2022年内蒙古呼和浩特中考数学试题及答案详解

2022年内蒙古呼和浩特中考数学试题及答案详解
（试题部分）
一、选择题(每小题3分，共30分，下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的)
1. 计算－3－2的结果是
( )
A.－1
B.1
C.－5
D.5 2. 据2022年5月26日央视新闻报道，今年我国农发行安排夏粮收购准备金1 100亿元。

数据“1 100亿”用科学记数法表示为
( ) A.1.1×1012 B.1.1×1011 C.11×1010 D.0.11×1012
3. 不透明袋中装有除颜色外完全相同的a 个白球、b 个红球，则任意摸出一个球是红球的概率是
( ) A.b a+b B.b a C.a a+b D.a b
4. 图中几何体的三视图是
( )
A B C D 5. 学校开展“书香校园，师生共读”活动，某学习小组五名同学一周的课外阅读时间(单位：h)分别为4，5，5，6，10。

这组数据的平均数、方差是
( ) A.6，4.4 B.5，6 C.6，4.2 D.6，5
6. 下列运算正确的是 ( )
A.√12×√8=±2
B.(m +n )2=m 2+n 2
C.1x−1－2x =－1x
D.3xy ÷−2y 23x =－9x 22y 7. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，使点B 的对应点D 恰好落在AB 边上，AC 、ED 交于点F 。

若∠BCD =α，则
∠EFC 的度数是(用含α的代数式表示) ( )
A.90°+12α
B.90°－12α
C.180°－32α
D.32α 8. 已知x 1，x 2是方程x 2－x －2 022=0的两个实数根，则代数式x 13－2 022x 1+x 2
2的值是
( )
A.4 045
B.4 044
C.2 022
D.1 9. 如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°，点E 是DA 中点，F 是对角线AC 上一点，且∠DEF =45°，则AF ∶FC 的值是 ( )
A.3
B.√5+1
C.2√2+1
D.2+√3
10. 以下命题：①面包店某种面包售价a 元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a 元；②等边三角形ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点，若AD =AE ，则∠BAD =3∠EDC ；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大。

其中真命题的个数有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 二、填空题(每小题3分，共18分)
11. 因式分解：x 3－9x = .
12. 点(2a －1，y 1)、(a ，y 2)在反比例函数y =k x (k >0)的图象上，若0<y 1<y 2，则a 的取值范围是 .
13. 如图，从一个边长是a 的正五边形纸片上剪出一个扇形，这个扇形的面积为 (用含π的代数式表示)；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆直径为 .
14. 某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折。

若某人付款14元，则他购买了 千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y 千克，则购买量y 关于付款金额x (x >10)的函数解析式为 .
15. 已知AB 为☉O 的直径且AB =2，点C 是☉O 上一点(不与A 、B 重合)，点D 在半径OB 上，且AD =AC ，AE 与过点C 的☉O 的切线垂直，垂足为E.若∠EAC =36°，则CD = ，OD = .
16. 在平面直角坐标系中，点C 和点D 的坐标分别为(－1，－1)和(4，－1)，抛物线y =mx 2－2mx +2(m ≠0)与线段CD 只有一个公共点，则m 的取值范围是 .
三、解答题(本大题共8个小题，共72分)
17.( 10分)计算求解：
(1)计算2sin 45°－|2－√2|+(−13)−1
；
(2)解方程组{4x +y =5,x−12+y 3
=2. 18.( 7分)“一去紫台连朔漠，独留青冢向黄昏”，美丽的昭君博物院作为著名景区现已成为外地游客到呼和浩特市旅游的打卡地。

如图，为测量景区中一座雕像AB 的高度，某数学兴趣小组在D 处用测角仪测得雕像顶部A 的仰角为30°，测得底部B 的俯角为10°。

已知测角仪CD 与水平地面垂直且高度为1米，求雕像AB 的高。

(用非特殊角的三角函数及根式表示即可)
19.( 10分)某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励。

