第2章系统的数学模型02精选全文完整版

的传递函数。
图2-13 油缸－负载系统
解：液压缸的作用力F
F pA
式中p—进油压力
A—液压缸工作面积
该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即
dx
F Bc
kx
dt
式中x —液压缸输出位移
Bc—阻尼系数
K —弹簧刚度
合并以上两式，得液压缸的运动方程式：
dx
Bc
kx Ap
dt
传递函数为
A
4
dt
dt
dt
dt
解：按（2-53）式，则传递函数为
Y ( s)
6s 7
（１） G ( s )
3
X ( s) 5s 2s 2 s 2
（２） G ( s )
Y (பைடு நூலகம்s)
4
4
X ( s) s 2s 3 6s 2 3s 2
二、典型环节的传递函数
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
dt
dx
b1
b0 x
dt
（2-51）
式中，n≥m; an、bm均为系统结构参数所决定的定
常数 。（n，m=0、1、2、3…）
如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉
氏变换后得
an s nY ( s ) an1 s n1Y ( s ) a1 sY ( s ) a0Y ( s )
X(s)=0 系统的特征方程，→ 特征根。
特征方程决定着系统的动态特性。
X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。
b0
当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益
a0
！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导
数项都为零。K — 系统处于静态时，输出与输
入的比值。
零点和极点
bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
式中 T——积分时间常数。
具有上式传递函数的环节，称为积分环节。
例 如图所示的油缸，其输入为流量q，输出为油缸
活塞的位移x，试写出其传递函数。
解：活塞的速度为 dx / dt q / A
所以位移 x

q
dt
A
式中A—活塞的面积
对上式取拉氏变换，并整
理，则得其传递函数为 ：
1
液压积分环节
G ( s ) X ( s ) / Q( s )
G( s)
n
n 1
an s an1 s ...... a1 s a0
bm s z1 s z2 ...... s zm
G( s )
an s p1 s p2 ...... s pn
设系统有
b个实零点;d 个实极点;
X ( s)
A
K
k
G( s )



P ( s ) Bc s k ( Bc / k ) s 1 Ts 1
式中
T Bc / k
K A/ k
3.微分环节
理想微分环节
dx
y T
dt
一阶微分环节
dx
y x T
dt
二阶微分环节
d2x
dx
y T 2 2 T
x
dt
dt
1
ui iR idt
C
1
u0 idt
C
通过拉氏变换，求得电路的传递函数为
U0 ( s)
1
G( s )

U i ( s ) Ts 1
式中 T=RC为该电路的时间常数
例 设有一个液压缸如图2-13 所示，它带动具有弹
性系数为k的弹性负载和阻尼系数为Bc的阻尼负载。
试求以压力p为输入量，与以活塞位移x为输出量
As
注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来
说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统
而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与
输出量后的传递函数而定。
例 如图所示的无源网络，输入量为回路电流i,而输
出量为uc，试写出其传递函数。
解：电容器充电电流i与电容器两端的电压uc关系为
统的微分方程的一般形式为 :
dn y
d n 1 y
d n 2 y
an n an 1 n 1 an 2 n 2
dt
dt
dt
dmx
d m 1 x
d m2 x
bm m bm 1 m 1 bm 2 m 2
dt
dt
dt
dy
a1 a0 y
G( s)
n
n 1
an s an1 s ...... a1 s a0
bm s z1 s z2 ...... s zm
G( s )
an s p1 s p2 ...... s pn
bm s z1 s z2 ...... s zm 0 的根
式中，T为常数； 为阻尼比。
对应于上面微分方程式的传递函数分别为
理想微分环节
一阶微分环节
Y ( s)
G( s)
Ts
X ( s)
Y ( s)
G( s)
1 Ts
X ( s)
Y ( s)
二阶微分环节 G ( s )
T 2 s 2 2 Ts 1
X ( s)
其中，若 T 2 s 2 2 Ts 1 0 具有实根时，二
的物理装置或元件
一个环节往往由几个元件之间的运动特
性共同组成
同一元件在不同系统中作用不同，输入
输出的物理量不同，可起到不同环节的作
用
1.比例环节（又称放大环节）
比例环节的微分方程式为
y( t ) kx(t )
则传递函数为
G( s ) Y ( s ) / X ( s ) k
（2-54）
n 1
X ( s ) an s an1 s ...... a1 s a0
m
(2-53)
特征方程
Y ( s ) bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b0
G( s )

