人行激励下MTMD对薄板的隔振研究

人行激励下MTMD对薄板的隔振研究
袁炜，王卫荣，葛新方，孙顺强，李伟
(合肥工业大学机械工程学院，合肥230009)
摘要:光栅刻划机对环境的要求十分严格。

因其工作运行时，周围运行的机械设备以及人的走动等会影响其刻划纳米级光栅的精度。

经过实地勘测，发现人在实验室走动时，影响程度不容忽视。

由于MTMD具有经济成本低、安装维护方便、结构简单并且不需要外力作用的优点，它在工程实际中得到广泛应用。

文中首先对金属薄板进行了有限元建模，再结合人行激励以及薄板的强迫振动理论和方程，通过对比有无添加多重调谐质量阻尼器以及改变MTMD相关设计参数产生的结果，通过仿真表明：运用多重调谐质量阻尼器能够有效地起到减小振动的作用。

关键词：MTMD;隔振;薄板;振动；有限元建模
中图分类号:TH 113.1 文献标志码:A文章编号：1002-2333(2017)09-0064-04 Study on Vibration of Plate by MTMD under Pedestrian Incentive
YUAN Wei, WAGN Weirong, GE Xinfang, SUN Shunqiang, LI Wei
(School of Mechanical Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)
Abstract: Grating ruling machines is very strict to the environment.During its job runtime, movement of the machine and walking around and around etc, will affect the score of nanometer scale gratings accuracy.Through field survey, we found that the impact of walking around in the laboratory should not be ignored. Because the MTMD has the advantages of low cost, easy installation and maintenance, simple structure, and does not require external force, it has been widely used in engineering practice.This paper builds finite element modeling of metal plate. According to pedestrian incentive forced vibration theory and equation of thin plate, tuned mass damper is added, MTMD related design parameters are changed, their results are compared with original data. Simulation show that the use of tuned mass damper can effectively reduce the vibration.
Key words: MTMD; isolation; plate; vibration; finite element modeling
〇引言
光栅刻划机在现代机械中被誉为“精密机械之王
”[1],享有很高的声誉，其制造光栅的精度要求较高，要达到纳
米量级。

因此，影响其精度的因素，应着重研究解决。

经过
实地的调查勘测，光栅刻划机固结在一个三维实体花岗
岩上，而花岗岩底部放置一块基于实验室空间大小的金
属板。

在研究时，为了简化模型，方便计算，可将花岗岩和
机器等效为金属板结构中的一部分。

通过加速度传感器
测得，人行激励下产生的垂向振动，实际上以一种能量流
的形式，通过金属板等结构传递到四周，进而引起放置于
金属板的刻划机产生二次振动，以至于影响刻划光栅的
杂散光、波前质量和衍射效率。

在过去几十年里，由于风或地震荷载所引起的大跨桥梁和髙层建筑物振动，TMD装置往往被采用作为抑制该类振动的有效手段[2
]。

TMD包含连接在结构上的质量、弹簧和黏性阻尼器，其减振机理是将结构的振动能量转移到TMD，并通过
TMD的阻尼器耗散该能量I从历史上
看，许多研究人员已经对TMD装置的发展做出了贡献。

1909年，FrahmW利用控制装置将结构的振动能量传递给
TMD。

对于承受谐波激励的无阻尼系统，Den Hartog崎辱到
基金项目：国家973高技术研究发展计划资助项目
(206-413101)了一个封闭形式的解来最小化带有TMD装置的系统动态 响应。

Warburton和Ayorinde[6]表明关于最小化系统的响 应，TMD的吸收参数存在最优范围。

2005年，肖新标等m应 用TMD于有移动荷载作用的桥梁结构系统中，通过对 TMD参数的设置与调整，使减振效果达到最佳。

然而，所 有上述研究关心的是单个TMD在特定频率的调优。

这就
解释了单个TMD缺乏鲁棒性的原因。

通过使用多个调谐 质量阻尼器(MTMD),其中每个TMD被调谐为主系统的一 个特定频率，这种缺陷可以被克服[8]。

针对前人的研究工 作，本文将薄板强迫振动方程与人行激励相结合，并对光 栅室金属薄板添加MTMD装置，构建有无MTMD的薄板强 迫振动方程，并用MATLAB对方程进行数值仿真，对该装 置添加前后的减振效果进行了对比分析。

1有限元建模
人7材料属性和基本尺寸的选取
该金属板材料
采用结构钢，其密度
p=7850 kg/m3，弹性
模量 E^ZOxlO11Pa，
泊松比/x=0.3，边界条
件为四边简支，金属
板的长度a=4.5 m，宽
A A
图1矩形薄板
度6=3 m，局度/i=0.003 m。