为了确定一个适当的月销售目标，商场服装部统计了每位营业员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下： 17 18 16 13 24 15 27 26 18 19
22 17 16 19 32 30 16 15 16 28
15 32 23 17 14 15 27 27 16 19
对这30个数据按组距3进行分组，并整理和分析如下：
频数分布表
数据分析表
请根据以上信息解答下列问题：
(1)上表中a = ，b = ，c = ，d = ；
(2)若想让一半左右的营业员都能达到销售目标，你认为月销售额定为多少合适?说明理由；
(3)若从第六组和第七组内随机选取两名营业员在表彰会上作为代表发言，请你直接写出这两名营业员在同一组内的概率。

20.( 7分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径的☉O 交BC 于点D ，交线段CA 的延长线于点E ，连接BE.
(1)求证：BD =CD ；
(2)若tan C =12，BD =4，求AE.
21.( 7分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y 1=kx +b 的图象与反比例函数y 2=m x 的图象交于A 、B 两点，且A 点的横坐标为1，过点B 作BE ∥x 轴，AD ⊥BE 于点D ，点C (72,−12)是直线BE 上一点，且AC =√2CD.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)根据图象，请直接写出不等式kx +b －m x <0的解集。

22.( 9分)今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍。

(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元?
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元.由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片?最大利润是多少?
23.( 10分)下面图片是八年级教科书中的一道题。

14.如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF 交正方形外角的平分线CF于点F.求证AE=EF.(提示：取AB的中点G，连接EG)
(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条
件：；
(2)如图1，若点E是BC边上任意一点(不与B、C重合)，其他条件不变.求证：AE=EF；
=k，当k为何(3)在(2)的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P。

设BE
BC
值时，四边形ECFP是平行四边形?并给予证明。

图1 备用图
x2+bx+c经过点B(4，0)和点C(0，2)，与x轴的24.( 12分)如图，抛物线y=－1
2
另一个交点为A，连接AC、BC.
(1)求抛物线的解析式及点A的坐标。