n
n 1
X ( s ) an s an1 s ...... a1 s a0
s zi i 1，，
2 m ，称为传递函数的零点；
an s p1 s p2 ...... s pn 0 的根
s pi i 1, 2, n ，称为传递函数的极点；
！系统传递函数的极点就是系统的特征根。
！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！
决定。
传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参
数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的
输入形式无关。
传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了
系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n
阶系统。
注意
适用于线性定常系统
只适合于单输入单输出系统的描述
无法描述系统内部中间变量的变化情况
传递函数原则上不能反映系统在非零初
第三节 传递函数的概念及基本环节的传递函数
传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。
它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中
所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。
引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象
地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，
并使运算可以大为简化 。
一.传递函数的概念
1
y( t ) 1 e
t
T （2-64）
由图可见这一环节的输出不能
立即复现输入，而成惯性效应。
故称他为惯性环节。
由式（2-64）知：
惯性环节的单位阶跃响
应曲线
常数T越小，环节的初始响应速度就越快。把表征响
应速度快慢的这一常数T称为时间常数。
惯性环节时间常数的物理含义：
若响应速度保持其初始值不变，则输出达到稳态值y(∞)
始条件下的全部运动规律
传递函数中的各项系数和相应微分方程
中的各项系数对应相等，完全取决于系统结
构参数
例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。
d3 y
d 2 y dy
dx
（１） 5 3 2 2 2 y 6 7 x
dt
dt
dt
dt
d4 y
d3 y
d2 y
dy
（２）
2 3 6 2 3 2 y 4x
k
式中
Tk
1
pk pk 1
， k
pk pk 1
2 pk pk 1
系统传递函数一般形式可以写成：
e
bm b 1 c 1 d
2
K
2 Tj Tk
an i 1 i l 1 l j 1
k 1
比例环节
G( s)
一阶微分环节
二阶微分环节
式中k—比例系数
这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的
输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移
和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入
转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号
的关系等
常见的比例环节
2.惯性环节（又称非周期环节）
惯性环节的微分方程是
dy( t )
T
y( t ) Kx( t )
！串联
理想微分环节
K i s 1 l2 s 2 2 l l s 1
s
v
b
c
i 1
d
l 1
e
T s 1 T
j 1
积分环节
j
k 1
惯性环节
s 2 kTk s 1
2 2
k
二阶振荡环节
s
e
s
延迟环节
环节是根据微分方程划分的，不是具体
所需的时间就是时间常数T。
dy( t )
1

dt t 0 T
例 如图2-12所示的RC电路，当输入电压ui(t)输
出电压uo(t)，i为电流，R为电阻，C为电容，通
过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求
得输出对输入的传递函数。
R
ui(t)
i
图2-12
C
RC电路
uo(t)
解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ：
dt
式中，y为输出量；x为输入量。对上式进行拉氏
变换得：
TsY ( s ) Y ( s ) KX ( s )
惯性系统的传递函数是
Y ( s)
K
G( s)

X ( s ) TS 1
式中，K为放大系数；T 为时间常数。
设x(t)为一单位阶跃函数，并且当t=0时y(t)=0 ，则解这一
微分方程得:
Ts
G( s)

U i ( s ) Ts 1
式中 T RC
i
R
uo(t)
电气微分环节
如果RC很小，传递函数可以近似写成G(s)=Ts。可以
把该RC电路看成理想微分环节。
4.积分环节
积分环节的微分方程为
1
y( t ) x( t )dt
T
传递函数为
Y ( s) 1
G( s)

X ( s ) Ts
s zl s zl 1 2
1
s 2 L l s 1
2 2
l
l
式中
l
而
1
zl zl 1
， l
zl zl 1
2 zl zl 1
1
2 2
s pk s pk 1 T 2 Tk s 2 kTk s 1
线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件
为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的
工作状态，即t < 0 时，输出量及其各阶导数也均为
0），输出量y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏
变换X(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。
Y ( s)
G( s)
X ( s)
设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t) ，描述系
bm s X ( s ) bm 1 s
m
m 1
X ( s ) b1 sX ( s ) b0 X ( s )
（2-52）
根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为
m 1
Y ( s ) bm s bm 1 s ...... b1 s b0
G( s )

n
零、极点分布图
传递函数的零、极点
分布图：
将传递函数的零、极
点表示在复平面上的
图形。
零点用“O”表示
s1 2
极点用“×”表示
s2 3
s3,4 1 j
结论
传递函数通过系统输入量与输出量之间的关
系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输
入——输出特性来描述系统的内部特性。若输
入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s)
c 对复零点; e对复极点;
v个零极点。
b+2c = m
v+d+2e = n
把对应于实数零点zi和实数极点pj的因式变换成：
1
s zi i s 1
i
s p
j

1

Tj s 1
Tj
式中
1
1
i ，T j
zi
pj

把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：
阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串联。
例 图示的电气环节，输入电压ui(t),输出电压为uo(t)，
试写出其传递函数。
解：按基尔霍夫定律建立回路
电压方程式得到
1
ui ( t ) idt uo ( t )
c
uo ( t ) iR
C
ui(t)
经拉氏变换后，整理，可
得传递函数为
Uo ( s)