北师大版小学数学六年级上册第六单元分析

六比的认识
单元学习目标
1.经历从具体情境中抽象出比的过程，体会认识比的必要性，理解比的意义及其与除法、分数的关系，感受比在生活中的广泛应用。

2.会运用商不变的规律或分数的基本性质化简比，并解决一些简单的实际问题。

3.经历与他人交流算法的过程，能运用比的意义，解决按比进行分配的实际问题。

4.在解决问题的过程中，初步养成乐于思考、勇于质疑的学习习惯。

单元学习内容的前后联系
在小学阶段，分数的认识大致分为三个阶段：第一阶段初步认识分数，侧重理解分数的份数定义，即从把整体平均分后部分与整体的数量关系上认识分数；第二阶段分数的再认识，侧重理解分数的商的定义，即分数表示两个整数相除的商；第三阶段理解分数的比的定义，即分数表示两个整数的比，所以，比的认识也是对分数认识的丰富。

本单元就是第三阶段，借助比的认识，发展学生对除法和分数的认识，
沟通知识间的内在联系，加强对现实生活中数量关系的理解和认识，进一步完善认知结构，为以后进一步学习比例以及其他有关方面的知识打好基础。

单元学习内容分析
本单元的学习，是建立在学生已学过的分数乘（除）法的意义和计算、分数的意义及基本性质以及分数与除法的关系的基础上进行的，这些知识都是学生学习本单元内容的直接基础。

本单元学习的主要内容有：比的意义、化简和应用。

组织本单元学习内容的思路如下。

本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。

1.提供多种情境和方式，让学生经历从具体情境中抽象出比的意义的过程
比是数学中的一个重要的概念，而学生理解比的意义往往比较困难。

为此，教科书提供了大量的与学生已有经验密切联系的情境，引发学生的思考与讨论，并在此基础上抽象出比的概念，使学生体会引
入比的必要性以及比在生活中的广泛应用。

究竟比的必要性表现在哪里？长方形像不像的问题是引入比的现实来源，长方形的形状特征可以用它的长和宽这两个对等的量来刻画，就是这两个量的比。

所以，比是用来刻画事物不可度量的属性的。

如行走的快慢、水果的贵贱，蜜水的甜度等都是不可度量的，但它们都可以用两个可以度量的对等的量来刻画或记录，这就是学习比的必要性。

至于“两个数相除又叫作这两个数的比”，是在数学世界里比的数学意义，即揭示数学知识之间的联系，或者说在数学世界里除法是比的来源。

“哪几张图片与图A比较像”，从几何的角度探究“长方形的长与宽有什么关系”，引入比，体会引入比的必要性；借助“甘蔗
汁”“树高和影长”等生活情境作为进一步理解比的载体，多角度解释比；从“速度”“苹果价格”这两个常见的数量关系理解路程与时间的比、总价与数量的比，逐步抽象出比的意义，由浅入深地引导学生在独立思考、实际操作和合作交流中，体会生活中大量存在两个数量之间比的关系，以利于学生感受比产生的实际景，理解比的意义。

在后续的学习中，还安排了“你能说一个用3：4表示的情境吗”等交流活动，意在从不同的角度帮助学生进一步理解比的意义，也为学生学习正反比例做铺垫。

2.通过画图和列表的方式解决问题，提高学生解决问题的能力
教科书安排了解决按照一定的比进行分配的实际问题，设计了一组有利于引导学生思考和交流的问题，让学生以此为线索，展开思考、尝试、探索与交流，并鼓励尝试多种解决问题的方法和策略，如列表、
画图解释等。

目的就是让学生面对一个问题时，学会如何进行思考，并能够在独立思考的基础上，尝试用自己的方式表达对数学问题的理解，从而探索解决问题的思路和方法，提高用比解决实际问题的能力
课时安排建议
内容建议课时数
生活中的比（比的意义） 2
比的化简 3
比的应用
练习五 2
本单元建议学习课时数为7课时。

