2020届西藏拉萨中学高三上学期第三次月考数学(理)试题解析

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2020届西藏拉萨中学高三上学期第三次月考数学（理）试题
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题
1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6 B ．{}1,7
C ．{}6,7
D ．{}1,6,7
【答案】C
先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 解：
由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 点评：
本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．
2．已知向量()1,2a =-r ，(),4b x =r 且//a b r r ，则a b +=r r （ ）
A ．5
B ．
C ．
D 【答案】C
根据向量平行可求得x ，利用坐标运算求得()3,6a b +=-r
r ，根据模长定义求得结果.
解：
//a b
r r Q
420x ∴--= 2x ∴=-
()2,4b ∴=-r ()3,6a b ∴+=-r
r a b ∴+=r r
本题正确选项：C 点评：
本题考查向量模长的求解，涉及到利用向量共线求解参数、向量的坐标运算问题，属于基础题.
3．在等差数列{}n a 中，143,24a a ==，则7a = A ．32 B ．45
C ．64
D ．96
【答案】B
利用等差数列的性质列方程，解方程求得7a 的值. 解：
根据等差数列的性质有1747412,248345a a a a a a +==-=-=，故选B. 点评：
本小题主要考查等差数列的性质，考查观察能力，属于基础题. 4．若25
2log a =，30.4b =，ln3c =，则,,a b c 的大小关系是( )
A ．a c b <<
B ．a b c <<
C ．c b a <<
D ．b c a <<
【答案】B
利用指对函数的单调性即可比较大小. 解：
解：因为()()()322
log ,0,0.40,1,ln31,5
a b c =∈-∞=∈=∈+∞， 所以a b c <<， 故选B ． 点评：
本题考查了对数值的运算及比较大小，考查指数函数与对数函数的单调性，属简单题. 5．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知1
1,,cos 43
b B A π
===，则a =（ ） A ．
4
3
B
．
3
C ．
34
D
【答案】A
由1cos 3A =
得sin A
=43a =，
故选A
6．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则
3132310log log log a a a +++=L （ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．32log 5+
【答案】B
由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.
1102938479a a a a a a a a ====⋯=.
则5
313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，
故选B.
7．曲线y=﹣x 3+3x 2
在点（1，2）处的切线方程为（ ） A ．y=3x ﹣1 B ．y=﹣3x+5 C ．y=3x+5 D ．y=2x
【答案】A
试题分析：根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可． 解：∵y=﹣x 3+3x 2∴y'=﹣3x 2
+6x ， ∴y'|x=1=（﹣3x 2
+6x ）|x=1=3，
∴曲线y=﹣x 3+3x 2在点（1，2）处的切线方程为y ﹣2=3（x ﹣1）， 即y=3x ﹣1， 故选A ．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．
8．设函数()1x
2,x 12f x 1log x,x 1-≤⎧
=->⎨⎩
，则满足()f x 2≤的x 的取值范围是( )
A ．[]
1,2- B ．[]0,2
C ．[)1,∞+
D ．[
)0,∞+ 【答案】D
分类讨论：①当x 1≤时；②当x 1>时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可． 解：
当x 1≤时，1x 22-≤的可变形为1x 1-≤，x 0≥，0x 1∴≤≤． 当x 1>时，21log x 2-≤的可变形为1
x 2
≥，x 1∴≥，故答案为[)0,∞+． 故选D ． 点评：
本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
9．已知等差数列{}n a 的前n 项为n S ，且1514a a +=-，927S =-，则使得n S 取最小值时的n 为（ ）． A ．1 B ．6
C ．7
D ．6或7
【答案】B
试题分析：由等差数列
的性质，可得
，又
，所以，所以数列的通项公式为，令
，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．
【考点】等差数列的性质.
10．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头（最少一层）几盏灯？”（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．
解：
设塔顶的1a盏灯，
由题意{a n}是公比为2的等比数列，
∴S7=381=
()7
1
12
1-2
a-
，
解得13
a ．
故选D．
点评：
本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A ．32
B ．
323
C ．16
D ．
163
【答案】D
根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 解：
由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为
1122223⨯⨯⨯+116
22223
⨯⨯⨯⨯=.故选D. 点评：
本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 12．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数
()3221
()11()3
f x x ax a x a =++-+∈R 的导数()y f x ='的图象，则(1)f -等于
（ ）
A ．
13
B ．
73
C ．13-或
53
D ．13
-
【答案】D
先求导，根据二次函数性质确定导函数图像，再求解.
解：
因为导函数()()
()2
2
21f x x ax a a R =++-∈'，
所以导函数的图像是开口向上的抛物线，
所以导函数图像是从左至右第三个，所以0a < ， 又()00f '=，即210a -=，所以1a =-， 所以()()()()()
()32
2111111111133
f -=⨯-+-⨯-+-⨯-+=-. 故选D. 点评：
本题主要考查函数求导及二次函数的性质.
