高中数学《 复数》整章小结教学设计

《复数》整章小结教学设计
一、内容和内容解析
1．内容
复数的概念、复数的四则运算、复数的三角形式*
2．内容解析
本章通过解方程引入了复数，进而研究复数的表示和运算，以及它们的几何意义，将实数系扩充成复数系．
教科书从解方程入手，通过总结数系不断扩充的过程，特别是从有理数集扩充到实数集的过程，总结了数系扩充的一般规则，即扩充后的数系与原数系中的运算协调一致，且保持运算律不变，进而通过类比规定了复数的概念以及复数相等的概念，将实数集扩充到了复数集．在数学史上，实数集扩充到复数集，是一个漫长而曲折的过程，显示了人类理性思维的强大作用．对数系扩充的学习，有助于提升学生的数学抽象素养．
复数本质上是一对有序数对，因此复数集C与复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量组成的集合也是一一对应的，这就是复数的两种几何
意义．复数几何意义的学习有助于提升学生的直观想象素养．
引入一类数，就要研究它的运算，复数的四则运算中，加法、乘法运算是核心，减法、除法运算分别是它们的逆运算．教科书类比实数的四则运算法则得到了复数的加法法则和乘法法则以及相应的运算律，通过减法和加法、乘法和除法互为逆运算，得到了复数的减法和除法法则以及相应的运算律．复数代数形式的加减运算的几何意义，就是相应平面向量的加减运算．对复数四则运算的学习有助于培养学生的数学运算素养和直观想象素养．
由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角表示，进而研究复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．复数乘、除运算的三角表示形式简洁，在很多情况下可以简化复数的乘、除运算；其几何意义就是平面向量的旋转、伸缩，因此，可以方便地解决很多平面向量和平面几何问题．对复数三角表示的学习有助于提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．
数系通常包括两个要素，一是组成数系的数，二是数系中的运算及运算律；另外，数系的扩充过程也很关键．因此，本章复习的重点是：数系的扩充过程，复数的代数形式及其几何意义，复数的加、减、乘、除四则运算，复数加、减运算的几何意义．特别需要指出的是，复数的三角表示将复数、平面向量和三角函数三者紧密相连，这种形式在复数体系中乃至整个数学中具有极为重要的地位，但鉴于《课程标准（2017年版）》将其定位为选学内容，不作为考试要求，因
此不将它作为本章复习的重点．但建议一旦选学复数的三角表示，也应将复数的三角表示式、复数乘、除运算的三角表示及其几何意义列为本章复习的教学重点．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）通过方程的解，认识复数．
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义．
（3）掌握复数代数形式表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．
（4）通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义．2．目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）能够说出复数系扩充的规则和过程，会解复数系范围内的一元二次方程．
（2）能够说出复数的几何意义，会利用复数的几何意义解决相关问题．
（3）能熟练运用复数的四则运算法则和复数加减运算的几何意义解决有关复数的计算问题．
（4）选学“复数的三角表示”的同学，要能够运用复数的三角表示乘除运算的运算法则和几何意义解决相关运算问题．
三、教学问题诊断分析
理解并掌握实数系扩充到复数系所遵循的规则，是培养学生理性思维的重要抓手，但学生在学习过程中可能不易理解，也不太重视，因此，复习教学中，要回顾并梳理从自然数到复数的扩充过程，进一步理解其“扩充规则”，感受理性思维在数系扩充中发挥的重要作用．
复数代数形式的加、减运算与平面向量加、减运算的联系，复数三角表示式以及复数的乘、除运算与平面向量、三角函数的联系是本章的重点内容，也是难点内容，学生在利用几何意义解决问题时可能不太熟练，要通过典型例题的讲解，分析几何意义的本质，举一反三，突破难点．
四、教学过程设计
（一）复数的概念
问题1：数系是怎样逐步扩充的？请对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理．
师生活动：学生梳理并口述数系扩充的过程，教师用PPT呈现．
追问1：数系扩充的规则是什么？你能说说数学史上数系扩充的历程吗？