教师在理解教科书意图的基础上，可以根据学生的实际情况对课时进行适当调整。

知识技能评价要点
本单元知识和技能的评价主要围绕以下几个方面。

1.在实际情境中理解比的意义，能用比表示具体情境中的数量关系。

（参见样题1～3）
说明：评价比的意义的理解时，可以直接让学生把给出的数量关系用比进行表示，并说说这些比的意思；也可以让学生找一找生活中的比，举出比的例子。

2.能正确读、写比，会求比值，理解比与除法、分数的关系。

（参见样题4，5）
3.会用商不变的规律或分数的基本性质化简比。

（参见样题6）
说明：评价学生对求比值、化简比等知识的掌握时，要注意把握难度，数据不要过于烦琐，还可以将比的化简放在解决问题的背景中。

4.能运用比的意义，解决按照一定的比进行分配的实际问题。

（参见样题7，8）
样题1 哪一杯水更甜一些？请通过计算说明。

样题2 下图是一个大圆和一个小圆组成的，O是大圆的圆心。

观察这个图，你能发现哪些比？把发现的比写出来。

样题3 在方格图中画出两个大小不同的三角形，使它们的底和高的比都是3：2。

样题4 填空。

（）：15=0.8=（）%=12
()
=（）÷10
样题5 求下列比的比值。

5：9 0.16：0.6 2
3
：
6
7
0.8：
1
2
样题6 化简下面各比。

63：27 4.5：1 0.07：4.2 3
5
：
4
7
样题7 调制210g牛奶，如果奶粉和水按1：6调配，需要奶粉多少克？水多少克？
样题8 笑笑读一本故事书，已读和未读的页数之比是1：5，如果再读30页就读完了该书，则这本书共有多少页？
比是什么
比是什么？比，作为数学名词，目前看到的有如下三种不同的解释。

1.比是表示两个量倍数关系的记录（1999年版《辞海》）。

2.比是表示两个数相除关系的记录（中国大陆小学数学教材）。

3.比是表示两个量对等关系的记录（中国台湾小学数学教材）。

以上三种解释有什么区别？究竟哪一种解释对比的本质揭示得更准确，更合理？
《辞海》的解释
《辞海》对比的注释的全文是：数学名词。

比较两个同类量a和b 的关系时，如果以b为单位来度量a，称为a比b，所得的数k称为“比
值”，记a:b=k或a
b
=k。

“:”是比号，比号前的量称为“比的前项”，
比号后的量称为“比的后项”。

比的这种解释说明了比是在比较两个量的关系时产生的。

但这种解释有缺陷，它不能概括比较两个不同类量的情境。

中国大陆教材的解释
目前中国大陆小学数学教材各主流版本，依然沿用了课程改革前的比的定义，即“两个数相除，又叫作这两个数的比。

”这定义中的两个数，既可以刻画同类量也可以刻画不同类量，这似乎弥补了《辞海》解释的缺陷，但回到现实情境去审视这个定义的合理性时，仍有存疑。

例如，“6÷4”，如果与相应的具体情境联系起来，它有如下三种不同的意义。

1.“等分除”。

6个苹果平均分成4份，每份几个苹果？等分除的商表示的是一个量。

2.“包含除”。

6个苹果的个数是4个梨的个数的几倍？包含除的商是一个量数，它不表示一个量，而表示两个同类量的倍数关系。

3.“当量除”。

4m的铝条6kg，1m铝条多少千克？其中4m与6kg 不是同类量，而是具有对应关系的两个不同类量。

把它们相除，叫作“当量除”。

整数之间的“当量除”，可以转化为“等分除”来理解和处理。

但数一旦扩展到分数（小数）后，“当量除”就不能用“等分除”来理解了。

如0.4m的铝条0.6kg，1m铝条多少千克？这里，就不好理解为“把0.6平均分成0.4份，每份多少”，也不能理解为“包含除”。

这时，0.6÷0.4应理解为“当量除”，其商1.5表示的是一个具有相对意义的量（衍生的量），它的单位是“kg/m”；1.5kg/m，即1m铝条1.5kg。

综观上述“两个数相除”的三种意义，“包含除”和“当量除”都有“比”的内涵，“等分除”只涉及一个量，它只有把一个量进行等分，而没有两个量的“比”的意义。

所以，“两个数相除”与“两个量的比”不是等价的概念。

两个量的比可以转化为两个数相除，但两个数相除不能笼统地说就是这两个数的比。

在课堂教学的实践层面上，这种定义也遇到了尴尬。

珠海市有一
位老师在博客中写道：上“比的认识”的起始课，他的学生就提出了质疑，“既然两个数相除，又叫作这两个数的比，那为什么还要学比呢？”这位老师还为自己不能说服学生，感到十分沮丧与无奈。