(2)如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。

(3)如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标。

图1 图2
2022年内蒙古呼和浩特中考数学试题及答案详解
（答案详解）
1.C 根据有理数加法法则得，－3－2=－5.故选C.
2.B 科学记数法是把一个数表示为a ×10n 的形式，其中1≤|a |<10，n 为整数.确定n 的值，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.1 100亿=110 000 000 000=1.1×1011.故选B.
3.A 一共有(a +b )个球，其中红球有b 个，所以任意摸出一个球是红球的概率为b a+b ，故选A.
4.C 根据三视图的位置排除A ，并且该几何体的线从正面、左面、上面都可以看到，应均为实线.故选C.
5.A (4+5+5+6+10)÷5=6，[(4－6)2+(5－6)2+(5－6)2+(6－6)2+(10－6)2]÷5=4.4，所以这组数据的平均数是6，方差是4.4.故选A.
6.D √12×√8=√12×8=√4=2，所以A 不正确；(m +n )2=m 2+2mn +n 2，所以B 不正确；1x−1－2x =
x−2(x−1)x(x−1)=x−2x+2x(x−1)=−x+2x(x−1)，所以C 不正确；3xy ÷−2y 23x =3xy ·3x −2y 2=－9x 2
2y ，所以D 正确.故选D.
7.C 由题意得，∠DCF =90°－α，∠EDC =∠B =∠BDC =90°－12α，所以
∠EFC =∠DCF +∠EDC =90°－α+90°－12α=180°－3
2α，故选C.
8.A 根据一元二次方程根的意义及根与系数的关系得，x 12－x 1=2 022，
x 1+x 2=1，x 1·x 2=－2 022，所以x 13－2 022x 1+x 22=x 13－x 12+x 12－2 022x 1+x 22=2
022x 1+x 12－2 022x 1+x 22=x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=1+4 044=4 045.故选A. 9.D 如图，延长EF 交BC 于G.因为四边形ABCD 是菱形，∠DAB =60°，点E 是DA 中点，所以AD ∥BC ，AB =2AE ，连接BE ，则易证BE ⊥AD ，所以∠BEG =90°－∠DEF =45°，因为AD ∥BC ，所以∠DEG =∠BGE =45°，所以
∠BEG=∠BGE，所以BE=BG，设AB=2AE=2x，则BE=BG=√3x，CG=(2－
√3)x，因为AE∥CG，所以AF∶FC=AE∶CG=x∶2－√3x=2+√3.故选D.
10.B①会员购买一个面包比涨价前多花(1+10%)a·0.9－0.85a=0.14a，所以①是真命题.②如图1，设∠EDC=α，则∠1=∠2=60°+α，所以∠BAD=∠ADC－∠B=60°+α+α－60°，所以∠BAD=2α，即∠BAD=2∠EDC，所以②是假命题.③如图2和图3，在△ABC与△LMN中，AB=LM，AC=LN，中线AD=LO，点E，P分别是AD，LO的延长线上的点，且AD=DE，LO=OP，则易证
BE=AC=LN=MP，AE=2AD=2LO=LP，所以△ABE≌△LMP，所以中线
BD=MO，得BC=MN，可得△ABC≌△LMN(SSS).所以③是真命题.④设两个连
续自然数为a和(a+1)，则[a+1−(a+1)2
100]－(a−a2
100
)=1－2a+1
100
=99−2a
100
.所以当原
数小于49.5时，原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大，当原数大于49.5时，原数与对应新数的差，随着原数的增大而减小，所以④是假命题.综上，①③是真命题.故选B.
图1
图2
图3
11.答案 x (x +3)(x －3)
解析 x 3－9x =x (x 2－9)=x (x +3)(x －3)，
所以答案是x (x +3)(x －3).
12.答案 a >1
解析 因为k >0，所以反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内y 随x 的增大而减小.由0<y 1<y 2得，0<a <2a －1，解得a >1.所以答案是a >1.
13.答案 3π10
a 2；35a 解析 根据题意得∠C =108°，根据扇形面积公式得，这个扇形的面积为108πa 2360=3π10a 2.设该圆锥底面圆直径为d ，则πd =108πa 180，所以d =35a. 14.答案 3；y =14x －12
解析 设他购买了a 千克糯米，显然a >2，根据题意得5×2+0.8×5(a －2)=14，解得a =3.
因为x >10，所以y >2，所以5×2+0.8×5(y －2)=x ，所以y =14x －12.
15.答案 1；√5−12
解析 如图，∵AE 与过点C 的☉O 的切线垂直，∠EAC =36°，∴AE ∥OC ，∠ACE =54°，∴∠ACO =∠EAC =36°，∵OA =OC ，∴∠CAO =∠ACO =36°，∴∠DOC =72°.∵AD =AC ，AB =2，∴OA =OC =1，∠CDO =∠DCA =72°，∴∠DCO =36°，∠DOC =∠CDO ，∴CO =CD =1，且△OCD ∽△CAD ，∴OD ∶DC =DC ∶AD ，∴OD ·AD =DC 2，设OD =x ，则AD =x +1，∴x (1+x )=1，∴x =
−1+√52
或x =
−1−√52
(舍去)，∴OD =
−1+√52
=√5−1
2.
16.答案 －1<m ≤－1
8或m =3
解析 当抛物线经过点D 时，16m －8m +2=－1，∴m =－3
8，当抛物线经过点C 时，m +2m +2=－1，∴m =－1，当－1<m ≤－3
8时，抛物线与线段CD 只有一个公共点.当抛物线顶点在线段CD 上时，关于x 的方程mx 2－2mx +2=－1，即mx 2－2mx +3=0有唯一解，∴Δ=(－2m )2－4·m ·3=0，∴m =3. 综上，m 的取值范围是－1<m ≤－3
8或m =3.
17.解析 (1)原式=2×√2
2－2+√2－3=√2－2+√2－3=2√2－5. (2)整理得{4x +y =5①,3x +2y =15②,
①×2－②得5x =－5，所以x =－1，
把x =1代入①得4×(－1)+y =5，解得y =9， 所以方程组的解是{
x =−1,
y =9.
18.解析 如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，则四边形CDBE 是矩形，
∴CD =BE =1米，
在Rt △ACE 中，tan ∠ACE =AE
CE =tan 30°=√3
3， ∴AE =√3
3CE ，
在Rt △BCE 中，tan ∠BCE =BE
CE =tan 10°， ∴CE =BE
tan10°=1
tan10°米， ∴AE =√3
3
CE =
√3
3tan10°
米， ∴AB =AE +BE =(√3
3tan10°+1)米. 19.解析 (1)4；2；16；18.
详解：将30个数据，从小到大排列如下：
13，14，15，15，15，15，16，16，16，16，16，17，17，17，18，18，19，19，19，22，23，24，26，27，27，27，28，30，32，32， 在25≤x <28的数据为26，27，27，27，共4个，故a =4， 在28≤x <31的数据为28，30，共2个，故b =2， 其中16出现了5次，次数最多，故c =16， 第15个和第16个数据都为18，故d =18. (2)18万元.
理由如下：根据中位数为18，知想让一半左右的营业员都能达到销售目标，月销售额定为18万元合适.
(3)由(1)知第六组有两名营业员，第七组有两名营业员.设第六组两名营业员为A ，B ，第七组两名营业员为C ，D ，列表如下.
共有12种等可能结果，两名营业员在同一组内有4种可能， 故这两名营业员在同一组内的概率为4
12=1
3. 20.解析 (1)证明：连接AD ，如图所示：
∵AB 为☉O 的直径， ∴AD ⊥BC ， 又∵AB =AC ，
∴△ABC 为等腰三角形， ∴AD 为BC 的垂直平分线， ∴BD =CD.
(2)由(1)可得BD =CD =4， ∴tan C =AD CD =AD 4=1
2，BC =2BD =8， ∴AD =2，
在Rt △ACD 中，AC =√AD 2+CD 2=√22+42=2√5， ∵AB 为☉O 的直径，
∴∠BEC =∠ADC =90°，又∵∠C =∠C ， ∴△ADC ∽△BEC ，
∴AC BC =CD
CE ，即2√58=4
CE
， ∴CE =
16√5
5
， ∴AE =CE －AC =16√55－2√5=
6√5
5
. 21.解析 (1)∵C (7
2,−1
2)，且A 点的横坐标为1， ∴CD =x C －x A =7
2－1=5
2，且y B =－1
2， ∴AC =√2CD =
5√2
2， 在Rt △ADC 中， AD =√AC 2
−CD 2=√(5√22)
2−(52)2=5
2，
∴y A =－12+5
2=2， ∴点A 的坐标为(1，2)，
∵点A 在反比例函数y 2=m
x 的图象上， ∴2=m
1，解得m =2，
∴反比例函数的解析式为y 2=2
x ，
将y =－1
2代入y 2=2
x ，得－12=2
x ，解得x =－4， ∴点B 的坐标为(−4,−1
2)，
将A (1，2)和B (−4,−12)代入y 1=kx +b ， 得{2=k +b,
−12=−4k +b,解得{k =1
2,b =32,
∴一次函数的解析式为y 1=12x +3
2. (2)x <－4或0<x <1.
详解：kx +b －m
x <0，即kx +b <m
x ，即y 1<y 2，
则不等式kx +b －m
x <0的解集为当反比例函数y 2=m
x 的图象在一次函数y 1=kx +b 的图象上方时x 的取值范围.
由图象可得当x <－4或0<x <1时，y 1<y 2， ∴不等式kx +b －m
x <0的解集为x <－4或0<x <1. 22.解析 (1)设去年每吨土豆的平均价格是x 元， 由题意得，300 000
x+200×2=500 000x−200， 解得x =2 200，
经检验，x =2 200是原分式方程的解，且符合题意. 答：去年每吨土豆的平均价格是2 200元. (2)由(1)得，今年采购的土豆有
300 0002400
×3=375(吨)，设将m 吨土豆加工成薯片，
则将(375－m )吨土豆加工成淀粉， 由题意得，{m ≥2
3(375−m),m 5+375−m 8≤60,
解得150≤m ≤175，
