《直角三角形全等的判定》课件 (同课异构)2022年精品课件

3 3的立方根是 3，
8
2
即 3 33 3 . 82
〔4〕0.216;
(4) 0.63 0.216，
0.216 的立方根是0.6， 即3 0.216 0.6.
〔5〕－5.
(5) -5的立方根是 3 －5.
探究1 求以下各式的值:
3 23 =___2
3 4 3 = __4_
3 (2)3 _-_2__ 3 (3)3 _-3__
∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.
B
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，A
E
F
C
AB=CD,
AF=CE.
D
∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). ∴BF=DE.
变式训练1
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD
平分EF.
BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， E
D
CE=BD, BC=CB .
B
C
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
5.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.
求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC,
BC﹦AD.
应用“HL”的前提条
件是在直角三角形中.
证明： ∵ AC⊥BC， BD⊥AD， ∴∠C与∠D都是直角.
D
C
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
A
B
AB=BA,
这是应用“HL”判
AC=BD .
定方法的书写格式.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). 利用全等证明两条线段
∴ BC﹦AD.
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△PQA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边 和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边 和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
AD∥BC
D C
例2 如图，AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，
如果AD＝AF，AC＝AE. 求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝 角△ABC和△ABE的高，且AD ＝AF，AC＝AE， ∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)． ∴CD＝EF. ∵AD＝AF，AB＝AB， ∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)． ∴BD＝BF. ∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
u 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全
等
B
uu〔几简何写语成言“：斜边、直角边〞或“HL〞〕.
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中， A
C
AB=A′B′,
B′
BC=B′C′,
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
A′
C′
判一判
判断满足以下条件的两个直角三角形是否全等，
不全等的画“×〞，全等的注明理由：
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等；〔AAS 〕 (2)一个锐角和这个角的邻边对应相等；
(3)一个锐角和斜边对应相等； (4)两直角边对应相等； (5)一条直角边和斜边对应等．
〔 AAS或ASA 〕
〔AAS 〕 〔SAS 〕 〔 HL 〕
典例精析 例1 如图，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求证：
A
画图方法视频
B
C
画图思路
N
A
B
CM
C′
〔1〕先画∠M C′ N=90°
画图思路
N
A
B
C M B′
C′
〔2〕在射线C′M上截取B′C′=BC
画图思路
N
A
A′
B
C M B′
C′
〔3〕以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
画图思路
N
A
A′
B
C M B′
C′
〔4〕连接A′B′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
立方根是它本身的数有 1, -1, 0； 平方根是它本身的数 只有0.
u平方根与立方根的异同
被开方数 正数 负数 零
平方根 有两个互为相反数
无平方根 零
立方根 有一个,是正数 有一个,是负数
零
二 开立方及相关运算
每个数a都有一个立方根，记作 3 a ，读作“三次 根号a〞. 如：x3=7时，x是7的立方根．
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，EH＝EB＝3，AE＝4，
那么 CH的长为〔A 〕
A．1 B．2 C．3
D．4
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，那 么△ADB与△ADC全等 〔填“全等〞或“不 全等〞〕，根据是 HL 〔用简写法〕.
4.如图，在△ABC中，BD⊥AC，CE ⊥AB，
〔1〕－27；〔2〕1285；〔3〕3
3； 8
〔4〕0.216；〔5〕－5.
解 : (1) 33 27，
27的立方根是 3， 即3 27 3.
(2)
2 5
3
8， 125
8 的立方根是 2，
125
5
即 3 8 2. 125 5
〔3〕 3 3； 8
(3)
3 2
3
27 8
3 3， 8
第6章
实
数
七年级数学下〔HK〕 教学课件
平方根、立方根
2.立方根
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. 〔重点〕 2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和
立方互为逆运算.〔重点，难点〕
导入新课
情境引入
某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏 气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它 的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原 来储气罐半径的多少倍？
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解 决，“HL〞定理是直角三角形全等独有的判定方 法．所以直角三角形全等的判定方法最多，使用时 应该抓住“直角〞这个隐含的条件．
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个 滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
C
BF=DE
∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
FG=EG BD平分EF
能力拓展 6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝ 10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别 在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点 运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
A
C B
变式2
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂 足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
D
C
HL
P
Rt△ABD≌Rt△BAC A
B
AC=BD
变式3
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC
的位置关系. A HL
Rt△ABD≌Rt△CDB
B
∠ADB=∠CBD
因为(
1 2
)3 =0.125,所以的立方是〔
1
〕；2
因为( 0)3 ＝0，所以0的立方根是〔0 〕；
因为 (-2 )3 ＝－8，所以－8的立方根是〔-2 〕；
因为(
2 3
)3
＝
8 27
，所以 8
27
的立方（
2 3
）.
