2024年高考适应性训练数学试题(三)

试卷类型: A
2024年高考适应性训练
数 学 试 题 （三）
本试卷共19题，满分150分，共6页．考试用时120分钟． 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。

1. 已知集合(){}2
,A x y y x =
=，集合(){},B x y y x ==，则集合A
B 子集的个数为
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 2. 小王夫妇开设了一家早餐店，经统计，发现每天茶叶蛋的销量()
2100050X
N ，（单
位：个），估计300天内每天茶叶蛋的销量约在950到1100个的天数大约为 （附：若随机变量()2
X N
μσ～,，则()0.6827P X μσμσ-≤≤+≈，
()220.9545P X μσμσ-≤≤+≈，()330.9973P X μσμσ-≤≤+≈）
A ．236
B ．246
C ．270
D ．275
3. 已知单位向量,a b 满足1-=a b ，则a 在b 方向上的投影向量为
A.
1
2
b B. b
C.
12
a D. -a
A. (1.5,2)
B. (2,2.5)
C. (2.5,3)
D. (3,3.5) 5. 已知()()2
f x x
g x =为定义在R 上的偶函数，则函数()g x 的解析式可以为
A. ()221ln 1x g x x +=-
B. ()2
121
x
g x =-+ C. ()22,0,
,0
x x x g x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩ D. ()|2||2|g x x x =--+
6. 将函数()πcos 26f x x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭图象上的所有点向左平移5π6
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则
A ．()2πcos 23g x x ⎛
⎫=-
⎪⎝⎭
B ．()g x 在ππ,33⎡
⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 C ．()g x 在π0,3⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
D ．直线π
4
x =
是()g x 图象的一条对称轴 7. 设0.5
0.2
a =，0.2
0.5
b =，0.5log 0.2
c =，则
A. a c b >>
B. c b a >>
C. c a b >>
D. b c a >>
8． 已知圆2
22 ()2
p E x y r +
+=:与抛物线22(0)C y px p =>:相交于两点,A B ，分别以,
A B 为切点作E 的切线12,l l . 若12,l l 都经过C 的焦点
F ，则cos AEB ∠=
A.
2
B. 1
2
- C. 2- D.
12
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9. 下列结论正确的是
A. 回归直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y 中的一个点
B. 已知命题:,(0,1)p x y ∀∈，2x y +<，则命题p 的否定为,(0,1)x y ∃∈，2x y +≥
C. 若X 为取有限个值的离散型随机变量，则()()
2
2
E X E X ≥⎡⎤⎣⎦
D. 若一组样本数据x 1、x 2、、n x 的平均数为10，另一组样本数据124x +、224x +、
、24n x +的方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数据后的平均数和方差分别为17和54
10. 已知函数()32x
x
f x =-，则
A. ()f x 是R 上的增函数
B. 函数()()h x f x x =+有且仅有一个零点 C ．函数()f x 的最小值为－1 D. ()f x 存在唯一个极值点
11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1DP DD DA λμ=+，
[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则
A. 当λμ=时，1BP AC ⊥
B. 当1
2
μ=
时，三棱锥11C PB C -的体积为定值
C ．当1λμ+=时，正方体的棱长为1时，PC PB +
D ．当221λμ+=时，存在唯一的点P ，使得P 到AB 的距离等于P 到1DD 的距离 三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。

12. 某高中为了了解学生参加数学建模社团的情况，采用了分层随机抽样的方法从三个年
级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人．已知该校高三
年级共有720名学生，则该校共有学生 ▲ 人．
a b
且112MF F N =，20MF MN ⋅=，则14. 已知函数()e ln
33
x
f x x λ
λ=+-+(0)λ>，若()0f x >恒成立，则λ的取值范围是
▲ .
四、解答题：本题共5小题，共 77 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）
记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知1221,2n
n S n a a n
+=+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）令12n
a n
b -=，求112231(1)n n n b b b b b b ++-+
+-.