比的本质的再认识
长度、面积、体积、质量等常见的量，都是物体可度量的属性。

度量包含“度”和“量”两个方面，“度”是度量单位，“量”是测量；表示度量结果的数，叫量数。

事实上，量数就是量与度量单位（两个同类量）的比值。

物体除了可度量的属性，还有不可度量的属性，如颜色、形状、质地等。

这些属性不可度量，但可以比较。

众所皆知，用蓝色油漆与黄色油漆可以调制成绿色油漆。

笑笑用5罐蓝漆和4罐黄漆调制绿色油漆，淘气用3罐蓝漆与2罐黄漆调制，小明用6罐蓝漆和4罐黄漆调制，他们调成的绿色油漆一样吗？
用“5:4”表示笑笑调制的绿色油漆；用“3:2”表示淘气调制的绿色油漆；用“6:4”表示小明调制的绿色油漆。

判断其中有没有相同的绿色油漆，就转化为判断上述三个比中有没有相等的比。

5:4=1.25:1，这表示笑笑每罐黄漆搭配1.25罐蓝漆；
3:2=1.5:1，这表示淘气每罐黄漆搭配1.5罐蓝漆；
6:4=1.5:1，这表示小明每罐黄漆搭配1.5罐蓝漆。

所以，5:4≠3:2，5:4≠6:4，3:2=6:4。

这表示只有淘气与小明调制的绿色油漆是一样的。

又如，把下面3个长方形画在方格纸(每格边长1cm)上：
长12cm，宽4cm；②长9cm，宽3cm；③长8cm，宽4cm。

观察发现：长方形①与②的形状相同，与③的形状不同。

追究原因，发现：12:4=9:3，12:4≠8:4。

这表明长方形的长与宽的比可以刻画长方形的形状，用以辨别长方形形状的异同。

再如，一只铜质器皿被炒作成是金质器皿，如何揭穿谎言，还原真相？器皿的质地是铜是金我们不能直接度量，但可以分别度量这个器皿与另一个铜器的质量和体积，器皿质量与体积的比，如果与铜器的质量与体积的比相等（或相差无几），就可以断定该器皿是铜质的。

可见，用比来记录对等关系，可以表征事物不可度量的属性，使这些属性具有可比性。

总之，比源于度量；度量解决了物体可度量的属性的可比性，比却能够解决物体不可度量的属性的可比性。

这就是比的本质。

比的相等与比值
比的等价即比的相等。

传统教材由比先引入比值后，用两个比的比值相等来定义这两个比相等。

1993年中国台湾新编教材认为这种方式太过抽象，无法解释比的情境问题中比值的意义如何，所以倒过来先引入比的相等，再引入比值。

另外，由于“比”的引入方式的改变，使得“比”的相等不再可以用比较量除以基准量的商（倍数）来定义。

所以，1993年中国台湾新编教材采用在量情境中讨论，它们是相同的交换关系，相同的组合方式，相同的含量或相同的密度，来引入比的相等。

正如在前面的讨论中我们看到的，淘气与小明两人每罐黄漆都搭配1.5罐蓝漆，就把这两个对等关系的等价关系记成“3:2=6:4”。

换言之，传统教材是直接通过比的前项除以后项的抽象定义来引入比值，再由比值相等与否来定义两个比是否相等；中国台湾新编教材反过来先关心比的相等在量情境中的实际意义，并用此来构架抽象的数学意义。

小明用6罐蓝漆和4罐黄漆调制绿色油漆，其中6罐蓝漆和4罐黄漆是一个对等关系，可以记为“6:4”。

而这个对等关系也有许多相等的对等关系，如“6:4=12:8=15:10=3:2=…”，这些相等的对等关系，也成为一个等价类，此时可选用最简单整数比“3:2”，来代表这一个等价类，并说明这些相等的对等关系都是“每3个对2个”（或说每3罐蓝漆配2罐黄漆）。

进一步地，当最简整数比（例如A:B）具有“每A个对B个”的意义时，教师可以继续询问学生“每A个对B个时，多少个对1个”的问题，例如，“每5L的沙拉油重4kg，多少升沙拉油重1kg？”而形成“5÷4=1.25”的结果，沟通1.25为5：4的比值的共识。

对于一个比“A:B”，找一个后项为“1”而且和“A:B”相等的比，如“A:B=x:1”，此时叫“x”为“A:B”的比值。

比值是比的量化结果，不论比值的定义如何都不可能违反“A:B
的比值是A
B
”的规则。

根据上述比值的定义，比值的意义仍然是每一
个单位的B对应（配对、包含……）A
B
个单位的A。

王永（福建省普通教学研究室）。