宁夏石嘴山三中2016届高三上学期期末数学试卷(理科) 含解析

2015—2016学年宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷（理
科）
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上）．
1．设全集U={0，1，2，3,4}，集合A={1，2，3}，B=｛2，3,4}，则A∪（∁∪B）=() A．｛0，1,2，3｝B．{1｝ C．｛0，1}D．{0｝
2．若复数z=i(1+i)，（i是虚数单位)，则z的共轭复数是（)
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为［20，40）,[40,60）,［60,80）,［80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）
A．45 B．50 C．55 D．60
4．某程序框图如图所示，若输出的S=41,则判断框内应填（)
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？
5．若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）A．［0,6］B．[1，6]C．[1，5]D．[2，4］
6．已知等比数列｛a n｝中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列,则=（）
A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2
7．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．将函数f（x）=sin（4x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x)的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=
9．向如图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（)
A．B． C．D．
10．设α,β,γ为平面,m,n为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）
A．α⊥β,α∩β=n，m⊥n B．α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ,m⊥αD．n⊥α，n⊥β,m⊥α
11．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）(m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线
﹣y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是() A．B．C．D．
12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3,x4满足f（x1)=f
（x2）=f（x3)=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4,则的取值范围是（）A．（20，32）B．（9，21） C．(8，24) D．（15，25）
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分,共20分．
13．已知向量,，若与平行，则m的值是______．14．在（1+x）(2+x）5的展开式中，x3的系数为______（用数字作答）．
15．已知等比数列{a n｝的各项均为不等于1的正数，数列｛b n}满足b n=lna n，b3=18,b6=12，则数列｛b n｝前n项和的最大值为______．
16．给出下列四个命题：
①函数f（x）=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点;
②在△ABC中，已知•=4,•=﹣12，则｜｜=4;
③“a=1”是“函数在定义域上是奇函数"的充分不必要条件；
④若命题p是：对任意的x∈R，都有sinx＜1,则¬p为：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命题的序号是______．
三、解答题：本大题共8小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=．
①求的值．
②若,求△ABC的面积S的最大值．
18．为了普及环保知识增强环保意识，某校从理工类专业甲班抽取60人,从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试
（1)根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99％的把握认为环保知识与专业有关
优秀非优秀总计
甲班
乙班30
总计60
（2）为参加上级举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛,预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选,若每位同学得60分以上的概
率为，得80分以上的概率为,现已知甲班有3人参加预选赛,其中1人为优秀学生,若随
机变量X表示甲班通过预选的人数,求X的分布列及期望E
（X）．附:k2=，n=a+b+c+d
P（K2＞k0) 0.100 0.050 0.025 0。

010 0.005
k02。

706 3。

841 5.024 6。

635 7.879
19．如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE ∥CD,交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF;
（2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半
轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2)已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问:在x轴上是否存在点E,使2+•为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．21．已知函数f(x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0)．
（1)若函数满足f(1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）当＜x＜y＜1时，试比较与的大小．
22．选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心,DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，延长CF交AB于E．
（1)求证：E是AB的中点；
（2)求线段BF的长．
23．以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴,建立极坐标系，两种坐标系中取相同
的长度单位，设点A的极坐标为（2，）,直线l过点A且与极轴成角为,圆C的极坐标方程为ρ=cos(θ﹣)．
（Ⅰ）写出直线l参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线圆C交于B、C两点，求|AB｜•｜AC｜的值．
24．设函数的最小值为a．
（1）求a;
（2)已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求的最小值．
2015-2016学年宁夏石嘴山三中高三（上）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个答案中有且只有一个答案是正确的，把正确选项涂在答题卡的相应位置上）．
1．设全集U=｛0,1，2,3，4｝，集合A=｛1，2，3},B={2,3，4｝，则A∪（∁∪B）=（) A．｛0，1，2,3}B．{1}C．｛0,1｝D．{0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出B补集与A的并集即可．
【解答】解：全集U={0，1，2，3,4}，B=｛2，3，4}，
∴∁∪B=｛0，1},
∵A={1,2，3｝,
∴A∪（∁∪B)=｛0,1，2，3｝，
故选:A．
2．若复数z=i(1+i)，(i是虚数单位），则z的共轭复数是（）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵z=i（1+i）=i﹣1=﹣1+i，
∴．
故选:B．
3．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，［40，60），［60,80）,［80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（)
A．45 B．50 C．55 D．60
【考点】频率分布直方图．
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据,
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0。