16.（15分）
如图1，在直角梯形ΑΒCD 中，//ΑD ΒC ，2
ΒΑD π
∠=
，1
2
ΑΒΒC AD ==
，Ε是ΑD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ΑΒΕ∆沿BE 折起到1A BE ∆的位置，如图2．
（1）证明：平面BCDE ⊥平面1
AOC ； （2）若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1
ACD 夹角的余弦值．
O
A
E
D
B
C A 1(A )
B O
C
D
E
图1 图2
17.（15分）
平面内点P 到点(3,0)F 与到直线13
:1
l x =的距离之比为3. （1）求点P 的轨迹E 的方程;
（2）12,A A 为E 的左右顶点，过F 的直线l 与E 交于,M N （异于12,A A ）两点，1
MA 与2NA 交点为R ，求证：点R 在定直线上.
18.（17分）
为了解学生中午的用餐方式（在食堂就餐或点外卖）与最近食堂间的距离的关系，某大学于某日中午随机调查了2000名学生，获得了下面的频率分布表（不完整），并且由该频率分布表，可估计学生与最近食堂间的平均距离为370m （同一组数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）.
（1）求出t 的值并补全频率分布表；
（2）根据频率分布表补全样本容量为2000的22⨯列联表（如下表），并根据小概率值0.001α=的独立性检验，能否认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关（当学生与最近食堂间的距离不超过400m 时，认为较近，否则认为较远）；
根据频率分布表列出如下的22⨯列联表：
（3）一般情况下，学生更愿意去饭菜更美味的食堂就餐. 该校距李明较近的有甲、乙两家食堂，且他每天中午都选择食堂甲或乙就餐. 记他选择去甲食堂就餐为事件A ，他认为甲食堂的饭菜比乙食堂的美味为事件D ，且D 、A 均为随机事件，证明：()()
P D A P D A >.
附：()
()()()()
2
2n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.
19.（17分）
2024年高考适应性训练
数学（三）参考答案及评分意见
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。

解析：
1. 联立2y x y x ⎧=⎨=⎩可得方程组的解为0,0x y =⎧⎨=⎩或1,
1
x y =⎧⎨=⎩，所以()(){}0,0,1,1A
B =，
所以A
B 集合的子集个数为224=. 故选：D.
2. 由题意可知：1000μ=，50σ=，
则()()95010500.6827P X P X μσμσ-≤≤+=≤≤≈，
()()2290011000.9545
P X P X μσμσ-≤≤+=≤≤≈，
()()()()1
95011009501050900110095010502P X P X P X P X ⎡⎤≤≤=≤≤+
≤≤-≤≤⎣
⎦0.8186=，
则300天内每天茶叶蛋的销量约在950到1100个的天数大约为3000.8186246⨯=． 故选：B ．
3. 因为,a b 是单位向量，所以1,1==a b ，由1-=a b 得2
1-=a b ，则
2221-⋅=+a b a b ，得1
2
⋅=
a b ， 设a 与b 的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影向量为1
12cos 112
θ⋅⋅=⋅=⋅=b a b b b a b b b b .
故选：A.
4. 依题意：21
5.05lg 4.l ,
55g V V =+⎧⎨
=+⎩，两式相减可得2211
0.5lg lg lg V V V V =-=，
故0.52
1
10V V ==
()3,3.5. 故选：D ． 5. 因为()()2
f x x
g x =是偶函数，所以()()f x f x -=，即()()g x g x -
=，所以()g x 是
偶函数.
对于选项A ，因为210x ->， 所以定义域为()1,1-，所以不满足题意； 对于选项B ，定义域为R 且关于原点对称，
()()()221211,2121122112
x x x x
x x x
g x g x g x ----===-++--=-=++，不符合题意； 对于选项C ，定义域为R 且关于原点对称，
当0x >时，()()()()2
2g x x x x x g x -=-+-=-=， 当0x <时，()()()()22g x x x x x g x -=---=+=， 且()()000g g =-=，所以()g x 为偶函数，符合题意； 对于选项D ，定义域为R 且关于原点对称，
()()()|2||2||2||2|,g x x x x x g x g x -=----+=+--=-为奇函数，不符合题意；
故选：C.
