高三数学一轮复习 63坐标系和参数方程学案 理

63 坐标系和参数方程
一、学习内容：选修4—4， 二、课标要求：
1．了解在平面直角坐标系下的伸缩变换．
2．理解极坐标的概念，能进行极坐标和直角坐标的互化．
3．能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程. 4．了解参数方程，了解参数的意义．
5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程． 三、基础知识
1．极坐标系 (1)基本概念
在平面上取一个定点O ，自点O 引一射线OX ，同时确定一个___________和___________的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，______称为极点，___________称为极轴．
(2)极径与极角
设M 是平面上任一点，ρ表示__________，θ表示以_______为始边，_______为终边所成的角，那么，有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，其中，_____称为点M 的极径，____称为点M 的极角．
cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， tan (0)
y
x x ρθ⎧=⎪
⎨=≠⎪⎩
3．圆心为(a ，b)，半径为r 的圆的参数方程为___________________ (θ为参数)．
4．椭圆x 2a ＋y 2
b
＝1(a >b >0)的参数方程为__________________ (θ为参数)．
5．直线的参数方程
过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为____________________(t 为参数)，其中t
表示直线上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段0MM 的________．当t >0时，0
MM
的方向 ；当t <0时，0MM
的方向 ；当t ＝0时，M 与M 0 ．
四、典型例题分析
1．（2013安徽（理））在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （ ）
A ．=0()cos=2R θρρ∈和
B ．=
()cos=22
R π
θρρ∈和
C ．=
()cos=12
R π
θρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和
【答案】B
2．（2013上海（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为_____
. 3．（2013湖南（理））在平面直角坐标系xoy 中,若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨
=-=⎩⎩为参数过椭圆
()ϕ为参数的右顶点,则常数a 的值为________.
【答案】3
4．（2013江苏）在平面直角坐标系xoy 中,直线l 的参数方程为⎩
⎨
⎧=+=t y t x 21
(t 为参数),曲线C 的参数
方程为⎩⎨⎧==θ
θ
tan 2tan 22y x (θ为参数),试求直线l 与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐
标.
解:∵直线l 的参数方程为⎩
⎨
⎧=+=t y t x 21
∴消去参数t 后得直线的普通方程为022=--y x ①
同理得曲线C 的普通方程为x y 22= ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,2
1
(-
5．（2013新课标1（理）） 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t
y t =+⎧⎨=+⎩
(t 为参数),以坐标原点为极
点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;
(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案】将45cos 55sin x t y t
=+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程22
(4)(5)25x y -+-=,
即1C :2
2
810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入22
810160x y x y +--+=得,
28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,
∴1C 的极坐标方程为2
8cos 10sin 160ρρθρθ--+=;
(Ⅱ)2C 的普通方程为22
20x y y +-=,
由222281016020
x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为
4
π
),(2,
)2
π
.
五、基础练习
1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________． 【答案】 (2，5π
3
)
【解析】由极坐标与直角坐标表示同一点的坐标，那么它们之间可以互化，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ或
⎩
⎪⎨⎪⎧
ρ＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x .∵x ＝1，y ＝－3，∴ρ＝2，tan θ＝－3，θ＝5π3.故极坐标为(2，5π
3
)．
2．点P 的极坐标为(3，－π
4)，则点P 的直角坐标为________．
【答案】 (322，－32
2
)
【解析】ρ＝3，θ＝－π4，故x ＝ρcos θ＝322，y ＝－322，从而点P 的直角坐标为(322，－32
2)．
3．（2010湖南理3）极坐标方程cos ρθ=和参数方程1()23x t
t y t
=--⎧⎨
=+⎩为参数所表示的图形分别是
（ ） A ．圆、直线 B ．直线、圆 C ．圆、圆 D 直线、直线 【答案】A 解2
2
2
cos cos x y x ρθρρθ=⇒=⇒+=；1()31023x t
t x y y t
=--⎧⇒++=⎨
=+⎩为参数．
4．（2010北京理5）极坐标方程(1)()0ρθπ--=(0)ρ≥表示的图形是（ ） A ．两个圆 B ．两条直线 C ．一个圆和一条射线 D 一条直线和一条射线 【答案】C 【解析】(1)()0ρθπ--=⇒1ρ=或θπ=
5．（2012湖南理9） 在直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：1,
12x t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)与曲线2C ：
sin ,
3cos x a y θθ
=⎧⎨
=⎩(θ为参数，0a >) 有一个公共点在X 轴上，则a = . 【答案】
32
【解析】曲线1C ：1,12x t y t
=+⎧⎨
=-⎩直角坐标方程为32y x =-，与x 轴交点为3
(,0)2；
曲线2C ：sin ,3cos x a y θθ
=⎧⎨=⎩直角坐标方程为22
219x y a +
=，其与x 轴交点为(,0),(,0)a a -， 由0a >，曲线1C 与曲线2C 有一个公共点在X 轴上，知3
2
a =
. 6．（2012江西理15）曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C 的极坐标方程为_______________。

【答案】θρcos 2=
【解析】因为θρρcos ,222==+x y x ，所以代入直角坐标方程整理得0cos 22=-θρρ，所以
0cos 2=-θρ，即极坐标方程为θρcos 2=。

【命题立意】本题考查参数方程，考查极坐标与平面直角坐标系之间的转化。

7．已知直线l 经过点A (1,2)，倾斜角为π3
.(1)求直线l 的参数方程；(2)求直线l 和圆x 2＋y 2
＝9
的两个交点到点A 的距离之积．
【思路】 根据直线参数方程中参数t 的几何意义，运用一元二次方程根与系数的关系求解．
【解析】 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋t
2，
y ＝2＋3
2
t ，(t 为参数)．
(2)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t
2y ＝2＋3
2
t 代入x 2＋y 2
＝9，得：t 2
＋(1＋23)t －4＝0，∴t 1t 2＝－4.
由参数t 的几何意义得直线l 和圆x 2＋y 2
＝9的两个交点到点A 的距离之积为|t 1t 2|＝4.
8．(2010·福建)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝3－2
2
t ，y ＝5＋2
2
t (t 为参数)．在
极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆
C 的方程为ρ＝25sin θ.
①求圆C 的直角坐标方程；
②设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |.
【解析】 解法一 ①由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2
＝5.
②将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3－22t )2＋(22
t )2＝5，即t 2
－32t ＋4＝0.
由于Δ＝(32)2
－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨
⎧
t 1＋t 2＝32，
t 1·t 2＝4.
又直线l 过点P (3，5)，
故由上式及t 的几何意义得|PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2. 解法二 ①同解法一．
②因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5，直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.
由⎩⎨
⎧x 2＋ y －5 2＝5，y ＝－x ＋3＋5
得x 2
－3x ＋2＝0.解得：⎩⎨
⎧
x ＝1.
y ＝2＋5
或⎩⎨
⎧
x ＝2，y ＝1＋5
.
不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)，又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.。