师生活动：师生共同回顾归纳数系扩充的规则：数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且
加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．学生口述历史上数系扩充的历程，教师补充完善，并指出理性思维在数系扩充过程中发挥了强大作用．
设计意图：梳理复数扩充的过程和规则，体会理性思维在数系扩充中发挥的作用．
追问2：复数是怎么规定的？实数、虚数、纯虚数、复数之间有什么区别和联系？
追问3：复数相等是怎么规定的？什么是共轭复数？
师生活动：学生思考回答，教师反馈补充，追问1和追问2的答案通过PPT 进行呈现．
设计意图：复习巩固复数的相关概念，体会理性思维在数系扩充中发挥的作用．
问题2：复数的几何意义是什么？实数和复数几何意义的区别是什么？复数的模是什么？
师生活动：学生思考口答，教师用PPT展示．
设计意图：进一步明确复数、复平面内的点以及平面向量三者一一对应的关系，体会复数与向量的联系性．
设计意图：复习巩固复数、虚数、纯虚数的概念．
练习：
1．设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，则满足条件的点Z的集
合是什么？
答案：以原点O为圆心，以2及3为半径的两个圆所夹的圆环，包括圆环的边界．
设计意图：复习巩固复数的几何意义．
（二）复数的四则运算
问题3：复数代数形式的四则运算法则是怎么规定的？满足什么运算律？
问题4:复数代数形式加减运算的几何意义是什么？
追问：你对复数代数形式的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？
师生活动：学生思考回答，教师补充完善，答案通过PPT进行呈现．
练习：
2．若(1-i)+(2+3i)=a+bi（a,b∈R，i是虚数单位），则a,b的值分别等于（）．
（A）3,-2（B）3,2（C）3,-3（D）-1,4
设计意图：复习巩固复数相等的充要条件，复数的加、减运算法则．答案为B．
设计意图：复习巩固复数代数表示式四则运算法则，提升学生的运算求解能力．
师生活动：学生独立完成，教师巡视，及时指出学生解题时出现的问题，对基础较弱的学生进行个别指导．完成后，生生互评，教师点评．答案为：（1）-1；（2）-9i．
（A）-5+5i（B）-5-5i（C）5+5i（D）5-5i
师生活动：学生自主完成，教师评价反馈．教师强调复数和平面向量之间的联系性，复数的运算问题可以转化为平面向量的运算问题去解决，反过来，平面向量的运算问题也可以转化为复数的运算问题去解决．答案为D．设计意图；帮助学生进一步理解复数的几何意义，复数和相应的平面向量的一一对应关系，复习巩固复数的减法运算的几何意义．
例4．在复平面上，正方形ABCD的两个顶点A，B对应的复数分别为1+i，2-3i．求另外两个顶点C，D对应的复数．
师生活动：师生共同分析，学生自主完成，同时请学生到黑板上板演，之后生生、师生之间进行反馈点评、修改完善．
所以，点C，D对应的复数分别为-2-4i,-3i；或6-2i，5+2i.
设计意图：复习巩固复数加、减运算几何意义和复数加、减运算的运算法则，提升学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力和数学运算素养．（三）复数的三角表示（备注：此部分为选学内容，可根据学情自主安排）问题5：什么是复数的三角形式？它与复数的几何意义之间有什么联系？复数的代数形式与三角形式之间有什么关系？
问题6：复数三角表示乘法运算的运算法则是什么，用文字语言如何描述？
问题7：复数乘除运算的三角表示及其几何意义分别是什么？利用复数的乘除运算的几何意义能够解决什么问题？
师生活动：教师利用PPT给出问题，学生根据问题回归课本，回顾所学知识．
设计意图：通过问题串，引导学生回顾复数三角表示的基础知识，将知识系统化、条理化．
设计意图：巩固复数乘法的几何意义、复数的三角表示和代数表示的互化以及复数三角表示的乘、除运算的相关知识，提升学生的数学运算素养．练习：
设计意图：巩固复数的三角表示和辐角主值概念．答案为D．
（四）归纳总结、布置作业
师生活动：请学生用思维导图梳理复数一章的基础知识和解决问题的基本方法．并进行展示交流．
布置作业：教科书复习参考题2复习巩固第1，2，3，4，5题．
五、目标检测设计
设计意图：本题主要评价学生对复数四则运算法则的掌握程度和对复数几何意义的理解程度，同时评价数形结合的思想方法．答案为D．
2．已知复数z满足（z-1）i=1+i，则z=（）．
（A）-2-i（B）-2+i
（C）2-i（D）2+i
设计意图：本题主要评价学生对复数代数表示式四则运算法则和运算律的掌握程度，同时评价数学运算能力．答案为C．
设计意图：本题主要评价学生对复数的几何意义，复数加法运算的几何意义的理解程度，同时评价运算求解能力．答案为．。