6. 对于选项A ，由题意，将函数()πcos 26f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移5π6
个单位长
度，可得()5ππ3πcos 2cos 2sin2662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，故A 错误； 对于选项B ，令()ππ2π22π22k x k k -+≤≤+∈Z ，可得()ππ
ππ44
k x k k -+≤≤+∈Z ， 所以()g x 在ππ,44⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，所以 B 错误；
对于选项C ，令
()π3π
2π22π22k k x k +≤≤+∈Z ，可得()π3πππ44
k x k k +≤≤+∈Z ，
所以()g x 在ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减， 又()g x 在π0,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，因为()π00,3g g ⎛⎫
==
⎪⎝⎭()g x ∴在π0,3
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上的最小值为0，C 错误；
对于选项D ，函数()sin2g x x =的对称轴方程为()π
2π+
2
k k x =∈Z ， 化简可得()ππ+24k x k =
∈Z ，取0k =，可得π4
x =， 所以π
4
x =
是()g x 图象的一条对称轴，故D 正确. 故选D. 7. 由0.2x y =单调递减可知：0.50.20.20.2<.
由0.2y x =单调递增可知：0.20.20.20.5<，所以0.50.20.20.5<，即a b <，且1b <. 由0.5log y x =单调递减可知：0.50.5log 0.2log 0.51c =>=，所以c b a >>. 故选：B.
8. 由题得设(),A A A x y ，联立圆E 和抛物线得：22
2304
p
x px r ++-=，代入点A 得
2
2
2304
A A p x px r ++-=,又AF 为圆的切线，故22222AF EF r p r =-=-，由抛物线得
定义可知：2A p AF x =+，故22
2()2A p p r x -=+化简得：22
A r p x p =
-，将点A 代入圆
得：422222r r p r p +-= 所以2
2p =，而22
2222
32sin AF p r AEF EF p ∠==--=，
故1
sin 2
AEF ∠=
，
所以2
2
1cos cos 212sin 1222AEB AEF AEF ⎛⎫-∠=∠=-∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭
，故选C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

解析：
9. 对于选项A ，回归直线ˆˆˆy bx a =+可以不经过其样本数据()()()1122,,,,
,n n x y x y x y 中
的一个点，则A 错误；
对于选项B ，命题:,(0,1)p x y ∀∈，2x y +<的否定为“(),0,1,2x y x
y ∃∈+≥”. 所以B 正确.
对于选项C ，X 为取有限个值的离散型随机变量，则22()()[()]0D X E X E X =-≥，故C 错误．
对于选项D ，由题意可知，数据x 1、x 2、
、n x 的平均数为10，则1
110n
i i x n ==∑，则
1
10n
i
i x
n ==∑，所以，数据124x +、224x +、
、24n x +的平均数为
()1112244210424n n
i i i i x x x n n =='=+=+=⨯+=∑∑，()12424n
i i x n =+=∑
方差为()()
()22
2
11
14242410n n i i i i s x x x n n ==⎡⎤'=+-+=-⎣⎦∑∑
22
211444104008n n i i i i x n x n n n ===-⨯⨯=-=∑∑，所以21
102n
i i x n ==∑， 将两组数据合并后，新数据x 1、x 2、、n x 、124x +、224x +、、24n x +的平均数
为()()1111
2410241722n n
i i i i x x x n n n n
==⎡⎤''=++=+=⎢⎥⎣⎦∑∑， 方差为()()222
211111117241758645822n n n n i i i
i i i i i s x x x x n n n ====⎡⎤
⎛⎫''=-++-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
∑∑∑∑ ()1
5102860458542n n n n
=
⨯-+=. 故D 正确； 故选：BD. 10. 对于选项A ，
()32x x f x =-，()33ln32ln 22ln3ln 22x
x x x f x ⎡⎤⎛⎫'∴=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， 当321log 2x =时，
则31ln 3ln 322x ⎛⎫== ⎪⎝⎭
3ln 3ln 2ln 202x
⎛⎫∴-=< ⎪⎝⎭
，即
()3ln 32ln 20x x f x '=-<，()32x x f x ∴=-不是R 上的增函数，故A 错误；
对于选项B ，当0x =时，()()h x f x x =+，()()0
000320110h f =+=-+=-=，
当0x >时，()()320x
x
h x f x x x =+=-+>；
当0x <时，3012x
⎛⎫
<< ⎪⎝⎭，()32102x x f x ⎡⎤⎛⎫∴=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，()()0h x f x x ∴=+<，从而
函数()()h x f x x =+有且仅有一个零点，故B 正确；
对于选项C ，当0x >时，()320x
x
f x =->，当0x =时，()0
0320f =-=，当0
x <时，031x <<，021x <<，()3221x
x
x
f x ∴=->->-，1-不是函数()f x 的最小值，
故C 错误；
对于选项D ，因为()33ln 32ln 22ln 3ln 22x
x x x f x ⎡⎤⎛
⎫'=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，20,x >所以()f x '的
符号决定于3ln 3ln 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然3ln 3ln 22x
y ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
是R 上的增函数，又因为当0
x =
时，3ln 3ln 2ln 3ln 202x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭；当321log 2x =
时，3ln 3ln 2ln 202x
⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭
，所以0x ∃∈R ，使()00f x '=，所以()f x 在()0,x -∞上为减函数，在()0,x +∞上为增函数.所以()f x 有唯一极小值点. 故D 正确. 故选 ：BD.