人2金属薄板的模态分析
本结构采用大型通用有限元软件ANSYS Workbench15.0进行模态分析，得出该结构前3阶固有频
率和振型。

各阶振型如图2〜图4所示。

从图2〜图4所示的振型分布图可以看出，椭圆形区 域为各阶振型的云图，椭圆区域的中心是振幅最大的地 方;各椭圆相邻区域即为各阶振型的节线区，在节线附近,振幅几乎为零。

从1阶振型图可以看出，该金属板沿Z轴方 向做上凸下凹的往复运动，用平面沿着方向截取，两 个平面的交线类似于正态分布曲线。

2阶振型图为两个椭 圆形区域沿着F轴方向对称且相位相反地做上凸下凹的 往复运动，两平面的交线类似于带有波峰和波谷的正弦 曲线。

由于该结构的模态分析，前2阶的比较重要，故后面 的振型图不再描述。

前3阶的固有频率和最大变形量如表 1所示〇
表1固有频率和最大变形量
阶数固有频率
/Hz最大变形量/mm
1 1.6800 3.9450
2 2.7279 3.7784
3 3.8728 3.6867
2人行激励模型
根据实际的实验环境以及经过大量的调研过程，选 取了一些在实验室内影响光栅刻划机的振源以及振源频 率的工作范围。

其中，包括实验室内人员走动其振动频率 为1〜3 Hz范围内。

步频定义为单位时间内走动的步数，是 研究人行走时程的一个重要参数[9]。

统计出人的步行频率 (包括慢走、正常行走和快步行走)基本在1〜3 Hz范围内[10]。

根据Poovarodon^[u啲研究，人群动力荷载对天桥的影响 也可以将其应用于金属板上，则折算成跨中集中力的形 式如下：
Fv(t)=0AG^sin(2nft)〇(1)假设人的平均体重G=700 N;7V p表示实验室内同时走 动的工作人员人数，考虑到光刻机在金属板上占据一定 的面积以及该板的实际面积，由人群密度为1人/m2,推算 出％大约为6;步频/=2Hz，可能避免了2阶固有频率 2.7279 Hz所引起的共振。

3人-板结构的动力学模型
薄板在垂直于中面方向的振动，即横向振动。

在研究 薄板的振动问题时，不考虑板中面的张力和剪力，基于基 尔霍夫薄板理论的几个基本假设1)直线法假设;2)板 弯曲时厚度的变化略去不计;3)薄板的挠度比板的厚度 小得多。

人-薄板-MTMD的强迫振动方程如下：
4d^co
D0V co+ph-C t)-=p(x,y,t)+f{x,y,t)〇(2)
dt2
式中:/U y，〇为MTMD施加给薄板的力;D0=版为
12(7V)
薄板的抗弯刚度；V4=l+2^^+l为双调和算子；
dx4dx2dy2dy4
p(x,y,t)为分布力。

如果作用在薄板上的不是分布力，而是集中力，可以 引入二维函数，根据的定义，当薄板在点(%%)处受到集中力外)，则板上的分布力[13可以表示成
p(x,y,t)=F(t)8(x-x0,y-y0)0⑶而薄板的响应〇按照正则振型函数展开的级数表示：
co{x,y,t)=^ %Wmn(x,y)^n(t)〇⑷
m=l n=l
其中，“ …为正则坐标。

fc，々)+U c，々)=gc，d⑴。

(5)在步行力作用下，正则广义力为
(6)
四边简支矩形薄板的主振型函数假设为
l>,y)02^si n〒。

（7)
a b
式中：w i= 1,2...;n= 1,2...。

该振型函数满足薄板四边简支的边界条件。

将主振型研_转化为正则振型：
I Phw2m,ndxdy=|0\ J>hw2m,n^y=l〇⑶
n
m'K n=i]/^°
该振型函数的固有频率为
n 4 \ID0[3b4m4+2a2b2m2n2+3a4n4)2
^=T V770
由于构建有限元模型、网格划分、选取的近似振型函 数等都存在一定的不精确性，故计算与模态分析得到的 板的固有频率有一定的误差是合理的。

为了计算的简便 性，考虑人群的步行荷载并且以板的第一阶模态振型为 研究对象。

由于第一阶模态振型中最大变形量处于板的 中心位置，假设单个人的步行力也作用在该位置，而剩余 人数随机分布并且未添加MTMD时，即/U：y,〇=0。

由式(5)解出正则坐标的稳态响应为
(11(()=]------------•-------aM1—(4前);
心-(如)24
(聊⑴=〇◦
其中，771、〃不同时为1。