二、填空题
13．已知0x >，则4
x x
+的最小值为_______. 【答案】4
直接利用基本不等式求解. 解：
由基本不等式得4
4x x
+≥=，当且仅当2x =时取等. 所以4
x x
+
的最小值为4. 故答案为：4 点评：
本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．已知x ，y 满足约束条件：210
201x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪>-⎩
，则2z x y =+的最大值是______.
【答案】3
作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案. 解：
作出约束条件所表示的可行域，如图所示，
当直线2z x y =+过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，
可求得点5
1(,)33A -，∴max 51
33
23z ⨯-==. 故答案为：3.
点评：
本题考查线性规划求最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意直线截距几何意义的应用.
15．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100
根据题意可求出首项和公差，进而求得结果. 解：
317
125,613a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩得11
,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109
101012100.22
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯+⨯= 点评：
本题考点为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键． 16．给出下列四个命题：
①ABC ∆中，A B >是sin sin A B >成立的充要条件； ②当01x x >≠且时，有1
ln 2ln x x
+
≥； ③已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若75S S >，则93S S >； ④若函数32y f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
为R 上的奇函数，则函数()y f x =的图象一定关于点3,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
成中心对称．其中所有正确命题的序号为___________．
【答案】①③
①利用正弦定理可判断；②举反例即可判断；③利用等差数列等差中项计算可判断； ④根据奇函数的性质与函数图象平移可判断. 解：
①在△ABC 中，由正弦定理可得
sin sin a b A B
= , ∴sinA ＞sinB ⇔a ＞b ⇔A ＞B ，因此A ＞B 是sinA ＞sinB 的充要条件，①正确；
②当1＞x ＞0时，lnx ＜0，所以不一定大于等于2，②不成立；
③等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＞S 5，则S 7-S 5=a 6+a 7＞0，S 9-S 3=a 4+a 5+…+a 9=3（a 6+a 7）＞0，因此S 9＞S 3，③正确； ④若函数32y f x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
为R 上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f （x ）的图象是把y=f （x-32）的图象向左平移3
2
个单位得到的，故函数
y=f （x ）的图象一定关于点F （-3
2
，0）成中心对称，④不正确．
综上只有①③正确． 点评：
本题考查了命题的真假判断，考查了充分必要条件的判断，考查了正弦定理的应用，对数函数图象和性质，基本不等式，等差数列的性质，考查了函数的奇偶性和图象的平移， 考查了推理能力与计算能力，涉及知识点多且全，是此类题目的特点.
三、解答题
17．已知数列{}n a 是等差数列，满足142,8a a ==，数列{}n b 是等比数列，满足
254,32b b ==.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S .
【答案】（Ⅰ）2n ，2n
；（2）Sn 2122n n n +=++-
(1)先求d,即得数列n {}a 的通项，再求1,q b 即得等比数列n {}b 的通项.(2)利用分组求和求数列的前n 项和.
解：
（1）设等差数列n {}a 的公差为d ，由题意得41
23
a a d -=
=， 所以()()n 112122a a n d n n =+-⋅=+-⨯=．
设等比数列n {}b 的公比为q ，由题意得3
5
2
8b q b =
=，解得2q =． 因为2
12b b q
=
=，所以111222n n n n b b q --=⋅=⋅=． （2）．
点评：
(1)本题主要考查等差等比数列的通项的求法，考查分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 有一类数列{}n n a b +，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列{},{}n n a b 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.
18．已知向量a v = (1，2sin θ)，b v
= (sin(θ+3
π
)，1)，θ∈R ． (1) 若a v ⊥b v
，求 tan θ的值；
(2) 若a v ∥b v ，且 θ∈ (0，2
π
)，求 θ的值
【答案】（1）tan 3
（2）θ＝6π.
（1）利用两个向量垂直的坐标表示，列出方程，化简可求得tan θ的值.（2）利用两个向量平行的坐标表示，列出方程，化简可求得θ的值. 解：
（1）依题意，得：a v •b v
＝0，即
sin(θ+3π
)+2sin θ＝0，展开，得： sin θcos 3π＋cos θsin 3
π
+2sin θ＝0，
化简，得：
52sin 3θ＝0，解得：tan 3
（2）因为a v
∥b v
，所以，2sin θsin(θ+
3
π
)＝1，展开得：
2sin θ（sin θcos
3π＋cos θsin 3
π
）＝1， 即：2sin 2
θ＋
θcos θ＝2， 即：1－cos2
θ＝2，
化为：sin （2θ－6π）＝12，因为θ∈ (0，2π)，所以，2θ－6
π
∈ (5,66ππ-)，
所以，2θ－6π＝6π，解得：θ＝6
π
点评：
本小题主要考查两个向量垂直和两个向量平行的坐标表示，还考查了三角恒等变换，以及特殊角的三角函数值等知识，属于中档题. 19．等差数列{}n a 中，71994,2a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式； (2)设1
n n
b na =
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）12n n a +=（2）2222222()()()122311
n n
S n n n =-+-++-=++L
解：
(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.
因为71994{2a a a ＝，＝，所以11164{1828a d a d a d +++＝，
＝（）
. 解得a 1＝1，d ＝
12.所以{a n }的通项公式为a n ＝1
2
n +. (2)b n ＝1n na ＝222
11
n n n n -++＝（），
所以S n ＝2222222()122311
n n n n ⎛⎫⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭
－－－
＝＋ 20．设函数()3
2
2312f x x x x m =--+． （1）求函数()f x 的单调减区间；
（2）若函数()f x 在区间[]2,3-上的极大值为8，求在区间[]
2,3-上的最小值． 【答案】（1）减区间为（﹣1，2）；（2）f(x)的最小值为-19．
（1）先求出()f x '
，由()0f x '<可得减区间；（2）根据极大值为8求得1m =，然后
再求出最小值．
解：
（1）f ′（x ）=6x 2
-6x ﹣12=6（x-2）（x+1）， 令()0f x '<，得﹣1＜x ＜2． ∴函数f （x ）的减区间为（﹣1，2）．
（2）由（1）知，f ′（x ）=6x 2
-6x ﹣12=6（x+1）（x ﹣2）， 令f ′（x ）=0，得x=-1或x=2（舍）．
当x 在闭区间[-2，3]变化时，f ′（x ），f （x ）变化情况如下表
∴当x=-1时，f （x ）取极大值f （-1）=m+7， 由已知m+7=8，得m=1．
当x=2时f(x)取极小值f(2)=m-20=-19 又f(-2)=-3,
所以f(x)的最小值为-19． 点评：
（1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；
（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值．
21．已知函数
2
12
()log (1)f x x =+，2()6g x x ax =-+. （Ⅰ）若()g x 为偶函数，求a 的值并写出()g x 的增区间；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()0<g x 的解集为{|23}x x <<，当1x >时，求()
1
g x x -的最小值；
（Ⅲ）对任意的1[1,)x ∈+∞，2[2,4]x ∈-，不等式12()()f x g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1) 0a =；增区间()0,∞+.
(2)
()
1
g x x -的最小值为3，取“=”时1x =.
(3) 11
2
a -
≤≤分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得()()g x g x -=，求出a 的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定()g x 的增区间；
（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得a 的值.再化简整理()1
g x x -的表达式，结合1
x >和基本不等式即可得到答案.
（Ⅲ）先求出[
)1,+∞区间上max ()f x ，再将不等式()()12f x g x ≤恒成立，转化为
[]2,4-上max ()()g x f x ≥恒成立问题，构造新函数max ()=(x)-(x)F x g f ，得()0F x ≥恒
成立，分类讨论求得参数a 的值. 详解：解：（Ⅰ）Q ()g x 为偶函数，
∴()()g x g x -=，即22
()66x ax x ax -++=-+，解得0a =.
所以，函数2
()6g x x =+，对称轴0x =，增区间()0,+∞
（Ⅱ）由题知235a =+=
∴()
()2562
13111
g x x x x x x x -+==-+----
又∵1x >，∴()2
1331
x x -+
-≥-
∴
()31g x x ≥-，
即
()1
g x x -的最小值为3，取“=”时1x =
（Ⅲ）∵1x ≥时，
()()
2
12
log 11f x x =+≤- ∴261x ax -+≥-在[]
2,4x ∈-恒成立 记()2
7F x x ax =-+，（24x -≤≤）
①当4a ≤-时，()()min 2211F x F a =-=+ 由1121102a a +≥⇒≥-
，∴11
42
a -≤≤- ②当48a -<<时，()2
min
724a a F x F ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
由2
704
a a -+≥⇒-≤≤4a -<≤③当8a ≥时，()()min 4423F x F a ==-+
由23
42304
a a -+≥⇒≤
，a ∈∅
综上所述，a 的取值范围是11
2
a -≤≤点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键. 22．证明不等式：
（1（2）已知a 、b 、c 为不全相等的实数，求证：222a b c ab bc ca ++>++. 【答案】（1）见解析；（2）见解析
（1）利用分析法可知只需证(2
2
>，即证42＞40，从而证明不等
式成立；
（2）利用分析法可知要证222a b c ab bc ca ++>++，即证
()()()
222
0a b b c a c -+-+->从而证明不等式成立．
解：
证明：（1(
2
2
+>，
>4240>， 而4240>显然成立，故原不等式成立.
（2）要证222a b c ab bc ca ++>++，只需证(
)()222
22a b c ab bc ca ++>++，
即证()()()222
0a b b c a c -+-+->， 因为a ，b ，c 是不全相等的实数，
所以()2
0a b ->，()20b c ->，()2
0a c ->， 所以()()()2
2
2
0a b b c a c -+-+->显然成立. 点评：
本题考查利用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，属中档题．。