11. 对于选项A ，当λμ=时，P 的轨迹为线段1DA ，连接,AC BD ，则AC BD ⊥. 又1C C ⊥平面1,ABCD C C BD ⊥，1C C AC C =，
∴BD ⊥平面1ACC ，1BD AC ⊥， 同理可得111
,AC DA DA BD D ⊥=，
故1AC ⊥平面1BDA ，BP ⊂平面1BDA ，所以1BP AC ⊥， 故A 正确；
对于选项B ，当1
2
μ=
时，点P 的轨迹为线段EF （,E F 为11,AD A D 的中点），直线//EF 平面11BCC B ，故三棱锥11C PB C
-的体积1111C PB C P C B C V V --=为定值，故B 正确；
对于选项C ，当1λμ+=时，P 点轨迹为线段1D A ，将三角形1CD A 旋转至平面11D ABC 内，可知CP PB CB +≥，由余弦定理可得
CB ==C 错误； 对于选项D ，当221λμ+=时，P 点轨迹为以D 为圆心，
DA 为半径的四分之一圆弧1D A ，
由点P 到AB 的距离等于到1DD 的距离，即点P 到点A 的距离等于到1DD 的距离，
则P 点轨迹为以A 为焦点，以1DD 为准线的抛物线上， 故存在唯一的点P ，使得点P 到AB 的距离等于到1DD 的距离， 故D 正确. 故选：ABD.
三、填空题：本题共 3小题，每小题5分，共15 分。

12. 1800 13. 3
14. ()2
e ,+∞ 解析：
12. 利用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取了300人进行问卷调查，其中高一、高二年级各抽取了90人，可得高三年级共有120人，又由高三年级共有720名学生，则每个学生被抽到的概率为120720p =
，设该校共有n 名学生，可得300120
720
n =，解得1800n =人，即
该校共有1800名学生. 故答案为：1800.
13. 连接2NF ，设1NF n =，则12MF n =，222MF a n =-，22NF a n =-，
在2Rt MNF △中2
2
2
22N M MF NF +=，即()()()2
2
2
3222n a n a n +-=-， 2124n an ∴=，3a n =
，123a MF ∴=，243
a MF =， 在12Rt MF F △中，2
2
2
1212
MF MF F F +=，即22
2
416499
a a c =+，
2295c a ∴=，2
5e 9=
，又()e 0,1∈，e ∴=
14. ∵()e ln
303
x
f x x λ
λ=+->+
∴ln e ln ln(3)3x x λλ++>++
两边加上x 得()()()
ln 3ln e
ln ln(3)3ln(3)e
x x x x x x λ
λ++++>+++=++
设()e x g x x =+，则()g x 在()3,-+∞上单调递增 ∴ln ln(3)x x λ+>+，即ln ln(3)x x λ>+- 令()ln(3)k x x x =+-，则12
()133
x k x x x +'=-=-++ ∵()f x 的定义域是()3,-+∞
∴当()3,2x ∈--时，()0k x '>，()k x 单调递增； 当()2,x ∈-+∞时，()0k x '<，()k x 单调递减，
∴当2x =-时，()k x 取得极大值即为最大值，且max ()(2)2k x k =-=， ∴max ln ()2k x λ>=，∴2e λ>即为所求.
四、解答题：本题共5小题，共 77 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分） 解：（1）∵
221n
n S n a n
+=+，即222n n S n na n +=+ ①， 当2n ≥时，()()()2
1121211n n S n n a n --+-=-+- ②，………………………………2分 ①-②得，()()112212211n n n n S S n na n a ---+-=--+，
即()12212211n n n a n na n a -+-=--+， ……………………………………………4分 即()()()1111n n n a n a n ----=-，
所以11n n a a --=，2n ≥且*n ∈N ，…………………………………………………………6分 ∴{}n a 是以1为公差的等差数列，12a = ，2(1)11n a n n =+-⋅=+.
