐例函数中可求出m ，n 的值；（2）由∠DBC ＝
∠ABC ，可得A 点坐标，然后⽤待定系数法可求出直线AB 的解析式。

【⽅法技巧】（1）点在函数的图象上，则点的坐标就适合函数的解析式；（2）要求直线的解析式，需要求出两个点的坐标，把⾓的相等关系转化为线段的关系，从⽽求出A 点的坐标是解题的关键. 26．（2017·常州，26题，10分）如图1，在四边形ABCD 中，如果对⾓线AC 和BD 相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等⾓线四边形．
（1）①在“平⾏四边形、矩形、菱形”中，⼀定是等⾓线四边形（填写图形名称）；②若M 、N 、P 、Q 分别是等⾓线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当对⾓线AC 和BD 还需要满⾜时，四边形MNPQ 是正⽅形；
（2）如图2，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，D 为平⾯内⼀点．①若四边形ABCD 是等⾓线四边形，且AD ＝BD ，则四边形ABCD 的⾯积是；
②设点E 是以C 为圆⼼，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED 是等⾓线四边形，写出四边形ABCD ⾯积的最⼤值，并说明理由．
解：（1）①矩形；②垂直，理由如下：
如图3，∵M 、N 、P 、Q 分别是等⾓线四边形ABCD 四边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，AC ＝BD ，
∴
11
,22
MN AC PQ NP BD QM =
===，∴等⾓线四边形ABCD 的四边中点连线围成的四边形MNPQ 是菱形，
当AC ⊥BD 时，∵MN ∥AC ，MQ ∥BD ，∴∠MNQ 是直⾓，∴四边形MNPQ 是正⽅形；（2
）①3，理由如下：
∵∠ABC ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，∴AC ＝5．
如图4，作DE ⊥AB ，垂⾜为E ．∵AD ＝BD ＝AC ＝5，∴1
22
AE BE AB ===
，∴DE ===
∴11222ADE S AE DE ?=
=
11
()3)2322
DEBC S DE BC BE =+?=?梯形，∴四边形ABCD
的⾯积是+3ADE DEBC S S ?=梯形;
②如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，设∠DOA ＝α，则DM ＝OD sin α，BN ＝OB
sin α，
∴11
sin sin 22
ACD ABC S S S AC OD AC OB ??=+=?α+?αA B C D ＝
1
sin 2
AC BD ?α当AC ＝BD 时，则当α＝90°时，四边形ABCD 的⾯积最⼤，
如下图，当四边形ABED 是等⾓线时，BD ＝AE ，当AE 最⼤，⽤AE ⊥BD 时，四边形ABED 的⾯积为最⼤。

A
C
由于点E 在⊙C 上，∴AE 的最⼤值为6，即BD 为6.
当AC ⊥BD ，BD ＝6，AC ＝5时，四边形ABCD 的⾯积为最⼤，等于1
65=152
. 答：四边形ABCD ⾯积的最⼤值为15 .
，点拨：（1）①根据特殊四边形对⾓线的性质可知等⾓线四边形；②由于对⾓线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正⽅形，故填空垂直；
（2）①把四边形的⾯积分割成△ADE 和梯形BDCE 来求即可；②等⾓线四边形只有当对⾓线互相垂直时它的⾯积就最⼤.
【⽅法技巧】本题中得出：在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，设∠DOA ＝α，则它的⾯积为：
1
sin 2
AC BD ?α很重要，有了这个公式，才能继续探究等⾓线四边形的⾯积的最⼤值. 27．（2017·常州，27题，10分）如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，已知⼆次函数21
2
y x bx =-+的
图象过点A （4，0），顶点为B ，连接AB 、BO ．（1）求⼆次函数的表达式；
（2）若点C 是BO 的中点，点Q 在线段AB 上，设点B 关于直线CQ 的对称点为B ′，当△OCB ′为等边三⾓形时，求BQ 的长度；
（3）若点D 在线段BO 上，OD ＝2DB ，点E 、F 在△OAB 的边上，且满⾜△DOF 与△DEF 全等，求点E 的坐标．
A
解：（1）把点A （4，0）代⼊212y x bx =-+中，得21
0(4)42b =-?+，∴b ＝2．
∴⼆次函数的表达式为21
22
y x x =-+；
（2）如图1，连接BB ′，
∵21
22
y x x =-+，∴对称轴是x ＝2，B (2，2)，
∴△AOB 为等腰直⾓三⾓形，∴BO ＝OBA ＝90°．∵△OCB ′为等边三⾓形，点C 是BO 的中点，
∴∠OCB ′＝60°，BC ＝OC ＝OB ′BCB ′＝120°，
⼜∵点B 关于直线CQ 的对称点为B ′，∴CQ 平分∠BCB ′，BC ＝B ′C ，
∴∠CB ′B ＝30°，∴∠OB ′B ＝90°，∴B ′B
∴△B ′BO ≌△QBC ，∴BQ ＝B ′B ;
（3）①如图2，作DF ⊥OA ，垂⾜为F ，截取FE ＝FO ，此时，等腰直⾓△DOF 与等腰直⾓△DEF 全等，
∵OD ＝2233BO =?43OF EF ==，∴E (8,03
)
②如图3，作DF ⊥OA ，垂⾜为F ，DE ∥OA 交AB 于点E ，∵OD ＝2DB ，AO ＝4，4
3
OF =
，。