于是薄板的稳态响应由式(4)得到
〇){x,y,t)=W
u(x,yXu{t)
~y h h sin2 sin2~~x^u^)〇
5V pnab a b
图5表明：当矩形薄板受到人群荷载时，其薄板的竖 向振动响应随时间做周期性变化，且最大振幅为1.25 mm。

由于薄板振动会间接对光栅刻划机的运动精度产生 重要影响。

因此，对金属板采用隔振装置十分必要。

4人-板-MTMD结构动力学模型
假设单个人的步行力作用于边界条件为四边简支金 属板的中心，其余的人等间距分布在金属板底部的中心 线上并且〃个MTMD的各个质量比和阻尼比相同。

〇和z分 别为金属板和TMD的横向振动位移，因此，建立的动力学模型如图6所示。

要使MTMD减振效果达到最佳，要求单个TMD的自 振频率与金属板的振动频率接近[14]，因此取金属板的1阶 自振频率6>= 1.6810 Hz为TMD结构的振动频率，则o=2tt6>= 10.56 rad/s。

质量块的质量一般取结构系统总质量的1/20〜1/200[15]〇
取^^20kg，则N/m，阻尼比^=0.035, 则N.s/m。

此时，对箄/个TMD进行受力分析如下：
mD jz+c D j(z_〇))+k D j(z_〇))=0〇(9 )
其中，^ m=^ d，c m=c D,mm=mD〇
N
由式(5)解出正则坐标的稳态响应为
(11(,)=5 •—A—1isin(4,T T f)-
，<-(4^)2 4 ，
nkD〇)A ncD coA
22?
CviW=0〇
其中:77l、〃不同时为lc5
由式(4)得到
(〇{x,y,t)=W
=夺 V^^sin2^sin2 子〇)。

3 V pnab a b
对上式进行化简得到薄板的稳态响应。

5仿真结果与分析
添加不同数量TMD后，通过MATLAB对上式进行数 值仿真，如图7所示。

在7V=5时，通过改变弹簧的刚度系数，保持阻尼系数 不变，仿真如图8所示。

同理在7V =5时，通过改变阻尼系数，保持弹簧刚度系
数不变，仿真结果如图9所示。

6结语
1) 在MTMD 的各个弹簧刚度，阻尼系数都保持一致 时，不同数量的TMD 对减振效果是不同的。

随着TMD 数量 在增加，减振效果越好。

然而，当TMD 的数量大 于5时，减振效果不明显。

该实验装置中，当7V =5时，振幅减 小了40%，因此，在一定程度上，有利于提高光栅刻划机 的刻划精度。

2) 随着刚度系数的数值增加，则金属板的振幅响应 呈周期性变化并且振幅减小的程度也随之增加，而在刚 度值大于14 230时振幅响应减小的程度很小。

3) 随着阻尼系数的增加，则金属薄板振幅响应呈周
期性变化，且阻尼系数值足够大时，振幅响应减小的程度
明显。

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打破像鑌遂口鲶局面
十
f
近日，在
2017中国齿轮产业市场需求技术支持及产融
t
合作研讨会上，就传统齿轮行业如何发展进行了探讨。

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“与通用减速器相比，
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j 求更加苛刻，”齿轮分会副秘书长邓效忠在其《机器人RV I 减速机摆线轮精密制造技术及装备》的发言中透露说，国外 j R V 减速器运动精度保持周期可以达到5万〜10万小时， |而国产的只有8000小时左右，运动精度低且精度保持性 |差，”这已成为制约机器人R V 减速器国产化和竞争力提 j 升的瓶颈。

”j 经常被拿来比较的还有汽车变速箱齿轮—日本产品
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作者简介:袁炜(1990—)，男，硕士研究生，主要从事机械系统的动力
学分析与优化设计；
王卫荣(1956—)，男，教授，硕士，硕士生导师，主要从事机 械系统的动力学分析与优化设计。

收稿日期：2017-01-09
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次着重技术 {
产变速箱的噪声比国外同类产品至少要高3〜5分贝。

此外，|：
300〜350千米/小时的高铁齿轮，国外寿命为700万公里，
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而中国目前还完全依赖进口。

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近几年，随着国内研发力量的崛起，许多自主品牌主机
厂已经完全改变了以往唯进口设备是瞻的思维，国产试验1 与测试设备已经大有普及之势。

例如，与会代表参观的汉江
j 工具厂就是一个典型例子，他们生产的产品越来越多替代j 了进口产品，但在访问中了解到，该企业的一些核心零部件i 的钢材依然要靠进口，但随着我们这个钢铁大国基袖材料j
的突破，企业成本的降低，将大大提高国际市场的竞争能| 力。

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