即{}n a 的通项公式为1n a n =+………………………………………………………………7分
（2）由（1）知：112
22n
n
a n
n b --⎛⎫=== ⎪⎝⎭
， ∴当2n ≥时，
11111(1)1
(1)4n n n n n n n n b b b b b b +++---=-=-- ……………………………………………9分 又1218b b =，∴{}1
1(1)n n n b b ++-是以18
为首项，14-为公比的等比数列， ………………11分
∴1122311118411(1)1110414n
n n n n b b b b b b ++⎡⎤
⎛⎫
--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭
⎢⎥⎛⎫⎣⎦-++-=
=--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪
⎝⎭
. ……………………13分
16.（15分）
解：（1）在图1中，因为12
ΑΒΒC AD ==
，E 是AD 的中点，2BAD π
∠=，
所以BE AC ⊥． …………………………………………………………2分 即在图2中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥．从而BE ⊥平面1OA C ．……………………………4分 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面1OA C ．因为CD ⊂平面BCDE ，
所以平面BCDE ⊥平面1
AOC …………………………………………………6分
（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，1BE OA ⊥，BE OC ⊥．
所以1AOC ∠为二面角1A BE C --的平面角，所以1
2
AOC π
∠=． ……………………8分
如图，以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ………………………………9分 设11A B =，所以111A B A E BC ED ====，因为//BC ED ，
A E
D
B C 图1
O
所以2B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，12A ⎛⎫
⎪
⎝
⎭
，0,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．
得BC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，
1AC ⎛= ⎝⎭
，(CD BE ==-. ……11分 设平面1A BC 的法向量()1111,,x y z =n ，平面1ACD 的法向量()2222,,x y z =n ，平面1A BC 与平面1
ACD 夹角为θ， 则1110,
0BC AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得11110,0x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取()11,1,1=n . …………………………………12分
同理：221
0,
0CD AC ⋅=⋅⎪⎧⎪⎨⎩=n n ，得2220,0x y z =⎧⎨-=⎩，取()20,1,1=n . ……………………………13分
从而12cos |cos ,|3θ=<>=
=n n …………………………………………14分 即平面1A BC 与平面1ACD
………………………………………15分 17.（15分）
解：（1）设(,)P x y
3
= ， …………………………3分 整理得: 2
2
18
y x -=，
所以轨迹E 的方程为2
2
18
y x -=. …………………………………………………5分
（2）由（1）知12(1,0),(1,0)A A -，由题可设直线:3l x my =+，1122(,),(,)M x y N x y .
联立223,18x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩
得：22(81)48640m y my -++=
，易知4m ≠±.
…………7分 所以()()
2
2
2
48256(81)25610,m m m ∆=--=+>1212
224864
,8181
m y y y y m m -+=
=-- ① 又111:(1)1MA y l y x x =
++， 222:(1)1
NA y
l y x x =--， ……………………………………9分 两式相除得:
1212121
2121122
(1)(2)211(1)(4)4y x y my my y y x x y x y my my y y -++-===++++ ② …………………11分 由①式可得12124
()3
my y y y =-
+， …………………………………………………13分 带入②式
121
1224
()2113412()43y y y x x y y y -++-==-+-++， 得1
3
x = ， 所以点R 在定直线1
3
x =上. …………………………………………………15分
18.（17分）
解：（1）(4000],60d ∈组的频率为10.200.150.65t t ---=-， 估计学生与最近食堂间的平均距离
()1000.203005000.657000.15450200370d t t t =⨯++-+⨯=-=，
解得0.40t =， ……………………………………………………3分 故可补全频率分布表如下：
……………………………………………………7分
（2）结合样本容量为
的频率分布表可列出列联表如下：
……………………………………………………9分
零假设0H ：学生中午的用餐情况与学生距最近食堂的远近无关.
注意到()2
20.001200070050030050050010.8281000100012008006
x χ⨯⨯-⨯==>=⨯⨯⨯. …………11分 跟据小概率值0.001α=的独立性检验，推断0H 不成立，
即可以认为学生中午的用餐方式与学生距最近食堂的远近有关. ………………………12分 （3）由题意得()()
||P A D P A D >，()
()
||P A D P A D >，
结合()
()
(
)()
1P A D P A D P A D P A D +=+=，(|)0.5(|)P A D P A D >>.