01，
每组数据的组距为20
则成绩低于60分的频率P=（0。

005+0.010)×20=0.3,
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
4．某程序框图如图所示,若输出的S=41，则判断框内应填（)
A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，k=5时,S=41，由题意此时应该满足条件，退出循环，输出S 的值为41,结合选项，判断框内应填:k＞4？
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
S=0，k=1
k=2，S=2
不满足条件，k=3，S=7
不满足条件，k=4，S=18
不满足条件，k=5,S=41
由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出S的值为41,结合选项，判断框内应填：k＞4？, 故选:A．
5．若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的取值范围是（）
A．[0,6］B．［1，6]C．[1,5]D．[2，4］
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A（0,1)时,直线的截距最小，
此时z最小，为z=0+1=1，
当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线的截距最大，
此时z最大,
由，解得,
即C(2，1)，此时z=2×2+1=5，
即1≤z≤5，
故选：C．
6．已知等比数列{a n｝中，各项都是正数，且a1，，2a2成等差数列，则=（)
A．1+B．1﹣C．3+2D．3﹣2
【考点】等差数列的性质;等比数列的性质．
【分析】先根据等差中项的性质可知得2×（）=a1+2a2，进而利用通项公式表示出
q2=1+2q，求得q，代入中即可求得答案．
【解答】解：依题意可得2×(）=a1+2a2,
即,a3=a1+2a2,整理得q2=1+2q,
求得q=1±，
∵各项都是正数
∴q＞0，q=1+
∴==3+2
故选C
7．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】通过三视图判断几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边的几何体，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．
【解答】解:由几何体的三视图知:该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，
由俯视图得长方体的长、宽分别是0。