知识要点
u立方根的性质
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零.
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中, BC=EF,
AC=DF . ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B=∠DEF (全等三角形对应角相等). ∵ ∠DEF+∠F=90°, ∴∠B+∠F=90°.
当堂练习
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有〔 D〕 A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等
AB=CD,
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
B
AF=CE.
F
C
A
EG
BF=DE
∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE
D
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
FG=EG BD平分EF
变式训练2
如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD
平分EF吗?
AB=CD, AF=CE.
相等，这是常见的思路.
变式1： 如图， ∠ACB =∠ADB=90，要证明 △ABC≌ △BAD，还需一个什么条件？把这些条件 都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等
的理由.
〔1〕 AD=BC
〔〕 HL
〔2〕 BD=AC
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
〔〕 HL
〔3〕
〔〕
〔4〕 ∠ DAB= ∠ CBA 〔 AAS 〕
D
∠ DBA= ∠ CAB AAS
思考：
B
A
C
如图，Rt△ABC中，∠C =90°，直角边是_A__C__ 、B_C____，斜边是A__B____.
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角 形是否适用？
口答：
A
A′
1.两个直角三角形中，斜 边和一个锐角对应相等， 这两个直角三角形全等吗？ 为什么？
B
CB′
C′
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相 等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
该是多少？ 3 5 c m
u立方根的概念 一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做a
的立方根，也叫做a的三次方根．记作 3 a .
u立方根的表示 一个数a的立方根可以表示为:
根指数
3a
被开方数
读作:三次根号 a， 其中a是被开方数，3是根指数，3不能省略.
填一填： 根据立方根的意义填空：
因为2 3 =8，所以8的立方根是（ 2 ）；
讲授新课
一 立方根的概念及性质 问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型〔如图〕
，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？
解：设正方体的棱长为x㎝,那么x 3 27, 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 33 2 7 , 所以 x=3. 正方体的棱长为3㎝.
想一想 (1)什么数的立方等于-8？ -2 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又
证明猜测
C
B C'
B'
在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中 ∵AB=A'B',AC=A'C'， 根据勾股定理，
A BC2=AB2－AC2，
B'C'2=A'B'2－A'C'2， ∴BC=B'C'. ∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
A'
知识要点
“斜边、直角边〞定理
u文字语言：
“SSA”可以判定两个 直角三角形全等，但是 “边边”指的是斜边和 一直角边，而“角”指 的是直角.
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直 角三角形全等吗？为什么？
动脑想一想
B
A E
我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理.
C
D
F
动脑想一想
C
B C'
B'
如果这两个三角形都是直角三 角形，即∠C=∠C'=90°， 且AB=A'B',AC=A'C'，现在能
A 判定△ABC≌△A'B'C'吗？
【分析】此题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm， 可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm；
第1章
八年级数学下〔XJ〕 教学课件
直角三角形
直角三角形全等的判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL〞．
〔难点〕
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL〞判定两个
直角三角形全等．〔重点〕
导入新课
旧知回忆:我们学过的判定三角形全等的 方法
SSS ASA SAS AAS
3 03 _0__
温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.
体会：对于任何数a , 3 a3 _a__
探究2 求以下各式的值:
3 8 3 _8__
(3 8)3 _-_8_
3
3 27 2_7__
3 27 3 -_2__7
3 0 3 _0__
注意:这个根指数3绝 对不可省略.
3a
3叫做根指数
a叫做被开方数
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数
求一个数的立方根的运算叫作“开立方〞. “开立方〞与“立方〞互为逆运算
逆向思维
与学习开平方运算的过程一样，表达着一种 重要的数学思想方法，你有体会了么？
典例精析
例1 求以下各数的立方根:
我们知道，证明三角形全等不存 在SSA定理.
A'
讲授新课
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
作图探究 任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A ′B ′C ′， 使∠C′=90 °,B′C′=BC,A ′B ′=AB,把画好的Rt△A′B′ C′ 剪 下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？