结合条件概率公式知()()()()
()()
()1P P AD P A P AD P D P D A D P D ->=-，
即()()()P AD P A P D >. ……………………………………………………14分
()()()()
()()
||P AD
P AD P D A P D A P A P A -=
-
()()()()()
()()()()()()()[1]0[1]
[1]
P AD P A P D P AD P A P AD P A P D P A P A P A P A ⎡⎤----⎣⎦=
=
>--，
即()()
||P D A P D A >成立. ……………………………………………………17分 19.（17分） 解：（1）第①组是，第②组不是.
①()112x
f x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
和()10g x =，()()112ln 2,0x f x g x -''=-=，
所以()()()()22
ln 20x
f x
g x f x g x ---=-≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣''⎦，
所以这两组函数是“相伴函数”. ……………………………………………………2分 ②()22e x
f x =和()22
g x x =，()()2222e ,2x f x g x ''==，
()()()()()()222e 2e 1x x
f x
g x f x g x x --=--⎡⎤⎡⎤⎣⎣⎦
''⎦不一定为非正数， 所以这两组函数不是 “相伴函数”. ……………………………………………………4分 （2）存在e a =，使得()y f x =和()y g x =为“相伴函数”. 证明如下：
()()()()()()()ln 1,,x f x g x x f x f x g x g x a -+-=+--=-=-，
所以()()()
ln 1x
f g x x a x -=+-， ……………………………………………………5分
()()()()()'
'
l []ln 1
n 11x x
x f x g x x a a
a a f x g x ⎡⎤-=-=+-=⎣⎦+'-'. 若()y f x =和()y g x =为“相伴函数”
则()()()()0f x g x f x g x --≤⎡⎤⎡⎣'⎤⎦⎣⎦'成立， 即()ln ln 1101x x
x a a a x a ⎛⎫
⎡⎤+--≤ ⎪⎣⎦+⎝⎭
. 若ln(1)0
ln 101
x x x
a x a a
a +-≥-≤+⎧⎪
⎨⎪⎩①②
……………………………………………………7分
由①知ln(1)ln e x x a x +≥=， 则a 可取e ，也满足②式.
若ln(1)0ln 101
x x x
a x a a
a +-≤-≥+⎧⎪
⎨⎪⎩ ∴1e (ln 1)1
x x x
a a a +≤⎨-≥⎧⎩③④
若e a ≥，则③式无解；若0e a <<，则④式无解； ……………………………………9分
综上存在e a =，使得()y f x =和()y g x =为“相伴函数”. …………………………10分 （3）“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()π
π4
k k θ-=∈Z . ………11分 因为()()()()cos ,sin f x x g x x θθ''=-=-+ 若()y f x =和()y g x =为相伴函数
即()()()()sin cos cos sin 0x x x x θθθθ⎡⎤⎡⎤--+-++≤⎣⎦⎣⎦对x ∀∈R 恒成立
()()()()sin cos sin cos x x x x θθθθ---++-
()()()()cos cos sin sin 0x x x x θθθθ+--+-≤⎡⎤⎣⎦，
即
()()
sin 22sin 22cos202
x x x θθ--+-≤，
cos2sin2cos20x x θ-⋅-≤，即()cos2sin210x θ+≥，
由于cos2x 取遍[]1,1-内的所有实数，因此当且仅当sin210θ+=时成立， 所以()π
π4
k k θ-
=∈Z ； ………………………………………………………………14分 故必要性得证. 下面证明充分性： 已知()ππ4k k θ-
=∈Z ，则()()πsin sin π4f x x x k θ⎛
⎫=-=-+ ⎪⎝
⎭，
()()ππππcos cos πcos π2πsin π4424g x x x k x k k x k θ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+=+-=-++-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，
此时()()f x g x =，所以()()()()0f x g x f x g x --=⎡⎤⎡⎣'⎤⎦⎣⎦
'， 即()()()()0f x g x f x g x --≤⎡⎤⎡⎣'⎤⎦⎣⎦
'成立，()y f x =和()y g x =为相伴函数. …16分 所以“()y f x =和()y g x =为相伴函数”的充要条件是()π
π4
k k θ=-
∈Z . ………17分。