6+2.4=3和2，
由正视图知长方体的高为1+1=2,
∴长方体的体积V=3×2×2=12．
故选D．
8．将函数f(x)=sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个
单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是直线（）
A．x=B．x=C．x=D．x=
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由题意根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：将函数f(x）=sin（4x+)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y=sin （2x+)的图象，
再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin［2（x﹣）+]=sin(2x﹣）的图
象．
令x=，求得g（x）=1，为函数g（x）的最大值，
则y=g（x）图象的一条对称轴是直线x=，
故选：C．
9．向如图中边长为2的正方形中，随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率为（)
A．B． C．D．
【考点】几何概型．
【分析】首先利用定积分公式，求出阴影部分的面积,然后代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：阴影部分的面积S=2×+=1+2ln2,
又边长为2的正方形的面积为：4，
故随机撒一粒黄豆，则黄豆落在图中阴影部分的概率P=；
故选：A
10．设α,β，γ为平面，m,n为直线，则m⊥β的一个充分条件是（)
A．α⊥β，α∩β=n,m⊥n B．α∩γ=m，α⊥γ,β⊥γ
C．α⊥β，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α,n⊥β,m⊥α
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确
【解答】解：对于选项A：α⊥β，α∩β=n，m⊥n，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；
对于选项B:α∩γ=m，α⊥γ,β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交,则m与β不一定垂直，故不正确；
对于选项C:α⊥β,β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交,则m与β不一定垂直，故不正确；
对于选项D:因为n⊥α，n⊥β，所以α∥β，又因为m⊥α,所以m⊥β．正确，
故选：D．
11．已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0)到其焦点的距离为5，双曲线
﹣y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是() A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．
【分析】求得抛物线的准线方程,再由抛物线的定义可得p=8,求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程,再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a 的值．
【解答】解：抛物线y2=2px（p＞0)的准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8,
即有y2=16x，M（1，4）,
双曲线﹣y2=1的左顶点为A(﹣，0），
渐近线方程为y=±x，
直线AM的斜率为，
由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，
可得=，解得a=，
故选A．
12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）
=f(x2）=f（x3）=f（x4），且x1＜x2＜x3＜x4,则的取值范围是（）
A．(20,32）B．（9，21） C．（8，24） D．（15,25)
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1,x3+x4=12,2＜x3＜x4＜10，由此可得则
的取值范围．
【解答】解：函数的图象如图所示，
∵f(x1）=f（x2），
∴﹣log2x1=log2x2，
∴log2x1x2=0,
∴x1x2=1，
∵f(x3)=f(x4），
∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10
∴=x3x4﹣(x3+x4)+1=x3x4﹣11，
∵2＜x3＜x4＜10
∴的取值范围是（9，21）．
故选：B．
二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分,共20分．
13．已知向量，,若与平行，则m的值是．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】根据平面向量的坐标运算与向量平行的坐标表示，列出方程求出m的值．
【解答】解：∵向量，，
∴2﹣=(1,2﹣m)；
又与平行，
∴3(2﹣m）﹣m=0，
解得m=．
故答案为:．
14．在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为120（用数字作答）．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在(1+x）（2+x)5的展开式中含x3的项是什么,从而求出x3的系数．
【解答】解：（2+x)5的展开式的通项是
,
所以在(1+x）（2+x)5=（2+x)5+x(2+x）5的展开式中，
含x3的项为,
所以x3的系数为120．
故答案为：120．
15．已知等比数列{a n｝的各项均为不等于1的正数，数列{b n}满足b n=lna n，b3=18,b6=12，则数列{b n}前n项和的最大值为132．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由已知条件推导出a3=a1q2==e18，==e12，从而得到a n=e24﹣2n，
b n=24﹣2n，由此能求出{b n}的前n项和S n的最大值．
【解答】解：∵等比数列{a n｝的各项均为不等于1的正数,
数列{b n}满足b n=lna n，b3=18，b6=12，
∴a3=a1q2==e18,
==e12,
∴=q3==e﹣6，
解得q=e﹣2，a1===e22,
∴｛a n｝的通项公式为=e24﹣2n,
∵数列{b n}满足b n=lna n，
=24﹣2n，
当n=12时，b n=0
则当n≥12时，b n＜0
∴{b n}的前n项和S n取最大值时，n=12，
∴S n的最大值是S12==6（24﹣2+24﹣24）=132．
故答案为：132．
16．给出下列四个命题:
①函数f（x)=lnx﹣2+x在区间（1，e）上存在零点；
②在△ABC中,已知•=4，•=﹣12，则||=4；
③“a=1"是“函数在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;
④若命题p是：对任意的x∈R，都有sinx＜1,则¬p为：存在x∈R，使得sinx＞1．其中所有真命题的序号是①②③．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据函数零点的存在条件进行判断即可．
②根据向量的数量积运算进行判断．
③根据函数奇偶性的定义以及充分条件和必要条件进行判断．
④根据含有量词的命题的否定进行判断即可．
【解答】解:①函数f（x)=lnx﹣2+x在区间（1，e)上为增函数,
∵f（1）=ln1﹣2+1=﹣1＜0，f（e)=lne﹣2+e=e﹣1＞0，
∴函数f（x）在区间(1，e)上存在零点；
②在△ABC中，已知•=4，•=﹣12，
则•﹣•=16，
即•（﹣)=•(﹣）=•=16,
||=4；故②正确，
③若“函数在定义域上是奇函数”,
则==,即解得a=±1，故“a=1”是函数在定义域上是奇函数的充分不必要条件正确;故③正确，
④若命题p是：对任意的x∈R,都有sinx＜1,则￢p为：存在x∈R，使得sinx≥1．故④错误，
故答案为：①②③．
三、解答题:本大题共8小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在△ABC 中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且cosA=．
①求的值．
②若，求△ABC的面积S的最大值．
【考点】解三角形．
【分析】①根据=﹣,利用诱导公式cos(﹣α)=sinα化简所求式子的第一项，然
后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于cosA的式子，将cosA的值代入即可求出值；
②由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值,根据三角形的面积公式S=bcsinA表示出三角形的面积,把sinA的值代入得到关于bc的关系式,要求S的最大值，
只需求bc的最大值即可,方法为：根据余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入,并利用基本不等式化简，把a的值代入即可求出bc的最大值，进而得到面积S的最大值．
【解答】解：①∵cosA=，
∴
=
=；
②，
∴，
，
∴，，
∴，
．
18．为了普及环保知识增强环保意识,某校从理工类专业甲班抽取60人，从文史类乙班抽取50人参加环保知识测试
(1）根据题目条件完成下面2×2列联表，并据此判断你是否有99％的把握认为环保知识与专业有关
优秀非优秀总计
甲班
乙班30
总计60
（2）为参加上级举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛，预选赛答卷满分100分，优秀的同学得60分以上通过预选，非优秀的同学得80分以上通过预选，若每位同学得60分以上的
概率为,得80分以上的概率为，现已知甲班有3人参加预选赛，其中1人为优秀学生，
若随机变量X表示甲班通过预选的人数，求X的分布列及期望E
（X）．附:k2=，n=a+b+c+d
P（K2＞k0) 0。

