流体运动学基础

1
常见过流断面的湿周、水力半径和当量直径的计算式
a
过流断面
a c
b
d b
h

R
de
2r
r 2
r
r 2
d bc
2a b
ab 2a b 2ab a b
a b h 2d b c
2a b h d b c
2r
2r
连续性方程

2、沿程有分流的伯努利方程式
q1 q 2 q 3
q1
1
1
2
3
q2 3 2 q3
通过过流断面1的流体，不是流向断面2，就是流向断面3，对 断面1-2，1-3分别列出伯努利方程式：
2 2 p v1 p v2 z1 1 1 z 2 2 2 h f 1 2 g 2 g g 2 g 2 2 z p1 1 v1 z p3 3 v 3 h 3 f 13 1 g 2 g g 2 g 将上面方程1乘以 gq2 ，方程2乘以 gq3 ，相加得分流的伯努利方程
三、其它几种形式的伯努利方程
1、总流的伯努利方程式 在总流上任取一过流断面，过流断面型心的高度为z，p取过流 断面的压力，过流断面的平均速度为 v ，过流断面上单位重力流体 的平均动能为 v 2 2 g ， 为动能修正系数。 实际（粘性）流体总流上的伯努利方程式为：
z1
p1 v p v z2 2 h f 12 g 2g g 2g
v dA
A
A2
v2 dA2 v1dA1 2 v 2 A2 1 v1 A1 0
A1
一元定常流动的连续方程式：
2 v 2 A2 1 v1 A1
一元不可压缩流动的连续方程式：
V1
dA1
dA2
V1
v 2 A2 v1 A1
A1 A1
伯努利方程
一、流线上的伯努利方程
连续方程式是质量守恒定理在流体力学中的运用所得出的表达式。
一 基本原理
通过dA的单位时间的质量流出率为：
n
v dA
通过A的单位时间的净质量流量为：
v
dA
v dA
A
V
控制体单位时间的质量变化率为： ( dV ) t V
A
质量守恒定律可以定性和定量地表达控制体中质量的变化。控 制体中的质量变化量就是同一时间内流入与流出的质量差。若控制 体中质量不变，则同一时间内流入与流出的质量相等。 V dA - ( dV ) t V A v dA ( dV ) 0 即 t V A
该式是流体保持连续运动状态的所谓连续方程式，是一切流体运 动必须遵循的普遍原则。 直角坐 标系下
v x v y v z 0 t x y z
特例1：定常流动 定常流动中，流体任何空间点处的密度不随时间变化，
( dV ) 0 t V
流体运动学基础
描述流体运动的两种方法 流体运动学的基本概念 连续性方程 伯努利方程
流体动力学主要研究流体处于运动状态时的力 学规律，以及这些规律在实际工程中的应用。
描述流体运动的两种方法
描述流体运动就是表达流动参数在空间不同位置上随时间连续变 化的规律。
流动参数：表征流体运动的主要物理量统称为流体的流动参数。包 括：流动速度V、压力P 、位移(x,y,z)、密度、动量、动能等。
A
流量正负的规定： 流体经控制面流出控制体时，流量为正。 流体经控制面流入控制体时，流量为负。
2、净通量：取整个封闭曲面作为控制面时，流过全部封闭控制 面的流量称为净通量。
qv
v d A v n dA
A A
净通量的正负规定：
流体流出控制体的量大于流入控制体的量时，净通量为正。
流体流出控制体的量小于流入控制体的量时，净通量为负。
五 过流断面及其水力要素
1、过流断面：与流束上质点的速度方向垂直的端面。
过流断面的平均流速：
qv v A
2、水力要素 湿周：在过流断面上，流体与固体边界接触部分的周长 称为湿周，用 表示。

水力半径：过流断面的面积与湿周的比值称为水力半径。
R
定常流动的连续方程式为： 直角坐标系下：
V
A
dA 0
vx v y vz 0 x y z
方程式适用于可压缩和不可压缩的定常流动。
特例2：不可压缩流体流动 不可压缩流体的密度既不随时间变化，也不随空间变化，
v dA （ dV 0 ） t V A
dN N lim dt t 0 t
dN N N N N vx v y vz dt x y z t
dN N (v ) N dt t
当地导数
i j k x y z
迁移导数 哈密顿算子
二 迹线与流线
迹线是流体质点在空间运动时所描绘的轨迹。与拉格朗日法对应。 流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上 每一点的切线都与速度矢量相重合。与欧拉法对应。 流线的微分方程式
2 均匀场 流场中的速度、压强、密度、温度等物理量的分布与空间坐标无 关，则称为均匀场（均匀流动）。

