沪科版数学八年级上册第2课时角平分线的性质与判定
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灿若寒星
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9．(8 分)如图，已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：点 D 在∠BAC 的平分线上．
证明：过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E， DF⊥BC于点F，DG⊥AC交AC的延长线于 点G，∵BD平分∠EBC，∴DE＝DF，同理 DF＝DG，∴DE＝DG，点D在∠BAC的平分 线上
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
灿若寒星
12．如图，已知 AB∥CD，O 是∠ACD，∠CAB 的平分线的交点，
且 OE⊥AC 于 E 点，OE＝12，则 AB 与 CD 之间的距离为( C )
A．12 B．18 C．24 D．无法确定
灿若寒星
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.
4．(3 分)如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，
B，下列结论中不一定成立的是( D )
A．PA＝PB
B．PO 平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB 垂直平分 OP
灿若寒星
5．(8 分)如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BE＝CF.求证：BD＝DF.
(1)若 BC＝8，BD＝5，则点 D 到 AB 的距离为___3_. (2)若 BD∶DC＝3∶2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC＝__1_5_
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8
cm，则 S△ABD∶S△ACD＝ 3∶4 ．
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(3 分)如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若
PC＝4，则 PD 的长为_2___．
灿若寒星
3．(3 分)在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是三角形的角平分线，DE
⊥AB 于点 E，下列结论错误的是( B )
A．BD＋DE＝BC B．DE 平分∠ADB C．AD 平分∠EDC D．AC＝AE
灿若寒星
【综合应用】 18．(14 分)如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE 平分∠BAD，且点 E 是 CD 的中点，问：AD，BC 与 AB 之间有何关系？并证明你的结论．
灿若寒星
证明：AD＋BC＝AB，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，连接 BE.∵AE 平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝ED，在 Rt△AFE 和 Rt△ADE 中，AEFE＝＝EADE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)，∴AF＝AD.∵E 是 DC 的 中点，∴EC＝DC，∴EC＝EF，∵AD∥BC，DC⊥AD，∴DC⊥BC， ∴∠DCB＝90°，在 Rt△BFE 和 Rt△BCE 中，BEEF＝＝EBCE，∴Rt△BFE ≌Rt△BCE(HL)，∴BF＝BC，∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB
灿若寒星
10．如图，在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，OD⊥AB
于点 D，OE⊥AC 于点 E，则 OD 与 OE 的大小关系是( B )
A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．不能确定
11．如图，在直线 MN 上找一点 P，使点 P 到∠AOB 两边的距离
相等，符合条件的点有( B )
证明：AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE， 又∵CF＝BE，∴Rt△FCD≌Rt△BED，∴BD＝DF.
灿若寒星
6．(4 分)如图，点 P 在∠AOB 内部，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于
点 D，PC＝3 cm，当 PD＝__3__cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上．
灿若寒星
17．(12 分)如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 的中点，DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E，EF⊥AB 于点 F，EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G.
求证：BF＝CG.
证明：连接 BE 和 CE，∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠G＝90°，∵BD＝CD，DE⊥BC， ∴BE＝CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG，在 Rt△EBF 和 Rt△ECG 中，EEBF＝＝EEGC， ∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)，∴BF＝CG
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15．4 角的平分线
第2课时 角平分Байду номын сангаас的性质与判定
灿若寒星
1．角平分线的性质定理：角平分线上任意一点到角的两 边的距离． 相等
2．角的内部到角两边距离相等的点在．角平分线上
灿若寒星
1．(3 分)如图，点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点，PE⊥AC 于
点 E，已知 PE＝3，则点 P 到 AB 的距离是__3__．
,第 6 题图)
,第 7 题图)
7．(4 分)如图，点 P 到 OA，OB，CD 的距离相等，则点 P 的位置：
①在∠O 的平分线上；②在∠ACD 的平分线上；③在∠ODC 的平分线上；
④恰是∠O，∠ACD，∠BDC 三个角平分线的交点．则上述结论中正确的
是 ①②④ ．(填序号)
灿若寒星
8．(4分)如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等， 则∠P＝ 90°.
灿若寒星
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠C＝50°，且DE⊥AB， DF⊥AC，E，F为垂足，且DE＝DF， 则∠ADC＝． 115°
灿若寒星
16．(10分)如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE， CF相交于点D，若BD＝CD.
求证：AD平分∠BAC.
解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED.又 ∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE，∴DF ＝DE，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC
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9．(8 分)如图，已知△ABC 的∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点 D.求证：点 D 在∠BAC 的平分线上．
证明：过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E， DF⊥BC于点F，DG⊥AC交AC的延长线于 点G，∵BD平分∠EBC，∴DE＝DF，同理 DF＝DG，∴DE＝DG，点D在∠BAC的平分 线上
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
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12．如图，已知 AB∥CD，O 是∠ACD，∠CAB 的平分线的交点，
且 OE⊥AC 于 E 点，OE＝12，则 AB 与 CD 之间的距离为( C )
A．12 B．18 C．24 D．无法确定
灿若寒星
13．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D.