100 0。

050 0.025 0。

010 0。

005
k0 2.706 3。

841 5。

024 6.635 7.879
【考点】独立性检验的应用．
【分析】（1)由题设条件作出列联表，根据列联表中的数据，得到
K2=≈7.8＞6。

635．由此得到有99％的把握认为环保知识测
试与专业有关．
(2)由题设知X的可能取值为0，1,2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．
【解答】解(1）2×2列联表如下
优秀非优秀总计
甲班40 20 60
乙班20 30 50
总计60 50 110
K2=≈7。

8＞6。

635，
所以有99%的把握认为环保知识与专业有关
（2）不妨设3名同学为小王，小张，小李且小王为优秀，记事件M，N，R分别表示小王,小张，小李通过预选，则P（M）=，P（N）=P（R)=
随机变量X的取值为0，1，2，3
所以P(X=0)=P（)=××=，
P（X=1）=P（M+N+R）=××+××+××=，
P（X=2）=P（MN+NR+M R)=××+××+××=，
P（X=3）=P（MNR)=××=
所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
E（X）=0×+1×+2×+3×=
19．如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
（1）证明：CF⊥平面ADF;
(2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．【分析】(1）结合已知又直线和平面垂直的判定定理可判PC⊥平面ADF，即得所求；（2)由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可．
【解答】解：（1)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，
又CD⊥AD,PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD,
∴AD⊥PC，又AF⊥PC,
∴PC⊥平面ADF，即CF⊥平面ADF；
（2)设AB=1，在RT△PDC中，CD=1，∠DPC=30°,
∴PC=2，PD=，由（1）知CF⊥DF，
∴DF=,AF==,
∴CF==，又FE∥CD，
∴，∴DE=，同理可得EF=CD=,
如图所示，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，1），E（,0,0),F(，，0)，P（，0，0），C（0，1，0）
设向量=（x，y，z）为平面AEF的法向量，则有，，
∴，令x=4可得z=，∴=（4,0，），
由(1）知平面ADF的一个法向量为=(,1，0），
设二面角D﹣AF﹣E的平面角为θ，可知θ为锐角,
cosθ=|cos＜，＞｜===
∴二面角D﹣AF﹣E的余弦值为：
20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半
轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．
(1）求椭圆C的标准方程;
（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在,试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）求得圆O的方程，由直线和圆相切的条件：d=r，可得a的值，再由离心率公式，可得c的值，结合a,b，c的关系，可得b,由此能求出椭圆的方程;
(2)由直线y=k(x﹣2）和椭圆方程，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，由此利用韦达定理、
向量的数量积,结合已知条件能求出在x轴上存在点E，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1)由离心率为，得=，
即c=a，①
又以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2+y2=a2，
且与直线相切,
所以，代入①得c=2，
所以b2=a2﹣c2=2．
所以椭圆C的标准方程为+=1．
（2）由，可得(1+3k2)x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
△=144k4﹣4（1+3k2)（12k2﹣6）＞0，即为6+6k2＞0恒成立．
设A（x1，y1），B（x2，y2），
所以x1+x2=,x1x2=，
根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），
使得为定值，
则有=(x1﹣m，y1）•（x2﹣m,y2）=（x1﹣m)•(x2﹣m）+y1y2
=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）(x2﹣2）
=（k2+1）x1x2﹣（2k2+m）（x1+x2）+（4k2+m2）
=（k2+1)•﹣（2k2+m)•+（4k2+m2）
=，
要使上式为定值，即与k无关，则应3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），
即，此时=为定值，定点E为．
21．已知函数f(x）=ax2+x﹣xlnx（a＞0）．