v v v p p p ... 0 x y z x y z
流体运动学的基本概念
一 物理量的质点导数
运动中的流体质点所具有的物理量N(速度、压强、密度、质量、 温度、动量、动能等)对时间的变化率称为物理量N的质点导数。
0 不可压缩流动的连续方程式为：
v dA 0
A
vx v y vz 直角坐标系下： 0 x y z
方程式适用于不可压缩的定常流动和非定常流动。
二、一元流动的连续方程式
除时间坐标外，流动参数随一个、两个或三个空间坐标变化 的流动称为一元、二元或三元流动。 一元流动的封闭控制面中，只有两个过流断面有流体通过。
极限近于一条流线的流束称为 微元流束。
四 流量与净通量
1、流量：单位时间内，流过某一控制面的流体的量。 单位：体积流量：m3/s，m3/h，l/min；质量流量：kg/s，kg/h 控制面与流速方向垂直时流量的表达式： 微元流束：
dq v vdA
平面控制面： qv 曲面控制面：
vdA qv vdA A
描述流体运动是从着眼于研究流体质点的运动，还是着眼于研究流 场空间点上流动参数的变化出发，可分为：拉格朗日（Lagrange） 法和欧拉（Euler）法。
一 拉格朗日法与质点系
跟踪流体质点的运动全过程并描述运动过程中各质点、各物 理量随时间变化的规律的方法称为拉格朗日法。 设t=t0时,流体质点的坐标值是（a, b, c） 流体质点的运动坐标（x, y, z） x=x(a,b,c,t) y=y(a,b,c,t) z=z(a,b,c,t) a, b, c, t——拉格朗日变数
1、几何意义 Z ，p/g ，V2/2g量纲都是长度，表示一定的高度。 Z： 表示流体质点相对基准面的几何高度， 称为位置水头。 p/g： 表示质点压力大小的液柱高度， 称为压力水头。 V2/2g：表示质点速度大小的高度， 称为速度水头。
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流 动，任一质点的位置水头，压力水头，速度水头之和即总水头为一 常数。
A

当量直径：总过流断面面积的四倍与湿周之比。
de
4A

六 过流断面上的动能、动量修正系数
1、动能修正系数
3 v 2 dA 1 v 2 A A 用平均速度表达单位时间内通过过流断面的流体动能时， 需要乘以动能修正系数才是动能的真实值。
1
2、动量修正系数
1 v 2 dA 1 v 2 A A 用平均速度表达单位时间内通过过流断面的流体动量时， 需要乘以动量修正系数才是动能的真实值。 管中层流时 2, 4 3 管中湍流时 1.06, 1.02
vx vx ( x, y , z , t ) vxx (t ), y (t ), z (t ), t
vy vy ( x, y , z , t ) v y x (t ), y (t ), z (t ), t vz vz ( x, y , z , t ) v z x (t ), y (t ), z (t ), t p p ( x, y , z , t )
v12 2g
p1 g
2 v2 2g
p2 g
z1
z2
2、物理意义
Z：表示单位重力流体的位能。 p/g：表示单位重力流体的压力能。
V2/2g：表示单位重力流体的动能。
伯努利方程式表示单位重力流体所具有的位能、压力能动能之 和即总机械能为一常数。同一条流线上各点的单位重力流体的总机 械能相同，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流体动力学中的应 用，又称为能量方程。
2 1 2 2
2 1
2 2
不考虑粘性阻力损失，得到理想流体总流上的伯努利方程式：
p1 v p2 v z1 z2 g 2g g 2g
总流伯努利方程式的应用条件

不可压缩流体的定常流动； 质量力只有重力； 所取断面应是缓变流断面，但在其间可不必要求； 没有其它形式的能量的输入输出； 上、下游两过水断面属于同一个总流，无总流的分 出、汇入。
质点系：由具有不同起始坐标的无数质点组成的具有一定流动参 数的物质实体称为质点系。在流动过程中，质点系的位置、形状 和流动参数都可能发生变化。
二 欧拉法与控制体
以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上的分布规 律的流体运动描述方法称为欧拉法。
流体质点速度v、压力p、密度ρ和温度T等的表达式为：
V4 4 3 2 1
dx dy dz vx vy vz
流线的性质： 1、定常流动中，迹线与流线重 合，且不随时间变化； 2、实际流场中，一般流线不能 相交、不能突然转折。
V1
V
V2
3
三 流管与流速
流管：在流场中取一非流线又不自交的闭合曲线c，通过c上每一 点作流线，这些流线组成的管状曲面就称为流管。 流束：流管内的全部流体。 封闭曲线取在管道内壁周线上， 流束就是全部流体，此时称为 总流。
压力作功：
p1dA1u1dt p2 dA2u2 dt ( p1 p2 )dQdt
2 2 u2 u12 u2 u12 dQdt ( ) dQdt ( ) 2 2 2g 2g
动能增加：
位能增加：
dQdt ( z 2 z1 )
压力作功=动能增加+位能增加
可以推出：
2 p1 v12 p 2 v2 z1 z2 g 2 g g 2 g
质点系相对于坐标系不但可以有位移，而且也可以有变形； 但对于控制体，在运动过程中相对于坐标系的位置与形状都是固 定不变的。
三 流场的两个特例
1 定常场 流场中的速度、压强、密度、温度等物理量的分布与时间无关， 则称为定常场（定常流动）。
v p T ... 0 t t t t
式
2 2 2 p3 3 v3 p1 1 v1 p2 2 v2 z q z q z q1 1 h f 12 h f 13 2 2 3 3 g 2g g 2g g 2g
( x, y, z , t ) 其中 x, y, z, t 为欧拉变数。
T T ( x, y , z , t )
控制体:研究流体运动的连续的空间区域称为控制体。
相对于坐标系有固定位置、有任意确定形状的空间区域， 控制体的表面也称为控制面，流体质点系可以按照自身运动规律 穿越控制面自由出入于控制体。 控制体与质点系的区别：
这就是理想不可压缩定常流动流体的伯努利方程。
对于实际不可压缩定常流体，需要考虑粘性做功，方程式变为：
2 p1 v12 p 2 v2 1 z1 z2 g 2 g g 2 g g

2
1
fds
如果流动速度为零，可以得到流体静力学基本方程式：
p z c g
二、伯努利方程式的意义