设获得利润为w 元，w =700m +400(375－m )=300m +150 000， ∵300>0，∴w 随m 的增大而增大，
当m =175时，w 最大，最大值为300×175+150 000=202 500.
答：为获得最大利润，应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202 500元. 23.解析 (1)∵E 是BC 的中点， ∴BE =CE =1
2BC. ∵点G 是AB 的中点， ∴BG =AG =12AB ，
∵四边形ABCD 为正方形， ∴AB =BC ，∠B =∠BCD =90°，
∴AG=CE，BG=BE.
∵∠B=∠BCD=90°，BG=BE，CF是角平分线，
∴∠BGE=∠BEG=45°，∠ECF=135°，
∴∠AGE=135°，
∴∠AGE=∠ECF.
故答案为AG=CE(或∠AGE=∠ECF，答案不唯一).
(2)取AG=EC，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°.
∵AG=CE，
∴BG=BE，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°.
∵∠BCD=90°，CF是正方形ABCD外角的平分线，∴∠DCF=45°，
∴∠ECF=90°+45°=135°.
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°.
∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△GAE≌△CEF，
∴AE=EF.
时，四边形ECFP是平行四边形.
(3)当k=1
3
证明：由(2)得，△GAE ≌△CEF ， ∴EG =CF.
设BC =x ，则BE =kx ， ∴CF =EG =√2kx ，EC =(1－k )x. ∵EP ⊥AC ，∠ACB =45°， ∴△PEC 是等腰直角三角形， ∴∠PEC =45°，PE =√2
2EC =√2
2(1－k )x. ∵∠ECF =135°， ∴∠PEC +∠ECF =180°， ∴PE ∥CF ，
当PE =CF 时，四边形ECFP 是平行四边形， ∴√2
2(1－k )x =√2kx ， 解得k =1
3.
∴当k =13时，四边形ECFP 是平行四边形.
24.解析 (1)把B (4，0)和C (0，2)代入y =－1
2x 2+bx +c ， 得{−12×16+4b +c =0,c =2,解得{b =3
2,c =2, ∴抛物线的解析式为y =－12x 2+3
2x +2. 令y =0，则－12x 2+3
2x +2=0， 解得x 1=－1，x 2=4， ∴点A 的坐标为(－1，0).
(2)存在点E ，使得△BDE 是以BD 为斜边的直角三角形. ∵点A (－1，0)，点C (0，2)，点D 是线段AC 的中点， ∴点D (−1
2,1)， 设点E (0，m )，
∴DE 2
=(−1
2−0)2
+(1－m )2=m 2－2m +5
4，
BD 2
=(4+12)2
+(0－1)2=85
4， BE 2=m 2+16，
∵△BDE 是以BD 为斜边的直角三角形， ∴BE 2+DE 2=BD 2， ∴m 2+16+m 2－2m +54=85
4， 整理得m 2－m －2=0， 解得m =2或m =－1，
∴点E 的坐标为(0，2)或(0，－1). (3)∵点B (4，0)，C (0，2)， ∴OB =4，OC =2， ∴tan ∠OBC =OC OB =1
2，
设直线BC 的解析式为y =kx +b 1(k ≠0)， 把点B (4，0)，C (0，2)代入得， {4k +b 1=0,b 1=2,解得{k =−1
2,b 1=2, ∴直线BC 的解析式为y =－12x +2，
设点P (a,−1
2a 2+3
2a +2)，则M (a,−1
2a +2)， ∴PM =(−1
2a 2+3
2a +2)－(−1
2a +2)=－1
2a 2+2a ，
当∠PCM =2∠OBC 时，如图甲所示，过点C 作CF ∥x 轴交PM 于点F ， ∴∠FCM =∠OBC ，∴tan ∠FCM =tan ∠OBC =1
2， ∴∠PCF =∠FCM ， ∵PQ ∥y 轴， ∴CF ⊥PQ ，
∴PF =FM ，即PM =2FM ， ∴FM =－1
4a 2+a ，
∵CF =a ，tan ∠FCM =FM CF =1
2，
∴−1
4
a2+a
a
=1
2
，解得a=2或a=0(舍去)，
∴点P的横坐标为2；
图甲图乙
当∠PMC=2∠OBC时，
∵∠PMC=∠BMN，
∴∠BMN=2∠OBC，
∵PQ∥y轴，
∴∠BNM=90°，
∴∠OBC+∠BMN=180°－∠BNM=90°，
∴∠OBC=30°，与tan∠OBC=1
2
相矛盾，不合题意，舍去；
当∠CPM=2∠OBC时，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，
∵∠PMG=∠BMN，
∴△PMG∽△BMN，
∴∠PGM=∠BNM=90°，
∴∠PGC=90°，
∵PG平分∠CPM，∴∠MPG=∠CPG，
∴∠PCM=∠PMC，
∴PC=PM，
∴√a2+(−1
2a2+3
2
a+2−2)
2
=－1
2
a2+2a，
解得a=3
2
或a=0(舍去)，
∴点P的横坐标为3
2
.
综上，点P的横坐标为2或3
2
.。