(1）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围;
（3）当＜x＜y＜1时，试比较与的大小．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系．
【分析】（1)依题意，1﹣﹣≥b，构造函数g（x）=1﹣﹣，利用导数可求得g(x）min，从而可求得实数b的取值范围;
（2）f′(x）=2ax﹣lnx,（x＞0)，令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围；
(3)由（1)知g（x）=1﹣在(0，1)上单调递减，从而可得，＜x＜y＜1时,＜
，进一步分析即可得到＜．
【解答】解：（1）由f（1）=2，得a=1,又x＞0,
∴x2+x﹣xlnx≥bx2+2x恒成立⇔1﹣﹣≥b,…
令g（x）=1﹣﹣,可得g（x)在（0，1］上递减,
在[1，+∞）上递增，所以g（x）min=g(1）=0，
即b≤0…
(2）f′(x）=2ax﹣lnx，（x＞0）,
令f′（x）≥0得:2a≥,设h（x）=，当x=e时，h（x）max=，
∴当a≥时,函数f（x)在（0,+∞）单调递增…
若0＜a＜，g（x）=2ax﹣lnx,（x＞0），g′（x)=2a﹣，
g′（x）=0，x=，x∈（0，），g′（x）＜0，x∈（，+∞)，g′（x)＞0,
∴x=时取得极小值，即最小值．
而当0＜a＜时,g（）=1﹣ln＜0,
f′（x）=0必有根，f(x)必有极值,在定义域上不单调…
∴a≥…
（3）由（1）知g（x）=1﹣在(0,1）上单调递减,
∴＜x＜y＜1时，g（x）＞g(y）即＜…
而＜x＜y＜1时，﹣1＜lnx＜0,
∴1+lnx＞0,
∴＜…
22．选做题：几何证明选讲
如图，ABCD是边长为a的正方形,以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O 交于点F，延长CF交AB于E．
（1)求证：E是AB的中点；
(2）求线段BF的长．
【考点】相似三角形的性质;相似三角形的判定；圆周角定理．
【分析】（1）根据∠CDO=∠FDO,BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到,
即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．
(2）根据两个角对应相等,得到两个三角形相似，得到对应边成比例,根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．
【解答】（1）证明：连接DF，DO,则∠CDO=∠FDO，
因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，
所以，即∠CDO=∠BCE,
故Rt△CDO≌Rt△BCE，
所以．…
所以E是AB的中点．
（2）解：连接BF，
∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB
∴△FEB∽△BEC，
得,
∵ABCD是边长为a的正方形,
所以．…
23．以平面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位,设点A的极坐标为(2，）,直线l过点A且与极轴成角为,圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．
（Ⅰ）写出直线l参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ) 设直线l与曲线圆C交于B、C两点，求｜AB｜•|AC｜的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ)写出A的直角坐标,通过倾斜角，得到参数方程．
（Ⅱ)化简极坐标方程为直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义，求解即可．
【解答】解：(Ⅰ)由题知点A的极坐标为（2，），的直角坐标为A(）,所以直线L 过A点倾斜角为的参数方程为
,t为参数．
因为圆C的极坐标方程为ρ=cos（θ﹣）．所以ρ=cosθ+sinθ,
所以圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣x﹣y=0．
（Ⅱ)将直线的参数方程代到圆C的直角坐标方程中整理得：
t2+（)t+3﹣=0设B，C对应的参数分别为t1，t2
∴|AB｜•|AC｜=｜t1t2｜=．
24．设函数的最小值为a．
（1）求a；
（2）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求的最小值．
【考点】绝对值不等式的解法;基本不等式．
【分析】（1)求出f（x）的分段函数的形式,通过讨论x的范围，求出a的值即可;（2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可．
【解答】解：（1)函数，
当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减；
当x∈［1,+∞）时,f(x）单调递增，
所以当x=1时，f（x)的最小值a=．
(2）由(Ⅰ）知m2+n2=，由m2+n2≥2mn，得mn≤，
∴≥，
故有+≥2≥，当且仅当m=n=时取等号，
所以的最小值为．
2016年9月25日。