4．(3 分)如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，
B，下列结论中不一定成立的是( D )
A．PA＝PB
B．PO 平分∠APB
C．OA＝OB
D．AB 垂直平分 OP
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5．(8 分)如图，△ABC 中，∠C＝90°，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB 于点 E，点 F 在 AC 上，且 BE＝CF.求证：BD＝DF.
(1)若 BC＝8，BD＝5，则点 D 到 AB 的距离为___3_. (2)若 BD∶DC＝3∶2，点 D 到 AB 的距离为 6，则 BC＝__1_5_
,第 13 题图)
,第 14 题图)
14．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8
cm，则 S△ABD∶S△ACD＝ 3∶4 ．
,第 1 题图)
,第 2 题图)
2．(3 分)如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若
PC＝4，则 PD 的长为_2___．
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3．(3 分)在△ABC 中，∠C＝90°，AD 是三角形的角平分线，DE
⊥AB 于点 E，下列结论错误的是( B )
A．BD＋DE＝BC B．DE 平分∠ADB C．AD 平分∠EDC D．AC＝AE
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【综合应用】 18．(14 分)如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE 平分∠BAD，且点 E 是 CD 的中点，问：AD，BC 与 AB 之间有何关系？并证明你的结论．
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证明：AD＋BC＝AB，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，连接 BE.∵AE 平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，∴EF＝ED，在 Rt△AFE 和 Rt△ADE 中，AEFE＝＝EADE，∴Rt△AFE≌Rt△ADE(HL)，∴AF＝AD.∵E 是 DC 的 中点，∴EC＝DC，∴EC＝EF，∵AD∥BC，DC⊥AD，∴DC⊥BC， ∴∠DCB＝90°，在 Rt△BFE 和 Rt△BCE 中，BEEF＝＝EBCE，∴Rt△BFE ≌Rt△BCE(HL)，∴BF＝BC，∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB
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10．如图，在△ABC 中，∠B，∠C 的平分线交于点 O，OD⊥AB
于点 D，OE⊥AC 于点 E，则 OD 与 OE 的大小关系是( B )
A．OD＞OE B．OD＝OE C．OD＜OE D．不能确定
11．如图，在直线 MN 上找一点 P，使点 P 到∠AOB 两边的距离
相等，符合条件的点有( B )
证明：AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE， 又∵CF＝BE，∴Rt△FCD≌Rt△BED，∴BD＝DF.
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6．(4 分)如图，点 P 在∠AOB 内部，PC⊥OA 于点 C，PD⊥OB 于
点 D，PC＝3 cm，当 PD＝__3__cm 时 P 点在∠AOB 的平分线上．
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17．(12 分)如图所示，在△ABC 中，D 为 BC 的中点，DE⊥BC 交 ∠BAC 的平分线 AE 于点 E，EF⊥AB 于点 F，EG⊥AC 交 AC 的延长线 于点 G.
求证：BF＝CG.
证明：连接 BE 和 CE，∵EF⊥AB，EG⊥AC， ∴∠BFE＝∠G＝90°，∵BD＝CD，DE⊥BC， ∴BE＝CE.∵AE 平分∠BAC，EF⊥AB，EG⊥AC， ∴EF＝EG，在 Rt△EBF 和 Rt△ECG 中，EEBF＝＝EEGC， ∴Rt△EBF≌Rt△ECG(HL)，∴BF＝CG
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15．4 角的平分线
第2课时 角平分Байду номын сангаас的性质与判定
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1．角平分线的性质定理：角平分线上任意一点到角的两 边的距离． 相等
2．角的内部到角两边距离相等的点在．角平分线上
灿若寒星
1．(3 分)如图，点 P 是∠BAC 的平分线 AD 上一点，PE⊥AC 于
点 E，已知 PE＝3，则点 P 到 AB 的距离是__3__．
,第 6 题图)
,第 7 题图)
7．(4 分)如图，点 P 到 OA，OB，CD 的距离相等，则点 P 的位置：
①在∠O 的平分线上；②在∠ACD 的平分线上；③在∠ODC 的平分线上；
④恰是∠O，∠ACD，∠BDC 三个角平分线的交点．则上述结论中正确的
是 ①②④ ．(填序号)
灿若寒星
8．(4分)如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等， 则∠P＝ 90°.
灿若寒星
15．如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠C＝50°，且DE⊥AB， DF⊥AC，E，F为垂足，且DE＝DF， 则∠ADC＝． 115°
灿若寒星
16．(10分)如图所示，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE， CF相交于点D，若BD＝CD.
求证：AD平分∠BAC.
解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED.又 ∵∠BDF＝∠CDE，BD＝CD，∴△BDF≌△CDE，∴DF ＝DE，∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC