新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
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虚数不能比较大小，但它们的模表示非负实数，可以比较大小． (2)几何角度理解：表示复数的点 Z 到原点的距离．|z1－z2|表示复数
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
关键能力•攻重难
ห้องสมุดไป่ตู้
题型探究
题型一
复数与复平面内点的关系
例 1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i,其中a∈R.当复数z在复平面
内对应的点Z满足以下条件时,求a的值(或取值范围)．
知识点4 共轭复数 若两个复数的实部__相__等__，而虚部互为_相__反__数__，则称这两个复数互
为共轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表示．当 z＝a＋bi(a，b∈R)时，z ＝ _a_－__b_i___.
注意：对共轭复数模的两点说明 (1)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的 模相等； (2)任意一个实数的共轭复数仍是它本身．
知识点2 复数的几何意义 一一对应 (a,b)
一一对应
知识点3 复数的模 (1)定义：向量O→Z的__模___称为复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2)记法：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝__a_2＋__b. 2 注意：对复数模的两点说明 (1)数的角度理解：复数 a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝ a2＋b2，两个
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)复平面内的点与复数是一一对应的． (2)复数即为向量,反之,向量即为复数． (3)复数的模一定是正实数． (4)复数与向量一一对应．
(√ ) (× ) (× ) (× )
2．已知复数z＝－i,复平面内对应点Z的坐标为
A．(0,－1)
B．(－1,0)
结构,并用数学语言予以表征的素
养.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识 知识点1 复平面
思考1：有些同学说：实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这 句话对吗？
提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都 表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z＝0＋0i＝ 0,表示的是实数．
题型二
复数与复平面内向量的关系
例 2 (1)在复平面内,复数10＋7i,－6＋i对应的点分别为A,B．若C
为线段AB的中点,则点C对应的复数是
( C)
A．4＋8i
B．16＋6i
C．2＋4i
D．8＋3i
(2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1， 2＋i，－1＋2i. ①求向量A→B，A→C，B→C对应的复数； ②判定△ABC 的形状．
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的
点不可能位于
( B)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)z＝－1－2i 对应点 Z(－1，－2)，位于第三象限. (2)复数 z＝(3m－2)＋(m－1)i 在复平面内的对应点 P(3m－2，m－1)， 当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<23时，P 在第三象限，当23<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝23时，P 在 y 轴上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B．
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.2 复数的几何意义
课程标准
核心素养
通过本节的学习,培养学生从数量
1．通过类比实数的几何意义来理 与数量、图形与图形关系中抽象出
解复数的几何意义．
数学概念及概念之间的关系,从事
2．理解复数的两种几何意义． 物的具体背景中抽象出一般规律和
3．了解复数模的意义.
(1)若点 Z 在实轴上，则有 2a－3＝0，解得 a＝32.
(2)若点 Z 在第二象限，则有a22a－－43<>00，，
－2<a<2， 即a>23，
解得32<a<2.
(3)若点 Z 在抛物线 y2＝4x 上，则有(2a－3)2＝
4(a2－4)，整理得 12a－25＝0，解得 a＝2152.
[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部 就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时, 可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解 方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围)．
【对点练习】❶ (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应
的点位于
(C)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上．
[分析] 根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满
足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值范围)．
[解析] 因为 z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数 z 在复平面内对应的点 Z 的坐标为(a2－4,2a－3)．
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
关键能力•攻重难
ห้องสมุดไป่ตู้
题型探究
题型一
复数与复平面内点的关系
例 1 已知复数z＝(a2－4)＋(2a－3)i,其中a∈R.当复数z在复平面
内对应的点Z满足以下条件时,求a的值(或取值范围)．
知识点4 共轭复数 若两个复数的实部__相__等__，而虚部互为_相__反__数__，则称这两个复数互
为共轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表示．当 z＝a＋bi(a，b∈R)时，z ＝ _a_－__b_i___.
注意：对共轭复数模的两点说明 (1)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的 模相等； (2)任意一个实数的共轭复数仍是它本身．
知识点2 复数的几何意义 一一对应 (a,b)
一一对应
知识点3 复数的模 (1)定义：向量O→Z的__模___称为复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模． (2)记法：复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模记为|z|或|a＋bi|且|z|＝__a_2＋__b. 2 注意：对复数模的两点说明 (1)数的角度理解：复数 a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝ a2＋b2，两个
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)复平面内的点与复数是一一对应的． (2)复数即为向量,反之,向量即为复数． (3)复数的模一定是正实数． (4)复数与向量一一对应．
(√ ) (× ) (× ) (× )
2．已知复数z＝－i,复平面内对应点Z的坐标为
A．(0,－1)
B．(－1,0)
结构,并用数学语言予以表征的素
养.
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识 知识点1 复平面
思考1：有些同学说：实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示虚数,这 句话对吗？
提示：不正确．实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都 表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z＝0＋0i＝ 0,表示的是实数．
题型二
复数与复平面内向量的关系
例 2 (1)在复平面内,复数10＋7i,－6＋i对应的点分别为A,B．若C
为线段AB的中点,则点C对应的复数是
( C)
A．4＋8i
B．16＋6i
C．2＋4i
D．8＋3i
(2)在复平面内，A，B，C 三点对应的复数分别为 1， 2＋i，－1＋2i. ①求向量A→B，A→C，B→C对应的复数； ②判定△ABC 的形状．
D．第四象限
(2)复数z＝(3m－2)＋(m－1)i(m∈R,i为虚数单位)在复平面内对应的
点不可能位于
( B)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)z＝－1－2i 对应点 Z(－1，－2)，位于第三象限. (2)复数 z＝(3m－2)＋(m－1)i 在复平面内的对应点 P(3m－2，m－1)， 当 m>1 时，P 在第一象限；当 m<23时，P 在第三象限，当23<m<1 时，P 在第四象限，当 m＝23时，P 在 y 轴上，当 m＝1 时，P 在 x 轴上，故选 B．
第五章 复数
§1 复数的概念及其几何意义
1.2 复数的几何意义
课程标准
核心素养
通过本节的学习,培养学生从数量
1．通过类比实数的几何意义来理 与数量、图形与图形关系中抽象出
解复数的几何意义．
数学概念及概念之间的关系,从事
2．理解复数的两种几何意义． 物的具体背景中抽象出一般规律和
3．了解复数模的意义.
(1)若点 Z 在实轴上，则有 2a－3＝0，解得 a＝32.
(2)若点 Z 在第二象限，则有a22a－－43<>00，，
－2<a<2， 即a>23，
解得32<a<2.
(3)若点 Z 在抛物线 y2＝4x 上，则有(2a－3)2＝
4(a2－4)，整理得 12a－25＝0，解得 a＝2152.
[归纳提升] 1．复数与复平面内点的对应关系的实质：复数的实部 就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标．
2．已知复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时, 可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解 方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围)．
【对点练习】❶ (1)复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应
的点位于
(C)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
(1)Z在实轴上；
(2)Z在第二象限；
(3)Z在抛物线y2＝4x上．
[分析] 根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满
足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值范围)．
[解析] 因为 z＝(a2－4)＋(2a－3)i，所以复数 z 在复平面内对应的点 Z 的坐标为(a2－4,2a－3)．